Определение справедливой цены американского опциона

    Параметры опционов в таблицах А, Б, В, Г, Д были выбраны таким образом, чтобы предоставить типичные биржевые опционы с истечением срока исполнения менее шести месяцев и с котировками наиболее активно торгующихся опционов, со сроком погашения менее трех месяцев. Тем не менее, стоит отметить, что  во внебиржевых рынках для долгосрочного опциона, особенно в области американских казначейских обязательств,  влияние времени на точность приближенных методов имеет особое значение. По этой причине, моделирование осуществляется с временем исполнения опциона сроком до трех лет. Результат показан на графике Е. 

     

     
 Анализируя график Е можно сделать вывод о том, что все результаты различных приближений стали иметь большую погрешность. В некоторых случаях, метод трехточечной экстраполяции составного метода лучше, чем квадратичное приближение, а в других случаях, наоборот. На основе полученных результатов можно сделать вывод, что использовать метод экстраполяции или квадратичной аппроксимации для нахождения более точной  цены американского опциона, только в тех случая, когда время исполнения опциона менее 6 месяцев. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

8. Обсуждение результатов моделирования

      В результате проведённых тестовых расчётов, были сделаны следующие выводы:

      1. Полученные данные созданной программы вычисления справедливой цены американского опциона имеют небольшое отклонение от реальной цены американского опциона.

      2. Рассмотренный метод квадратичной аппроксимации точен в той же степени, что и составной и конечно-разностный методы определения справедливой цены опциона, но время затраченное на вычисление результата у метода квадратичной аппроксимации на порядок меньше чем у составного и конечно-разностного метода.

      3. Результаты исследования показывают, что для американских опционов с временем исполнения более года, метод квадратичной аппроксимации не подходит, так как погрешность вычисления возрастает на порядок. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   Заключение

  Таким образом, получены следующие результаты:

1. Была выведена расчетная формула определения справедливой цены опциона, на основе теории Барона-Адеси. Барон Адеси и Валли разработали модель по определению оптимальной цены американского опциона.
2. Формула справедливой цены опциона была рассчитана для текущих опционов, результаты были сравнены с другими методами расчета.
3. Данная формула является вычислительно более дешёвая, чем все раннее созданные методы.
4. Погрешность формулы расчёт справедливой цены опциона, равна около 4 десятых процентов.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Список  использованных источников

1 John C. Hull. Options, Futures_And_Other_Derivative_Securities,_5Th_Ed, 2005  

2 Giovanni Barone-Adesi and Robert E. Whaley. Efficient Analytic Approximation of American     Option Values. – 1987.

3 R. E. Whaley. "On the Valuation of American Call Options on Stocks with Known Dividends. "Journal of Financial Economics 9 (June 1981), 207-11.

4 R. Roll. "An Analytical Valuation Formula for Unprotected American Call Options on Stocks with Known Dividends." Journal of Financial Economics 5 (November 1977), 251-58.

5 Буренин А.Н. Управление портфелем ценных бумаг. 2-е изд., испр. и доп., 2008. - 440стр.

6 Бердникова Т.Б. Рынок ценных бумаг и биржевое дело. – М: Инфра-М, 2000. – 278 с.

7 Фондовая биржа [Электронный ресурс]. – 07. 09.2011. режим доступа: http://www.rts.ru/ - свободный

8 CQG ELECTRONIC TRADING [Электронный ресурс]. – 01. 09.2011. режим доступа: http://www.cqg.com/Electronic-Trading.aspx - свободный 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   Приложение А

   Программная реализацация определения справедливой цены американского опциона 

#include <cmath>

#include <algorithm>        

#include "normdist.h"               // нормальное распределение

#include "fin_algoritms.h"         //  

const double ACCURACY=1.0e-6; 

double option_price_american_call ( double S,

                                        double X,

                                        double r,

                                        double b,

                                        double sigma,

                                        double time)

{

    double sigma_sqr = sigma*sigma;

    double time_sqrt = sqrt(time);

    double nn = 2.0*b/sigma_sqr;

    double m = 2.0*r/sigma_sqr; 

    double K = 1.0-exp(-r*time);

    double q2 = (-(nn-1)+sqrt(pow((nn-1),2.0)+(4*m/K)))*0.5; 

    double q2_inf = 0.5 * ( (-nn-1.0) + sqrt(pow((nn-1),2.0)+4.0*m));

    double S_star_inf = X / (1.0 - 1.0/q2_inf);

    double h2 = -(b*time+2.0*sigma*time_sqrt)*(X/(S_star_inf-X));

    double S_seed = X + (S_star_inf-X)*(1.0-exp(h2)); 

    int no_iterations=0; // использование метода ньютона

    double Si=S_seed;        

    double g=1;

    double gprime=1.0;

    while ((fabs(g) > ACCURACY)

         && (fabs(gprime)>ACCURACY)

         && ( no_iterations++<500)

         && (Si>0.0)) {

      double c  = option_price_european (Si,X,r,b,sigma,time);

      double d1 = (log(Si/X)+(b+0.5*sigma_sqr)*time)/(sigma*time_sqrt);

      g=(1.0-1.0/q2)*Si-X-c+(1.0/q2)*Si*exp((b-r)*time)*N(d1);

      gprime=( 1.0-1.0/q2)*(1.0-exp((b-r)*time)*N(d1))

          +(1.0/q2)*exp((b-r)*time)*n(d1)*(1.0/(sigma*time_sqrt));

      Si=Si-(g/gprime);

    };

    double S_star = 0;

    if (fabs(g)>ACCURACY) { S_star = S_seed; } // did not converge

    else { S_star = Si; };

    double C=0;

    double c  = option_price_european (S,X,r,b,sigma,time);

    if (S>=S_star) {

      C=S-X;

    }

    else {

      double d1 = (log(S_star/X)+(b+0.5*sigma_sqr)*time)/(sigma*time_sqrt);

      double A2 =  (1.0-exp((b-r)*time)*N(d1))* (S_star/q2);

      C=c+A2*pow((S/S_star),q2);

    };

    return max(C,c);

} 

   Хотелось  бы увидеть как работает программа! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   Приложение Б

			Американская  цена покупки опциона				Американская  цена продажи опциона
	Цена  товара	Цена  покупки	Конечно разностный	Составной метод	Квадратичный  метод	Цена  продажи	Конечно разностный	Составной метод	Квадратичный  метод
Параметры опциона	S	c(S,T)	метод		апроксимации	p(S,T)	метод		апроксимации
	80	0.05	0.05	0.05	0.05	18.87	20.00	19.99	20.00
r= 0.08	90	0.85	0.85	0.85	0.85	9.76	10.22	10.25	10.18
σ= 0.20	100	4.44	4.44	4.44	4.44	3.46	3.55	3.54	3.54
T = 0.25	110	11.66	11.66	11.66	11.66	0.78	0.79	0.79	0.80
	120	20.90	20.90	20.90	20.90	0.11	0.11	0.11	0.12
	80	0.05	0.05	0.05	0.05	18.68	20.00	19.99	20.00
г =0.12	90	0.84	0.84	0.84	0.84	9.67	10.20	10.23	10.16
σ = 0.20	100	4.40	4.40	4.40	4.40	3.42	3.52	3.52	3.53
T = 0.25	110	11.55	11.55	11.55	11.55	0.77	0.78	0.78	0.79
	120	20.69	20.69	20.69	20.69	0.11	0.11	0.11	0.12
	80	1.29	1.29	1.29	1.29	20.11	20.59	20.60	20.53
r = 0.08	90	3.82	3.82	3.82	3.82	12.74	12.95	12.94	12.93
σ = 0.40	100	8.35	8.35	8.35	8.35	7.36	7.46	7.46	7.46
T = 0.25	110	14.80	14.79	14.80	14.80	3.91	3.95	3.95	3.96
	120	22.71	22.71	22.71	22.72	1.93	1.94	1.94	1.95
	80	0.41	0.41	0.41	0.41	18.08	20.00	19.96	20.00
r = 0.08	90	2.18	2.18	2.18	2.18	10.04	10.75	10.79	10.71
σ = 0.20	100	6.50	6.50	6.50	6.50	4.55	4.77	4.75	4.77
T = 0.50	110	13.42	13.42	13.42	13.42	1.68	1.74	1.74	1.76
	120	22.06	22.06	22.06	22.06	0.51	0.53	0.53	0.55

Теоретические цены опционов на американские товары с помощью Конечно разностных, составных и квадратичных методов приближения (текущие издержки (b) = -0,04, цена исполнения (X)=100). 
 
 
 
 
 

   Приложение В

Теоретические цены опционов на американские товары с помощью Конечно разностных, составных и квадратичных методов приближения (текущие издержки (b) = 0,04, цена исполнения (X)=100).

			Американская  цена покупки опциона				Американская  цена продажи опциона
	Будующая цена	Цена  покупки	Конечно разностный	Составной метод	Квадратичный  метод	Цена  продажи	Конечно разностный	Составной метод	Квадратичный  метод
Параметры опциона	S	c(S,T)	метод		апроксимации	p(S,T)	метод		апроксимации
	80	0.04	0.04	0.04	0.04	19.64	20.00	20.00	20.00
r= 0.08	90	0.40	0.70	0.70	0.70	10.50	10.59	10.58	10.58
σ= 0.20	100	3.91	3.92	3.93	3.93	3.91	3.92	3.93	3.93
T = 0.25	110	10.74	10.82	10.81	10.81	0.94	0.94	0.94	0.94
	120	19.75	20.03	20.04	20.02	0.14	0.14	0.14	0.15
	80	0.04	0.04	0.04	0.04	19.45	20.00	19.99	20.00
г =0.12	90	0.69	0.69	0.69	0.70	10.40	10.53	10.53	10.53
σ = 0.20	100	3.87	3.89	3.90	3.90	3.87	3.89	3.90	3.90
T = 0.25	110	10.63	10.76	10.76	10.75	0.94	0.93	0.93	0.93
	120	19.55	20.01	20.02	20.00	0.14	0.14	0.14	0.15
	80	1.16	1.16	1.16	1.17	20.77	20.94	20.94	20.93
r = 0.08	90	3.52	3.53	3.53	3.53	13.32	13.39	13.39	13.39
σ = 0.40	100	7.81	7.83	7.84	7.84	7.81	7.83	7.84	7.84
T = 0.25	110	14.01	14.08	14.08	14.08	4.21	4.22	4.22	4.23
	120	21.71	21.87	21.86	21.86	2.10	2.11	2.11	2.12
	80	0.30	0.30	0.30	0.30	19.51	20.06	20.09	20.04
r = 0.08	90	1.70	1.71	1.71	1.72	11.31	11.48	11.47	11.48
σ = 0.20	100	5.42	5.46	5.47	5.48	5.42	5.46	5.57	5.48
T = 0.50	110	11.73	11.90	11.89	11.90	2.12	2.14	2.14	2.15
	120	19.91	20.36	20.37	20.34	0.69	0.69	0.69	0.70