Муниципальное
общеобразовательное учреждение
средняя
общеобразовательная школа №4
г.Волжска
РЕФЕРАТ
Тема: « Золотое сечение в геометрии »
Выполнил:
ученица 9 “А” класса
Федотова
Екатерина
Проверил:
Костина
Надежда Николаевна
2014 г.
г. Волжск
Содержание
- Введение …………………………………………3
- Основная часть
- История золотого сечения …………………….4
- Второе золотое сечение ……………………….6
- «Золотые» фигуры …………………………….7
- Числа Фибоначчи ……………………………..10
- Золотое сечение в искусстве …………………12
- Золотое сечение в математике ………………..13
- Заключение………………………………………14
- Задачи ……………………………………………15
- Список используемой литературы ……………..17
Введение
Золотое сечение (гармоническое
деление, деление в крайнем и среднем отношении)
– деление отрезка на две части таким
образом, что большая его часть является
средней пропорциональной между всем
отрезком и меньшей его частью.
Принципы «золотого сечения»
используются в математике, физике, биологии,
астрономии и др. науках, в архитектуре
и др. искусствах. Они лежат в основе архитектурных
пропорций многих замечательных произведений
мирового зодчества, главным образом античности
и Возрождения.
«В геометрии существует два
сокровища – теорема Пифагора и деление
отрезка в крайнем и среднем отношении.
Первое можно сравнить с ценностью золота,
второе можно назвать драгоценным камнем».
Эти слова сказал четыре столетия назад
немецкий астроном и математик Иоганн
Кеплер, они являются эпиграфом практически
ко всем трудам, посвященным «золотому
сечению». Гениальный ученый поставил
пропорцию «золотого сечения» на один
уровень с самой знаменитой геометрической
теоремой.
Однако «золотому сечению»
повезло меньше, чем теореме Пифагора
– «классическая» наука и педагогика
его игнорируют, а «официальная» математика
не признаёт.
Цель данной работы провести краткий
обзор истории и математической сущности
золотого сечения, и попытаться осмыслить
его роль в современной математике.
История золотого сечения
В математике принцип «золотого
сечения» впервые был сформулирован в
«Началах» Эвклида, самом известном математическом
сочинении античной науки, написанном
в III веке до н.э. Переводчик Дж. Kампано
из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии.
Секреты золотого деления ревностно оберегались,
хранились в строгой тайне. Они были известны
только посвященным.
Если упростить задачу Эвклида,
то отрезок линии АВ будет считаться разделенным
точкой С (которая ближе к точке А) в «золотой
пропорции», если отношение большей части
СВ к меньшей АВ равно отношению всего
отрезка АВ к большей части СВ, т.е. СВ:АС=АВ:СВ.
Результатом решения этой задачи является
иррациональное число, приблизительно
равняющееся 1,618, которое и называют золотым
сечением, золотым числом или золотой
пропорцией.
После Евклида исследованием
золотого деления занимались Гипсикл
(II в. до н.э.), Папп (III в. н.э.) и др.
В целом все первые геометрические
системы – эвклидова геометрия, теорема
Пифагора – свидетельствуют о том, насколько
волновали древних греков проблемы гармонии,
поиск идеальных пропорций и форм. Однако
есть предположение, что первыми к принципу
золотого сечения пришли все же египтяне.
Наиболее известная пирамида Хеопса построена
с использованием т.н. золотого треугольника,
в котором соотношение гипотенузы к меньшему
катету равно золотому сечению. Храмы,
барельефы, предметы быта и украшения
из гробницы Тутанхамона свидетельствуют,
что египетские мастера пользовались
соотношениями золотого деления при их
создании. Французский архитектор Ле Корбюзье
нашел, что в рельефе из храма фараона
Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем
фараона Рамзеса, пропорции фигур соответствуют
величинам золотого деления. Зодчий Хесира,
изображенный на рельефе деревянной доски
из гробницы его имени, держит в руках
измерительные инструменты, в которых
зафиксированы пропорции золотого сечения.
Эстетическим каноном древнегреческой
культуры этот принцип стал благодаря
Пифагору, который изучал в стране пирамид
тайные науки египетских жрецов. Их результат
воплощен в фасаде древнегреческого храма
Парфенона, где присутствуют золотые пропорции.
При его раскопках обнаружены циркули,
которыми пользовались архитекторы и
скульпторы античного мира. В Помпейском
циркуле (музей в Неаполе) также заложены
пропорции золотого деления. Также с использованием
золотого сечения созданы Афродита Праксителя
и театр Диониса в Афинах.
Платон (427-347 гг. до н.э.) также
знал о золотом делении. Его диалог «Тимей»
посвящен математическим и эстетическим
воззрениям школы Пифагора и, в частности,
вопросам золотого деления.
Во времена средневекового
Ренессанса гениальный итальянский математик
Лука Пачоли написал первую книгу о золотом
сечении, назвав ее «Божественной пропорцией».
По его мнению, даже Бог использовал принцип
золотого сечения для создания Вселенной.
Эта идея была позже использована Кеплером,
последняя книга которого так и называлась
– «Гармония Вселенной». Пачоли считают
творцом начертательной геометрии.
В то же самое время Леонардо
да Винчи, другом которого был Пачоли,
использовал для композиционного построения
своей знаменитой Джоконды т.н. «золотой
равнобедренный треугольник», в котором
отношение бедра к основе равно золотому
сечению.
Леонардо да Винчи также много
внимания уделял изучению золотого деления.
Он производил сечения стереометрического
тела, образованного правильными пятиугольниками,
и каждый раз получал прямоугольники с
отношениями сторон в золотом делении.
Поэтому он дал этому делению название
«золотое сечение». Так оно и держится
до сих пор как самое популярное.
В то же время на севере Европы,
в Германии, над теми же проблемами трудился
Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения
к первому варианту трактата о пропорциях.
Судя по одному из писем Дюрера, он встречался
с Лукой Пачоли во время пребывания в Италии.
Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает
теорию пропорций человеческого тела.
Важное место в своей системе соотношений
Дюрер отводил «золотому сечению». Рост
человека делится в золотых пропорциях
линией пояса, а также линией, проведенной
через кончики средних пальцев опущенных
рук, нижняя часть лица – ртом и т.д. Известен
пропорциональный циркуль Дюрера.
Систематизировать знания по
золотому сечению и придать им четкую
арифметическую форму фундаментальной
пропорции мироздания удалось уже только
в наше время. Большая роль в исследовании
золотого сечения принадлежит украинскому
учёному Алексею Стахову, в 80-х годах прошлого
века обосновавшему базис нового учения
о гармонии систем, должного стать, по
его мнению, основной интегрирующей наукой
XXI века. Книги винницкого ученого «Введение
к алгоритмической теории измерения»,
«Коды золотой пропорции», «Компьютерная
арифметика на числах Фибоначчи и золотом
сечении», «Новый тип элементарной математики
и компьютерной науки на основе золотого
сечения» изданы за рубежом и не остались
без внимания западных производителей
информационных и компьютерных технологий.
Канадский университет Торонто признал
автора «мыслителем XXI века». Весной 2003
г. российский физик-теоретик Юрий Владимиров
открыл принцип золотого сечения в структуре
атома. Ощутимый прорыв в современных
представлениях о природе формообразования
биологических объектов сделал в начале
90-х годов украинский ученый Олег Боднар,
создавший новую геометрическую теорию
филлотаксиса.
Математика гармонии применима
и к современной экономике. Довольно известны,
например, работы российского ученого
Харитонова об экономическом развитии
российских регионов и страны, в целом
исходя из принципов золотого сечения.
Благодаря исследованиям американских
ученых Эллиота, Пречтера и Фишера числа
Фибоначчи вошли в сферу бизнеса как основа
оптимальных стратегий.
Наиболее перспективным направлением
применения новой математики считаются
компьютерные технологии. Сегодня эти
разработки защищены 65 патентами США,
Японии, Англии, Германии и других стран.
По одной из таких технологий известная
американская фирма недавно запустила
в серийное производство т.н. аналоговый
микропроцессор для цифровой обработки
сигналов.
Второе золотое сечение
Болгарский журнал «Отечество» (№10, 1983
г.) опубликовал статью Цветана Цекова-Карандаша
«О втором золотом сечении», которое вытекает
из основного сечения и дает другое отношение
44 : 56.
Такая пропорция обнаружена в архитектуре,
а также имеет место при построении композиций
изображений удлиненного горизонтального
формата.
Построение второго золотого сечения
Деление осуществляется следующим образом.
Отрезок АВ делится в пропорции золотого
сечения. Из точки С восставляется перпендикуляр
СD. Радиусом АВ находится точка D, которая
соединяется линией с точкой А. Прямой
угол АСD делится пополам. Из точки С проводится
линия до пересечения с линией AD. Точка
Е делит отрезок AD в отношении 56:44.
На рисунке показано положение линии
второго золотого сечения. Она находится
посередине между линией золотого сечения
и средней линией прямоугольника.
Деление прямоугольника линией второго
золотого сечения
Таким образом было доказано, что разделить
отрезок в крайнем и среднем отношении
можно не единственным способом.
« Золотые» фигуры
1.Золотой прямоугольник:
Если построить квадрат со
стороной АВ=а, найти середину М отрезка
АВ и провести дугу окружности радиусом
МС с центром в точке М до пересечения
с продолжением стороны АВ в точке Е, то
точка В разделит отрезок АЕ в крайнем
и среднем отношении.
Чтобы убедиться в этом, заметим, что
по теореме Пифагора
МС2=а2+(а/2)2=5а2/4
В силу чего
АЕ=а/2 +МЕ=(√5+1)а/2=φАВ
Прямоугольник АЕFD со
сторонами АЕ=φАD называется золотым прямоугольником.
Четырехугольник АВСD - квадрат. Нетрудно
видеть, что прямоугольник ВЕFС также золотой,
поскольку BC=a=φВЕ. Это обстоятельство
сразу наводит на мысль о дальнейшем разбиении
прямоугольника ВЕFС.
Можно ли считать, что
прямоугольник с отношением сторон, равным
φ, выглядит изящнее, чем прямоугольники
с отношением сторон, скажем, 2:1, 3:2 или
5:7? Чтобы ответить на этот вопрос, были
проведены специальные эксперименты.
Результаты их не вполне убедительны,
но все же свидетельствуют о некотором
предпочтении, отдаваемом золотому сечению.
Впрочем, может ли прямоугольник сам по
себе быть захватывающе прекрасным или
отталкивающе безобразным?
2.Золотой треугольник:
Проводим прямую АВ. От точки А
откладываем на ней три раза отрезок О
произвольной величины, через полученную
точку Р проводим перпендикуляр к линии
АВ, на перпендикуляре вправо и влево от
точки Р откладываем отрезки О. Полученные
точки d и d1 соединяем прямыми с точкой
А. Отрезок dd1 откладываем на линию Ad1, получая
точку С. Она разделила линию Ad1 в пропорции
золотого сечения. Линиями Ad1 и dd1 пользуются
для построения «золотого» прямоугольника.
3. Золотой пятиугольник;
построение Евклида
Замечательный пример «золотого сечения»
представляет собой правильный пятиугольник
– выпуклый и звездчатый
Построение правильного пятиугольника
и пентаграммы
Для построения пентаграммы необходимо
построить правильный пятиугольник.
Пусть О - центр окружности,
А - точка на окружности и Е - середина отрезка
ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восстановленный
в точке О, пересекается с окружностью
в точке D. Пользуясь циркулем, отложим
на диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны
вписанного в окружность правильного
пятиугольника равна DC. Откладываем на
окружности отрезки DC и получим пять точек
для начертания правильного пятиугольника.
Соединяем углы пятиугольника через один
диагоналями и получаем пентаграмму. Все
иагонали пятиугольника делят друг друга
на отрезки, связанные между собой золотой
пропорцией.
Каждый конец пятиугольной
звезды представляет собой золотой треугольник.
Его стороны образуют угол 36° при вершине,
а основание, отложенное на боковую сторону,
делит ее в пропорции золотого сечения.
Есть и золотой кубоид- это
прямоугольный параллелепипед с ребрами,
имеющими длины 1.618, 1 и 0.618.
Теперь рассмотрим доказательство,
предложенное Евклидом в «Началах».
Посмотрим теперь, как Евклид
использует золотое сечение для того,
чтобы построить угол в 72 градуса – именно
под таким углом видна сторона правильного
пятиугольника из центра описанной окружности.
Начнем с отрезка АВЕ, разделенного в среднем
и крайнем отношении точкой В. Проведем
далее дуги окружностей с центрами в точках
В и Е и радиусах АВ, пересекающиеся в точке
С. Чуть ниже докажем, что АС=АЕ, а пока
примем это на веру.