Методы моделирования и прогнозирования динамики социально-экономических индикаторов (реализация в IHSEconometricViews)

 

(б) DJ= C(1)+C(2)* @TREND+C(3)*@TREND^2
	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C(1)	9414.388	194.2905	48.45521	0.0000
C(2)	26.34941	2.500129	10.53922	0.0000
C(3)	-0.077017	0.006742	-11.42377	0.0000

(а) dj = C(1) + C(2)*@trend

б) dj = C(1) + C(2)*@trend + C(3)*@trend^2

Рис. 2.9. Фактические, расчетные значения и остатки в уравнениях 
с (а) линейным и (б) квадратичным трендом

Таблица 2.14. Коррелограмма и результаты Q-критерия для индекса Доу-Джонса 

2. Тестирование нестационарности

В таблице 2.15. приведены результаты тестирования нестационарности рассматриваемого ряда по критериям ADF и KPSS. По ADF критерию нулевая гипотеза о нестационарности ряда не может быть отвергнута, т.к. вероятность ошибки первого рода составляет более 60%, тогда как допустимым уровнем является значение 1%. По KPSS критерию нулевая гипотеза о стационарности ряда отвергается с вероятностью ошибки первого рода от 1% до 5% (допустима вероятность до 10%).

Таблица 2.15. Результаты проведения (а) ADF и (б) KPSS критериев для индекса Доу-Джонса

(а) Null Hypothesis: dj has a unit root                               t-Statistic Prob.*                     Augmented Dickey-Fuller test statistic -1.326536 0.6182 Test critical values: 1% level   -3.448363     5% level   -2.869374     10% level   -2.571011

(б) Null Hypothesis: dj is stationary                                     LM-Stat.                     Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin test statistic 0.768397 Asymptotic critical values*: 1% level   0.739000     5% level   0.463000     10% level   0.347000

Таким образом, по всем пунктам стоит  признать рассматриваемый ряд нестационарным.

6. Стационарные преобразования.

1. Разностные преобразования.

Для приведения нестационарного исходного  ряда к стационарному применяются  разностные преобразования. На рис. 2.10. приведен график динамики первых разностей исходного ряда. В отличие от исходного ряда, в динамике его первых разностей нестационарность не очевидна; необходимо провести дополнительную проверку.

В таблице 2.16. и на рис. 2.11. приведены результаты оценки уравнения линейного тренда для первых разностей исходного ряда.

 

Рис. 2.10. Первые разности индекса Доу-Джонса

Таблица  2.17. Результаты оценки уравнения с линейным трендом 
для первых разностей индекса Доу-Джонса

Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.                       C(1) 12.95349 27.32002 0.474139 0.6357 C(2) -0.054090 0.131535 -0.411222 0.6812

 

Рис. 2.11. Фактические, расчетные значения и остатки в уравнении с  линейным трендом 
для первых разностей индекса Доу-Джонса

 

Из результатов оценки уравнения  с линейным трендом видно, что  существенной тенденции в среднем в динамике первых разностей нет.

Коррелограмма первых разностей (табл. 2.18.) не подтверждает нестационарность — коэффициенты АКФ не значимы по Q-критерию (для приведенных лагов гипотезу о равенстве коэффициента автокорреляции нулю не удается отвергнуть с приемлемой вероятностью ошибки первого рода менее 5%).

Табица  2.18. Коррелограмма первых разностей индекса Доу-Джонса 

 

Для более точных результатов применяются  критерии ADF и KPSS; результаты приведены в таблице 2.19 (а, б). Ряд стационарен по обоим критериям, по ADF критерию гипотеза о нестационарности первых разностей отвергается с вероятностью ошибки 0.000%; по KPSS критерию гипотеза о стационарности не отвергается.

Таблица 2.19. Результаты проведения (а) ADF и (б) KPSS критериев 
для первых разностей индекса Доу-Джонса

(а) Null Hypothesis: d1_dj has a unit root                             t-Statistic Prob.*                     Augmented Dickey-Fuller test statistic -20.07256 0.0000 Test critical values: 1% level   -3.448414     5% level   -2.869396     10% level   -2.571023

(б) Null Hypothesis: d1_dj is stationary                                 LM-Stat.                     Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin test statistic 0.117689 Asymptotic critical values*: 1% level   0.739000     5% level   0.463000     10% level   0.347000

Таким образом, первые разности исходного ряда можно считать стационарными.

2. Логарифмические темпы роста

Альтернативное стационарное преобразование — логарифмические темпы роста (первые разности логарифма исходного  ряда). Преобразование применимо, т.к. значения ряда всегда положительны и их можно логарифмировать. График динамики логарифмических темпов роста ряда Доу-Джонса приведен на рис. 2.12. Явного свидетельства нестационарности не наблюдается, проводится дополнительная проверка. 

 

Рис. 2.12. Лог. темпы роста индекса Доу-Джонса, 30.09.2003 – 28.09.2010г., периодичность – 1 неделя.

В табл. 2.20. и на рис. 2.13. приведены результаты оценки уравнения с линейным трендом для логарифмических темпов роста исходного ряда. Из результатов оценки уравнения видно, что существенной тенденции в среднем в динамике логарифмов первых разностей нет. Из коррелограммы лог. темпов роста (см. табл. 2.21.) нельзя сделать вывод о нестационарности этого показателя.

Табица 2.20. Результаты оценки уравнения с линейным трендом 
для логарифмов темпов роста индекса Доу-Джонса

 

	Coefficient	Std. Error	t-Statistic	Prob.
C(1)	0.001112	0.002720	0.408690	0.6830
C(2)	-4.43E-06	1.31E-05	-0.338313	0.7353

 

Рис. 2.13. Фактические, расчетные значения и остатки в уравнении с линейным трендом 
для логарифмов темпов роста индекса Доу-Джонса

 

Табица 2.21. Коррелограмма логарифмов темпов роста индекса Доу-Джонса

 

В таблице 2.22 (а, б) приведены результаты проведения критериев AFD и KPSS для проверки стационарности логарифмических темпов роста исходного ряда. По обоим критериям ряд стационарен, по ADF критерию гипотеза о нестационарности отвергается с вероятностью ошибки 0.000%, по KPSS критерию гипотеза о стационарности не отвергается.

Таблица 2.22. Результаты проведения (а) ADF и (б) KPSS критериев 
для вторых разностей индекса Доу-Джонса

(а) Null Hypothesis: dlog(dj) has a unit root                               t-Statistic Prob.*                     Augmented Dickey-Fuller test statistic -20.00649 0.0000 Test critical values: 1% level   -3.448414     5% level   -2.869396     10% level   -2.571023

(б) Null Hypothesis: dlog(dj) is stationary                                 LM-Stat.                     Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin test statistic 0.103599 Asymptotic critical values*: 1% level   0.739000     5% level   0.463000     10% level   0.347000

Таким образом, логарифмы темпов роста  исходного ряда следует считать стационарными.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отчет 3. "Методы краткосрочного прогнозирования. Модели ARMA"

1. Исходные данные

Рассматривается динамика индексов Доу-Джонса (переменная X_DOJ) и РТС (переменная Y_RTSI) за период с 1 января 2002 года по 30 марта 2009 года (периодичность наблюдений — 1 неделя; всего 362 наблюдения в выборке). Динамика значений исходного ряда приведена на рис. 3.1. и 3.2.

Рис. 3.1.  Динамика индекс Доу-Джонса, 1/04/02-30/03/09, 1 неделя

Рис. 3.2. Динамика индекса РТС, 1/04/02-30/03/09, 1 неделя

Возьмем в качестве стационарного  преобразования первые разности рядов  Доу-Джонса и РТС.

2. Проверка стационарности ряда

По итогам второго отчета было получено, что показатели РТС и Доу-Джонс  нестационарны. Но первые разности и первые разности логарифмов, являются стационарными. Воспользуемся в данной работе первыми разностями исходного ряда и будем называть полученный ряд X_t.

При этом, разобьем выборку X_t на три части:

1. модельные, исходные значения выборки: samplesmp_model 1 353;
2. тестовые значения выборки: samplesmp_test 354 356

3. прогнозные значения: samplesmp_fore 357 360.

3. Построение моделей ARMA (p,q)

Поиск параметров p,q осуществляется перебором возможных значений. При этом известно, что p,q - целые, положительные и не могут быть одновременно равны нулю.

При этом нужно выбрать p и q, которые лучше подходят для прогнозирования. Т. е. ошибки первого рода модели должны быть меньше 5%, нулевая гипотеза о равенстве АКФ автокорреляционной функции нулю должна быть принята, гетероскедастичность модели отвергнута.

В результате были найдены модели, которые «прошли» критерию Стьюдента:

Для индекса Доу-Джонса факторы значимы с вероятностью ошибки первого рода равной 0,0000, что меньше установленного уровня в 5% в моделях ARMA (1,1) и ARMA (2,2). Для индекса РТС факторы значимы в моделях: ARMA (1,0), ARMA (0,1) и ARMA (1,1). Проведем диагностику моделей.

4. Диагностика модели

1. Проверка стационарности

Таблица 3.3. Коррелограмма модели ARMA (1,1) индекса Доу-Джонса

Как видно из таблицы 3.3., автокорреляция отсутствует, коэффициенты АКФ не значимы  по Q-критерию (для приведенных лагов гипотезу о равенстве коэффициента автокорреляции нулю не удается отвергнуть с приемлемой вероятностью ошибки первого рода менее 5%), проверим модель на нормальность.