Решение задачи производственного планирования с использованием моделей и методов линейного программирования

                                                                                                             Таблица 1.1.4 

    Проведем  сравнительный анализ оптимального и допустимого планов по важнейшим  производственно-экономическим показателям  для компании. Таковыми, на мой взгляд, являются: загруженность мощностей  завода, прибыль первого порядка (разность между доходом и себестоимостью продукта) и штрафы за недопоставку продукции потребителю. 

    Компания  заинтересована в максимизации дохода от реализации продукции и в наиболее полном использовании производственных мощностей, а также в минимизации  расходов на штрафы. 

1. Рассмотрим  загрузку мощностей заводов, а также прибыль компании (табл. 1.1.5):

 

  Таблица 1.1.5

    Количество  и ассортимент производимой продукции  на заводах абсолютно различны. В  допустимом плане продукцию первого  вида полностью производит первый завод, в оптимальном то же количество продукции производит третий завод, так как затраты на производство этого продукта на третьем заводе ниже, чем на первом. Также наблюдаются различия и в количественном различии распределения продукции одного и того же вида по заводам. В допустимом плане продукция второго вида производится первым (6 ед.) , вторым ( 222ед) и третьим ( 18 ед.) заводами, в оптимальном – только первым (68 ед.) и вторым ( 178 ед.). Продукция третьего вида в допустимом плане производится только третьим заводом (600 ед.), а в оптимальном – первым ( 368 ед.) и третьим ( 232 ед.). Продукция четвертого вида и в допустимом, и в оптимальном планах  производится  на одних и тех же заводах, но в различном количественном эквиваленте –  на первом заводе (62 ед., 18 ед.) и на втором заводе (200 ед., 244 ед.). 

    Данные  планы также не совпадают в  количестве произведенной продукции  каждого вида (мощности заводов): первого– 504 ед. и 454 ед., третьего – 618 ед. и 668 ед. Мощность второго завода в обоих планах одинакова.  

    В допустимом плане доход от реализации продукции составляет 47542,4 д.е., при  этом себестоимость равна 45914 д.е., а  в оптимальном – 47542,4д.е. ( себестоимость  – 45042 д.е.). Таким образом, мы видим, что доход и в допустимом и в оптимальном плане равен. Это связанно с одинаковым количеством произведенной продукции каждого вида.  

    Прибыль первого порядка по допустимому  плану составляет 1628,4 д.е., а по оптимальному – 2500,4 д.е. Так как руководство  компании заинтересовано в максимизации прибыли, то предприятию выгоднее по данному пункту (количество произведенной продукции) использовать оптимальный план, так как прибыль в данном случае будет больше. 

2. Рассмотрим  объем недопоставленной продукции, а также возникшие с этим штрафные затраты.

 

    Так как мощности заводов полностью  покрывают запросы покупателей  на все виды продукции, то штраф за недопоставку продукции не начисляется  в данных планах производства. 

3. Итоговый  анализ на основе сравнения доходов  и расходов.

 

    В следующей таблице приводится количество произведенной продукции по каждому из планов, а также все доходы компании: прибыль первого порядка и расходы: на выплату штрафа. 

Талица 1.1.6 

    Из  данной таблицы видно что, так  как количество произведенной продукции равно, то и доход от реализации этой продукции одинаков – 47542,4 д.е. Рост прибыли компании осуществляется за счет снижения себестоимости продукции путем разного распределения продукции по заводам. Себестоимость по допустимому плану составляет 45914 что на 872 д.е. больше, чем при оптимальном плане. 

    В результате сравнения оптимального и допустимого планов максимизации прибыли можно сделать следующий  вывод. Несмотря на то, что объем производства и доход от реализации продукции в обоих планах одинаковы, себестоимость произведенной продукции при использовании оптимального плана понижается, что обеспечивает увеличение прибыли компании. А для коммерческой фирмы максимизация прибыли является главной целью деятельности.

 

1.2 Экономико-математическая  модель максимизации производственных мощностей и  прибыли 

    Кроме максимизации прибыли, компания также  заинтересована в наиболее полном использовании  производственной мощности первого  завода. Для выполнения обоих условий  необходимо модифицировать систему. В  новой модели будет две целевых функции: максимизация прибыли и максимизация производственных мощностей, то есть задача станет многокритериальной. 

    Многокритериальную  задачу линейной оптимизации можно  решить несколькими способами: методом  свертки, методом последовательных уступок и т.д. В данном случае был применен метод уступок, так как при использовании метода свертки необходимо выполнять нормировку критериев, которую при данной сложности  и величине модели сделать довольно сложно. 

    Метод последовательных уступок заключается в следующем:

    Во-первых, чтобы использовать данный метод, необходимо упорядочить критерии по степени  их важности. Так как руководство  компании в большей степени заинтересовано в получении прибыли в максимальном объеме, то данный критерий будем считать более важным.

    По  данному критерию (максимизация прибыли) будем производить уступку ∆_а- (∆_а – величина уменьшения прибыли). Данная величина выбирается на усмотрение руководства компании.

    Практически метода уступок осуществляется путем  трансформации функции дохода в ограничение вида D(x_ij)≥2500,4 - ∆_а, и максимизации производственных мощностей всех трех заводов.

    Таким образом, экономико-математическая модель максимизации прибыли и производственной мощности первого завода будет являться модификацией ЭММ 1.1. Изменения заключаются в следующем: добавляется новое ограничение: 

С(x,m,u,D,S,K)≥ 2500,4 - ∆_а – уступка по прибыли 

    И целевой функцией становится максимизации производственной мощности первого  завода: 

С(u)=u₁ → max

 

       Итак, экономико-математическая модель максимизации прибыли  и производственных мощностей имеет следующий вид:

 

    Рассмотрим  несколько вариантов ∆_а. 

    1. Пусть,  ∆_а = 0, что является идеальной возможностью, не уменьшая прибыль увеличить мощность первого завода. Тогда задача будет иметь следующий оптимальный план: 

    Таблица 1.2.1 

    Оптимальный план выпуска продукции  изменился: 

    Х*=(0,68,418,18,0,178,0,244,436,0,182,0) 

    Как мы видим, по сравнению с оптимальным  планом, доход не изменился. Однако производительная мощность первого завода повысилась до максимума в 504 ед. продукции, а мощность третьего завода упала до 618 ед. 

    Таким образом, был найден новый оптимальный  план, который нисколько не уменьшает  доходность компании, но достигает  максимизации использования производительной мощности первого завода засчет перераспределения  производимой продукции по первому  и третьему заводам. 
 

 

Задача 2 

    Пусть добавилось еще одно условие в  договоре, что каждый завод должен обязательно производить не менее 25% всей выпускаемой продукции. Необходимо выяснить, как это обстоятельство повлияет на доход от реализации продукции, на себестоимость продукции и на расходы по выплате штрафов за недопоставку продукции. 

    Экономико-математическая модель для решения этой задачи является модификацией ЭММ 1.1. Модель дополняется  лишь тремя дополнительными условиями:

       _{3     4}

1/4*∑*∑*x_ij ≤ u_i

       ^{i=1  j=1}

В результате получается следующая модель:

 

    Все три завода в сумме должны производить 25% от суммарной потребности в продукции, т.е. как минимум 386 единиц продукции. Но, по данным уже имеющегося оптимального плана производства продукции, заводы работают по следующему плану (504,422,618), что составляет 1544 ед. продукции. Таким образом, каждый завод выпускает более 389 единиц продукции и при этом заказчики полностью удовлетворены в своих потребностях в продукции и, я считаю, что имеющийся план производства изменять нет смысла.

 

Задача 3 

    Требуется рассмотреть такой вариант, при  котором третий завод не будет  выпускать продукцию k-го вида (1<=k<=4). Необходимо проанализировать, как это условие повлияет на производственную стратегию компании. 

    Для начала рассмотрим оптимальный план производства: