Определение справедливой цены американского опциона

                               .                     (10)

   Выбирая К(Т) = 1 - е ^rТ, (Почему?) подставляем данное значение в (10), и делая упрощения получаем

                                    .                     (11)

   До  этого момента, анализ был точным, и приближение не было использовано. Приближение используем для решения уравнения (11). Для товарных опционов с очень коротким истечением срока исполнения, последний член в формуле (11) будет равен 0, поскольку, T равно 0. Приближение досрочного исполнения опциона в дифференциальном уравнение получилось равное

                                                .                                 (12)

   Уравнение (12), обыкновенное дифференциальное уравнение 2 порядка с двумя линейно независимыми решениями вида a. Их можно найти, подставив f= a в (12) (Проверить)

                                      .                                    (13)

   Корни уравнения (13) равны  и                         .

   Общее решение уравнения (12) имеет вид 

                                               f(S)=.                                           (14)

   При <0  и , цены на сырьевые товары S стремятся к 0. Это неприемлемо, так как раннее осуществление американского опциона становится бесполезным, когда цена товара падает до нуля. Первое ограничение, которые будет наложено, это = 0, тогда стоимость американского опциона, на товар будет записано как

                                              C(S,T) = с(S, Т) + К.                                  (15)

   Чтобы найти ограничение на _, рассмотрим уравнение (15). Допустим    S = 0, тогда C(S, T) = 0, так как с(S, T) и К равны 0. Исходя из того что S растёт, значение C (S, T) тоже будет расти. Чтобы найти критические цены на сырьевые товары S*, установим его равным значению C(S*,Т) (15), то есть,

                                          S*-X = с(S*, Т) + К.                                     (16)

   А Х откуда взялось?

   Таким образом, коэффициент исполнения опциона будет равно углу наклону C(S*,Т), то есть,

                                       ,                      (17)

   где - частная производная с(S*,Т) по S*, а . (Откуда это?) Таким образом, получаем два уравнения (16) и (17) с двумя неизвестными, и S*.

                                      .                  (18)

   Подставляя (18) в (16) и упрощая результаты, получаем

                           .             (19)

   Хотя  S* является единственным неизвестным значением в уравнении (19), оно должно определяться итеративно. С известным S*, уравнение (16) дает значение _. Подставляя уравнение (18) в (15) и упрощая, получаем

   , когда S<S*,

                                  когда S>=S*,                                        (20) 
       где  =. Заметим, что >0 так как S*, _, и , являются положительными, когда b<r. Уравнение (20) таким образом, даёт эффективное аналитическое приближение стоимости американского опциона, на товар, когда стоимость исполнения опциона меньше безрисковой процентной ставки. Когда b>r, американский опцион никогда не будет реализована раньше истечения срока действия опциона. Стоит отметить, что стоимость раннего осуществления американского опциона на товар стремится к 0 при стремлении срока действия опциона к 0. Прежде чем приступить к рассмотрению  квадратичного приближение. Необходимо отметить, как приближение американского опциона изменит поставки товаров. Так как уравнение в частных производных (8) относится к досрочному исполнению американского опциона тогда

                                        (S, T) = P(S, T) - p(S, T).                                      (21)

   В уравнение (14), слагаемое , должно приближаться к 0 при S стремящемся к бесконечности. Слагаемое, ^, нарушает это граничное условие, поэтому устремляем к нулю, а примерная стоимость продажи американского опциона, становится

                                           P (S, Т) = р(S, Т) +.                                       (22)

   Значения коэффициента и критических цен на сырьевые товары S** должны быть определены, и необходимые преобразования для этого выглядят следующим образом

                              ,                (23)

   где  - частная производная от р(S**,Т) по S**. Критические цены на сырьевые товары S** определяются решением уравнения

                    .            (24)

   Решая данное уравнение, получаем  S**. Используя полученное значение, находим приближенное значение американского опциона, на товары (22)

   , когда S>S**,

                                  , когда S<=S**                                    (25)

   где .

   Приближенное  значение американского опциона call по фьючерсному контракту имеет уравнение вида (20). Приближенное значение американского опциона put, по фьючерсному контракту определяется формулой (25).  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

4. Выбор и описание метода решения поставленной задачи

   Рассмотрим алгоритм для определения S*. Чтобы найти критические цены на сырьевые товары S, необходимо решить уравнение (19) итерационным методом Ньютона. Для этого надо упростить уравнение (19). Оценим обе части уравнения (19) в каком-то начальном значении, , то есть: 

   , 
                          ,                 (26) 

   где = и i = 1. Естественно, маловероятно, что = на начальном приближении . Чтобы найти следующее значение   надо найти b из RHS на шаге , то есть: 

                ,     (27) 

   где N(d) является одномерной нормальной функцией плотности. Далее необходимо, найти, где касательная к кривой RHS на шаге пересекает доходы от американского опциона, - X, то есть, 

                                ,                              (28)

                                         .                                             (29) 

   Уравнение (28) позволяет найти следующие шаги, с новыми значениями, уравнения (26), (27) и (28) вычисляется с каждой новой итерации заново. Итерационная процедура должна продолжаться, пока относительная абсолютная погрешность находится в пределах допустимого уровня, например: 

                                    <0,00001.                                 (29)  

   Изложенный  итерационный метод сходится достаточно быстро, установив начальное значение эквивалентное  цене опциона X и наложения устойчивого критерия (29). Скорость, с которой алгоритм находит критическое значение цен на сырьевые товары, может быть улучшен с помощью начальной точки расположенной ближе к решению. Чтобы прийти к приближенному значению критической цены на сырьевые товары, нужно рассмотреть информацию, содержащуюся в уравнении (19). Если время истечения опциона равна 0, критические цены на сырьевые товары, над которыми есть возможность исполнения опциона, является ценой исполнения опциона, X. С другой стороны, если время, оставшееся до истечения опциона бесконечно, критические цены на сырьевые товары могут быть найдены. Допустим T =+∞ тогда уравнение (19) примет вид

    
                                                                                        (30)  

   где = . Уравнение (19) также показывает, что критическая цена товара возрастает по времени с истечением срока действия опциона. Таким образом, можно получить приближенное аналитическое решение для нахождения критических цен опционов на сырьевые товары. Окончательный вид приближения выглядит следующим образом