Решение задачи производственного планирования с использованием моделей и методов линейного программирования

                                                                                                   Таблица 3.1 

    Как мы видим из оптимального плана, третий завод не производит продукцию второго и четвертого видов. При этом использует максимум своих мощностей. Следовательно, производство этих видов продукции не приносит компании существенной прибыли. 

    Попробуем изменить модель ЭММ 1.1 и рассчитать планы, в которых не будет производиться  первый и третий вид продукции. 

3.1 Отказ от производства  первого вида продукции 

    Добавим в ЭММ 1.1 дополнительное условие:

         Х₁₃=0   - отмена производства первого вида продукции третьим заводом

    Тогда наша модель будет выглядеть следующим  образом: 

 
 
 
 
 

В результате план производства будет таким:  

                                                                                     Таблица 3.2 

    Производственный  план компании изменился.

    Так как нас интересует только производительность третьего завода и влияние нового плана на прибыль, то рассмотрим их внимательнее.

    Третий  завод производит продукцию второго (18 ед.) и третьего (600 ед.) видов, и  не производит первого и четвертого видов продукции. 

    Доходность  от реализации продукции не упала (47542,4 д.е.), зато возросла себестоимость (45914 д.е.), с чем и связано уменьшение прибыли компании (1628,4 д.е.). Так как  наша компания коммерческая и уменьшение прибыли серьезный минус, то мы будем по-прежнему придерживаться оптимального плана производства. 
 

3.2. Отказ от производства  третьего вида  продукции 

    Добавим в ЭММ 1.1 дополнительное условие:

         Х₃₃=0   - отмена производства первого вида продукции третьим заводом

    Тогда наша модель будет выглядеть следующим образом: 

 
 
 
 
 

    В результате план производства будет  таким:  

                     Таблица 3.3 

    Производственный  план компании изменился.

    Третий  завод производит продукцию первого (436 ед.) и второго (232 ед.) видов, и не производит третьего и четвертого видов продукции. 

    Доходность  от реализации продукции  не упала (47542,4 д.е.), но увеличилась себестоимость (45626 д.е.). Прибыль компании составила 1916,4 д.е., что больше чем в предыдущем плане, но все рано ниже, чем в оптимальном. Так как наша компания коммерческая и уменьшение прибыли серьезный минус, то наиболее походящим является оптимальный план производства. 

    Проанализировав полученные планы, сделаем вывод: в  каждом из планов продукция четвертого вида, не производилась на третьем  заводе. Таким образом, компании не выгодно выпускать продукцию четвертого вида на третьем заводе, так как это уменьшает прибыль второго порядка. 

    Тим образом, из анализа стало ясно, что  для получения максимальной прибыли руководству компании стоит воспользоваться оптимальным планом производства и в будущем избегать производства на третьем заводе продукции четвертого вида. 

 

Задача 4 

    Следует рассмотреть возможность, что спрос  на продукцию четвертого вида будет  увеличен. Необходимо рассмотреть, как  повлияет на прибыль компании и на ее производственную стратегию увеличение вдвое потребности заказчиков в продукции четвертого вида. 

    Спрос на продукцию рассчитывается: 

    x₁₁+x₂₁+x₃₁≤456

    x₁₂+x₂₂+x₃₂≤246   - спрос на продукцию

    x₁₃+x₂₃+x₃₃≤600

    x₁₄+x₂₄+x₃₄≤262 

    Последняя строчка, приведенной выше системы, указывает на текущий спрос по четвертому виду продукции. Учитывая новое условие, формула спроса будет выглядеть так: 

    x₁₄+x₂₄+x₃₄≤262*2 => x₁₄+x₂₄+x₃₄≤524 

    Данная  задача будет решена с помощью  следующей экономико-математической модели: 

 
 

      Заново  найдем оптимальный план производства, исходя из новой экономико-математической модели. 

Таблица 4.1 

    При данном плане производства получаем следующее:

• Доход от реализации продукции – 47335,6 д.е.
• Себестоимость продукции – 44234 д.е.
• Расходы по выплате штрафа – 578,76 д.е.

    В результате компания получит прибыль в размере – 2552,84 д.е. 

    Как видно производственная стратегия  компании изменилась. В предыдущем плане производства заводы работали на уже 80 % своей мощности, а с увеличением  количества производимой продукции  четвертого вида, все заводы стали работать по максимуму. Однако это не помогло избежать штрафа за недопоставку продукции. Судя по новому производственному плану производство первого и третьего вида продукции не изменилось, четверного вида повысилось вдвое, а производство продукции второго вида сильно упало. Недопоставка продукции стала равна 212 ед. продукции второго вида, и следовательно штраф увеличился до 578,76 д.е. Доходность от реализации упала, но засчет уменьшения себестоимости и увеличения спроса продукции прибыль компании возросла – 2552,84 д.е. 

    Таким образом, можно сделать вывод, что несмотря на увеличение штрафа за недопоставку второго вида продукции заказчикам, прибыль увеличилась, что является, несомненно, выгодной для компании стратегией производства. 
 

 

Задача 5 

    По  мнению руководства компании наиболее привлекательной считается такая  производственная стратегия, при которой  каждый вид продукции производится только на каком-то одном заводе, а  каждый завод обязательно производит хотя бы один вид продукции. Необходимо выяснить достоинства и недостатки такой стратегии. 

    Для составления новой экономико-математической модели введем дополнительные переменные:

 

    Поскольку каждый вид продукции должен производиться  на одном заводе, то это формально означает слудующее:

              ₄                         __

    ∑ z_ij =1 , i=1,3

            ^j=1

    Каждый  завод производит хотя бы один из продуктов, что формально означает следующее:

                                                                          ₄                           __

    ∑ z_ij ≥ 1 , i=1,3

                ^j=1

    Обозначим за P_ij количество производственной продукции j-го вида на i-ом заводе. При этом P_ij не должно превосходить мощность i-ого завода и потребность заказчика в j-ом продукте, запишем данное условие формально: 

    X_ij ≤ P_ij*z_ij , где P_ij=min (N_i,M_i) 

    Где N_i – количество произведенной продукции на i-ом заводе, а M_i – потребность заказчика в j-ом видом продукции. 

    Экономико-математическая модель данной задачи строится на основе ЭММ 1.1 с добавлением ниже перечисленных ограничений  и переменных: 

z₁₁+z₂₁+z₃₁=1

z₁₂+z₂₂+z₃₂=1                           - каждый продукт производится только на

z₁₃+z₂₃+z₃₃=1                            одном заводе

z₁₄+z₂₄+z₃₄=1 

z₁₁+z₁₂+z₁₃+z₁₄ ≥ 1

z₂₁+z₂₂+z₂₃+z₂₄ ≥ 1              - каждый завод производит хотя бы один продукт

z₃₁+z₃₂+z₃₃+z₃₄ ≥ 1

x₁₁≤436*z₁₁

x₁₂≤504*z₁₂

x₁₃≤504*z₁₃

x₁₄≤262*z₁₄

x₂₁≤436*z₂₁                          - каждый продукт производится в количестве не                                                                                                                                                 

x₂₂≤422*z₂₂                           превышающем ни потребности в нем, ни  

x₂₃≤422*z₂₃                           мощности завода, на котором она

x₂₄≤262*z₂₄                           производится

x₃₁≤436*z₃₁

x₃₂≤246*z₃₂

x₃₃≤600*z₃₃

x₃₄≤262*z₃₄

z_ij≥0 – булево 

    В результате экономико-математическая модель имеет следующий вид: