Парадокс Смейла

НАЦІОНАЛЬНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ М.П.ДРАГОМАНОВА

 

Кафедра вищої математики

 

КУРСОВА РОБОТА

З геометрії

на  тему:

Парадокс Смейла

 

Студентки 2 курсу 

Фізико – математичного інституту

21 МФІ групи

Римаренко Анни Петрівни

Науковий керівник:

Кандидат фізико – математичних наук,

старший викладач

Нікіфоров Роман Олексійович

                                                                        Кількість балів:  

                                                                   Оцінка ECTS:

                                                                   Члени комісії:

                                                                                               ______ _________________

                                                                                             (підпис)                 (прізвище, ініціали)

                            

                                                                                               ______ _________________

                                                                                             (підпис)                 (прізвище, ініціали)

 

                                                                                               ______ _________________

                                                                                             (підпис)                 (прізвище, ініціали)

 

Київ  – 2012

Вступ

Відомості з топології………    ………………………………………………….4

Американський математик Стівен Смейл……………………………………...8

Парадокс Смейла………………………………………………………………...10

Історія вивертання сфери……………………………………………………….15

Вивертання сфери……………………………………………………………….16

Висновки…………………………………………………………………………19

Література

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вступ

Моя курсова робота присвячена парадоксу Смейла – твердження, що сферу можна вивернути навиворіт. Сфера – це множина точок, рівновіддалених від початку координат на відстань . Вивернути навиворіт, в топології, означає всі внутрішні точки показати на поверхні сфери, а зовнішні точки сховати всередину сфери.

Протягом багатьох років  ніхто навіть замислитись не міг  над тим, що сферу можна вивернути  навиворіт. Це здається неможливим. Звичайно, як можна сферу вивернути навиворіт, не пошкодивши її? Простим людям  важко таке збагнути, але математики можуть все.

В цій роботі буде описано як саме можна вивернути сферу, весь процес також будуть демонструвати малюнки, ще ми дізнаємось про історію вивертання сфери та основні топологічні твердження, а також ознайомимося з математиками, які працювали в топології, і внесли свій вклад в Смейловий парадокс.

Смейл працював над вивертанням  сфери саме в топологічному просторі, тому ми наголошуємо саме на цей  розділ математики.

Як на мене, тема моєї курсової роботи більше, ніж цікава. Вона доводить ще раз те, що математика це не лише числа, які діляться на множини і над якими можна виконувати якісь операції, а й логічне доведення якихось неймовірних речей .

Мало хто й замислювався над тим, що над тілом, яке має  об’єм можна зробити, те що запропонував американський математик – Стівен Смейл.

 

 

 

 

 

Відомості з топології

Топологія – це розділ математики, який вивчає властивості геометричних об’єктів, які не змінюються під  час деформації.

Першочергово топологічні  задачі виникли в математичному  аналізі, при вирішенні таких  завдань, як: ліміт послідовності, різноманітних  видів лімітів функцій однієї змінної, лімітів функцій багатьох змінних, лімітів векторних функцій.

Другим важливим стимулом для розвитку топології було вивчення різноманітних видів поняття  неперервності.

Загальна топологія виникла  в результаті вивчення найбільш загальних  властивостей геометричних просторів, таких як метричні та топологічні.

Метрикою на будь – якій множині Х називається числова  не від’ємна функція ρ(x,y) , яка залежить від пари елементів x,yХ, для яких виконуються наступні аксіоми:

а) ρ(x,y)=0 тоді і тільки тоді, коли x=y (аксіома тотожності);

б) ρ(x,y)= ρ(y, x) (аксіома симетрії);

в) для будь – яких трьох  елементів x,y,z X справедлива така нерівність ρ(x,y)ρ(x,z)+ρ(z,y) (нерівність трикутника).

Нехай на множині Х задана топологія, якщо задане деяке сімейство  підмножин множини Х, так званих відкритих множин (множина, кожна точка якої входить внеї разомз деяким околом), для яких виконуються наступні умови:

а) вся множина Х, і разом  з нею порожня множина є  відкритими множинами;

б) об’єднання будь – якого сімейства і перетину кінцевого числа відкритих множин є відкритими множинами.

Множина Х із заданою на ній топологією називають топологічним простором, елементи множини Х називаються  точками простору Х. Доповненнями до відкритих множин називають замкнутими множинами. В топологічному просторі Х виконуються ті ж самі умови для замкнутих множин, що і для відкритих.

В топологічних просторах  відтворюються безліч понять метричних  просторів. Околом точки x топологічного простору Х називають будь – яку відкриту множину, яка містить точку x. Відкрита множина, яка містить підмножину У, називається околом множини У. Точкою дотику множини УХ називається точка x, для якої кожний її окіл має порожній перетин з множиною У.

Топологія – це порівняно  молода наука. Як і вся математика вона виникла з потреб життя. Вперше із суто топологічною задачею зустрівся  математик Леонард Ейлер, розв’язавши  задачу «про сім мостів». Формулювання задачі: «Місто Кенігсберг в Пруссії розташоване на берегах річки Переголя, рукави якої ділили місто на чотири частини, в тому числі й два острови – Кнайпгоф і Ломзе, що поєднувалися сімома містами: Бакалійним, Зеленим, Гноєвим, Кузенним, Дерев’яним, Високим і Медовим. Необхідно знайти такий маршрут через місто, щоб кожним мостом проходити рівно один раз»

Розв’язання: По-перше, Ейлер осягнув, що вибір маршруту всередині кожної з ділянок суходолу (островів, або берегів ріки) не має значення. Важлива лише послідовність перетину мостів. Це дозволило йому переформулювати задачу в абстрактних термінах (які лягли в основу теорії графів), виключивши усі ознаки окрім списку ділянок суходолу і мостів, що сполучають їх. В сучасних термінах, він кожну з ділянок суходолу замінив на абстрактну «вершину», а кожен міст на абстрактне «ребро», яке слугувало лише для відображення факту сполучення пари вершин (ділянок суходолу) цим мостом. Отримана математична структура називається графом (не порожня множина точок і множина відрізків, обидва кінці яких належать заданій множині точок).

Через те, що важлива лише інформація про зв'язки, форма в якій граф зображений на малюнку не має значення, якщо при цьому не змінюється сам  граф. Тільки існування (або відсутність) ребра між кожною парою вершин має значення. Наприклад, не має значення чи ребра намальовані як прямі або криві, або праворуч чи ліворуч від іншого зображений вузол.

Наступним спостереженням Ейлера було те, що (окрім кінцевих вершин прогулянки), коли хтось потрапляє до вершини  через міст, обов'язково її покидає  через міст. Інакше кажучи, впродовж кожного маршруту в графі, кількість  входів в некінцеві вершини дорівнює кількості виходів з них. Тепер, якщо кожний міст пройден рівно один раз, вірно наступне, для кожної ділянки  суходолу (окрім початкової і кінцевої), кількість мостів до цієї ділянки парна (половина з них буде пройдена за напрямком до ділянки, а половина з ділянки). Однак всі чотири ділянки суходолу в початковій задачі мають непарну кількість мостів (одна 5, а інші по 3). Через те, що лише дві ділянки можуть слугувати як початкова і кінцева точки ймовірного маршруту, задача пройтися усіма мостами рівно по одному разу призводить до протиріччя.

                 

Сучасною мовою, Ейлер показав, що можливість пройти через граф, пройшовши  кожне ребро рівно один раз, залежить від степенів вершин. Степінь вершини  це кількість ребер, що торкаються її. Аргументи Ейлера показали, що необхідною умовою прогулянки бажаного виду через  граф є зв'язність графа (між будь-якою парою вершин цього графа існує шлях) і відсутність або наявність рівно двох вершин непарного степеня. Ця умова виявилась і достатньою, що стверджував Ейлер і пізніше довів Карл Гьєхолзер. Такий шлях називається ейлерів шлях( в неорієнтованому графі це шлях, що проходить кожне ребро рівно один раз). Далі, якщо присутні дві вершини непарного степеня, тоді Ейлерів шлях почнеться з однієї з них і закінчиться в іншій. Через наявність чотирьох вершин непарного степеня, історична задача не має розв'язку.

Іншим формулюванням задачі є запит  на шлях, який проходить усіма ребрами  і початкова та кінцева точки  якого збігаються. Такий шлях називаєть ейлерів цикл(ейлерів шлях, що починається і завершується в одній вершині). Такий шлях існує тоді і тільки тоді, коли граф зв'язний і не містить вершин непарного степеня. Всі ейлерові цикли є ейлеровими шляхами, але не навпаки.

Це одиничний випадок такої топологічної задачі, насправді їх досить багато, для того, щоб відчути і осмислити топологію.

Математична спільнота високо відзначила внесок топологів до розвитку математики. За період з 1936 по 2006 роки, одна з найвидатніших відзнак  у математиці, Медаль Філдса, була присуджена 48 математикам, 9 з них за дослідження  саме в топології, але в роботах ще декількох із лауреатів топологічні методи грали важливу роль  (Ларс Альфорс – 1936р., Жан-Пьер Серр – 1954р., Рене Том – 1958р., Джон Милиор – 1962р., Александр Гротендик – 1966р., Майкл атия – 1966р., Стівен Смейл – 1966р., Сергій Новіков – 1970р., Уильям Терстон – 1982р., Майкл Фридман – 1986р., Едвард Виттен – 1990р., Григорій Перельман – 2006р.)

 

 

 

 

 

 

 

Американський математик  Стівен Смейл

 

 

Стівен Смейл (англ. Stephen Smale; народився 15 липня 1930) — американський математик, який очолював факультет математики Каліфорнійського університету в Берклі в 1960-61 і 1964—1995 роках, отримав премію Філдса 1966 року.

Він вступив до Мічиганського  університету в 1948 році. Продовжив навчання в аспірантурі, де він отримав ступінь доктора філософії в 1957 році під керівництвом Рауля Ботта.

Як викладач Смейл почав  свою кар'єру в коледжі при Чиказькому університеті. У 1958 році він вразив науковий світ відкриттям можливості «вивернути навиворіт» сферу в тривимірному просторі, згодом названої парадоксом Смейла. Крім цього він домігся великих успіхів у топології і вивченні динамічних систем.

У 1998 році він склав список з 18 завдань математики (Проблеми Смейла), які, на його думку, повинні бути вирішені в XXI столітті. Цей список складений у дусі проблем Гільберта:

1. Гіпотеза Рімана;
2. Гіпотеза Пуанкаре (доведена Григорієм Перельманом);
3. Питання про рівність класів Р і NP;
4. Оцінка кількості цілих чисел коренів поліномів від однієї змінної;
5. Розв’язок поліноміальних діамантових рівнянь;
6. Скінченність кількості точок відносно рівноваги в небесній механіці   (доведена для п’яти тіл Аленом Альбуєм та Вадимом Калошиним);
7. Розподіл точок на двовимірній гіперсфері;
8. Розширення математичної теорії загальної рівноваги на економічну теорію;
9. Поліноміальний алгоритм для визначення допустимих систем лінійних нерівностей;
10. Лема Чарльза П’ю про замикання;
11. Чи буде одновимірна динаміка гіперболічною в загальному випадку?
12. Централізатори  диффеоморфізмів (Крістіан Бонатті, Емі Уилкинсон);
13. Шістнадцята проблема Гільберта;
14. Аттрактор Лоренца (Уорік Такер);
15. Існування і гладкість розв’язування рівнянь Навє – Стокса;
16. Проблема Якобіана;
17. Розв’язання систем алгебраїчних рівнянь;
18. Визначення границі штучного і людського інтелекту.

У 2007 році він був удостоєний премії Вольфа з математики. Зараз же є професором Технологічного інституту в Чикаго.

 

 

 

Парадокс Смейла

В цій статі ми наведемо класифікацію занурень   другої сфери  в евклідово n-вимірний простір , n>2 з точністю до регулярної гомотопії.

Нехай - різноманіття Штіфеля всіх 2 – реперів в . Якщо визначені 2 занурень f та g в , то визначений і інваріант Ω(f,g)().

Теорема: якщо f та g - занурення в , то вони є регулярно гомотопними тоді і тільки тоді, коли Ω(f,g)=0. Крім цього, нехай дані занурення () і занурення f:→. Тоді існує занурення g:→, таке, що Ω(f,g)=0. Таким чином, існує взаємно однозначна відповідність між елементами () і регулярними гомо топічними класами занурень в .