Применение замечательных кривых в искусстве

В Древней Греции эпохи  классики возник ряд учений о гармонии. Из них наиболее глубокий след в  мировой культуре оставило Пифагорейское  учение. Последователи Пифагора представляли мир, вселенную, космос, природу и  человека как единое целое, где все  взаимосвязано и находится в  гармонических отношениях. Гармония здесь выступает как начало порядка  — упорядочивания хаоса.

Гармония присуща природе  и искусству: «Одни и те же законы существуют для музыкальных ладов  и планет»[18,стр.32]. Пифагорейцы и их последователи всему сущему в мире искали числовое выражение. Ими было обнаружено, что математические пропорции лежат в основе музыки (отношение длины струны к высоте тона, отношения между интервалами, соотношение звуков в аккордах, дающих гармоническое звучание).

Пифагорейцы пытались математически  обосновать идею единства мира, утверждали, что в основе мироздания лежат  симметричные геометрические формы.

Пифагорейцы искали математическое обоснование красоте. Они исследовали  пропорции человеческого тела и  утвердили математический канон  красоты, по которому скульптор Поликлет создал статую «Канон».

Вслед за пифагорейцами средневековый  ученый Августин назвал красоту «числовым  равенством». Философ схоласт Бонавентура писал: «Красоты и наслаждения нет без пропорциональности, пропорциональность же, прежде всего, существует в числах. Необходимо, чтобы все поддавалось счислению»[11,стр.28].

Таким образом, пропорциональность, соразмерность частей целого является важнейшим условием гармонии целого и может быть выражена математически посредством пропорций.

Слово «пропорция» ввел  в употребление Цицерон в 1 веке до н.э., переводя  на латынь платоновский термин «аналогия», который буквально означал «вновь-отношение», или, как мы говорим, «соотношение».  С тех пор вот уже 2000 лет пропорций в математике называют равенство между отношениями четырёх величин a,b,c,d.

Пропорция означает равенство двух или нескольких отношений. Существует несколько видов пропорциональности: математическая, гармоническая, геометрическая и др.

В математической равенство двух отношений выражается формулой a : b = с : d, и каждый член ее может быть определен через остальные три.

В гармонической пропорции 3 элемента. Они являются или попарными разностями некоторой тройки элементов, или самими этими элементами, например: а : с = (а — в) : (в — с)

В геометрической пропорции тоже всего 3 элемента, но один из них общий: а : в = в : с

Разновидностью геометрической пропорции является пропорция так  называемого «золотого сечения», имеющая всего два члена «а» и «в» — излюбленная пропорция художников, которую в эпоху Возрождения называли «божественной пропорцией».

Золотое сечение – это  такое пропорциональное деление  отрезка на неравные части, при котором  весь отрезок так относится к  большей части, как сама большая часть относится к меньшей. Другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему

a : b = b : c или с : b = b : а.

Рис. 1. Геометрическое изображение золотой пропорции

Практическое знакомство с золотым сечением начинают с  деления отрезка прямой в золотой  пропорции с помощью циркуля  и линейки.

Рис. 2. Деление отрезка прямой по золотому сечению. BC = 1/2 AB; CD = BC

Из точки В восставляется перпендикуляр, равный половине АВ. Полученная точка С соединяется линией с точкой А. На полученной линии откладывается отрезок ВС, заканчивающийся точкой D. Отрезок AD переносится на прямую АВ. Полученная при этом точка Е делит отрезок АВ в соотношении золотой пропорции.

Отрезки золотой пропорции  выражаются бесконечной иррациональной дробью AE = 0,618..., если АВ принять за единицу, ВЕ = 0,382... Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям.

Свойства золотого сечения  описываются уравнением:

x² – x – 1 = 0.

Решение этого уравнения:    

Свойства золотого сечения  создали вокруг этого числа романтический  ореол таинственности и чуть ли не мистического поклонения[21,стр.198] (приложение1).

Пропорциональность в  природе, искусстве, архитектуре означает соблюдение определенных соотношений  между размерами отдельных частей растения, скульптуры, здания и является непременным условием правильного  и красивого изображения предмета.

Окружающие нас предметы также часто дают примеры золотого сечения. Например, переплеты многих книг имеют отношение ширины и  длины, близкое к числу 0,618.

Одним из первых проявление золотого сечения в природе подметил немецкий математик и астроном Иоганн Кеплер (1570 – 1630). С XVII века наблюдения математических закономерностей в ботанике и зоологии стали быстро накапливаться. В 1850 году немецкий ученый А. Цейзинг открыл так называемый закон углов, согласно которому средняя величина углового отклонения ветки растения равна примерно 138^о.

Если внимательно рассмотреть  веточку с листьями, то можно заметить, что основания черешков располагаются  по винтовой линии, каждый следующий  лист прикреплен выше и в сторону  от предыдущего. Если соединить последовательно  основания листьев ниткой, то она  обовьется вокруг стебля по правильной винтовой линии.

Проследив за расположением  листьев на этой спирали, мы непременно увидим листья, которые расположены  один над другим. Часть спирали, заключенная  между двумя такими листьями, называется в ботанике "циклом".[приложение 2]

Ученые заметили, что этот ряд отличается одной любопытной и неожиданной особенностью, а  именно, что каждая из дробей начиная  с третьей, получается из двух предыдущих путем сложения их числителей и знаменателей: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13; … и 2, 3, 5, 8, 13, 21.

Семечки в корзинке подсолнуха выстраиваются вдоль спиралей, которые  закручиваются как слева направо, так и справа налево. В одну сторону  закручено 13 спиралей, в другую – 21.

В более крупных соцветиях  подсолнечника число соответствующих  спиралей – 21 и 34, или 34 и 55. Похожее  спиральное расположение наблюдается  у чешуек сосновых шишек, или ячеек  ананаса. В верхушках очень многих побегов можно различить такие  же системы спиральных рядов.

Красивейшее произведение древнегреческой  архитектуры – храм Парфенон –  построено в V веке до нашей эры. Отношение высоты здания к его длине равно 0,618.[приложение 3]

 

2.2 Использование «золотого сечения» в живописи и архитектуре

 

"Золотое" сечение  – один из основополагающих  принципов природы.

Золотая пропорция – отношение  большей части целого к самому целому выражает основные моменты живого роста: стремительный рост побега до зрелости и замедленный рост до момента  цветения, когда достигшее полной силы растение готовится дать жизнь  новому побегу[9,стр.73].

"Золотая" пропорция – понятие математическое. Но она является критерием гармонии и красоты, а это уже категория искусства.

Известно, что еще в  древности основу скульптуры составляла теория пропорций. Отношение частей человеческого тела связывались  с формулой "золотого" сечения. Пропорции "золотого" сечения  создают впечатления гармонии, красоты, поэтому скульпторы использовали их в своих произведениях.

То, что части красиво  сложенного человеческого тела находятся  в определенной пропорции, знает каждый. Недаром мы говорим о пропорционально сложенной фигуре. Но далеко не всем известно, что здесь имеет место золотое деление. Лучшим примером того, что древние ваятели использовали этот принцип при изображении человеческого тела, являются античные статуи.

Пропорции человеческого  лица не могут быть математически  и геометрически измерены, поскольку  многие параметры являются подвижными, но все, же основные неподвижные размеры  могут быть измерены.

Идеально сложенное человеческое тело полностью отвечает этому принципу. Если высоту хорошо сложенной фигуры разделить в крайнем и среднем  отношении, то линия раздела окажется на высоте талии. Особенно хорошо удовлетворяет  этому закону мужская фигура. Любая  античная скульптура отвечает закону "золотой" пропорции. Каждую отдельно взятую часть тела (голову, руку, кисть) также можно разделить на естественные части по закону "золотого" сечения.[приложение 4]

Для измерений необходимо применять  специальную измерительную шкалу  и специальную измерительную  единицу, которую называют словом "зеница", что созвучно слову "единица", но имеет особый математический смысл. А именно зеница не имеет конкретной величины, но является 1/180 частью вертикальной величины лица (высоты головы) от подбородка до вершины головы.

Контур человеческого лица в профиль, состоит из трёх физиогномических сфер: верхняя сфера (лоб и брови), средняя сфера (нос) и нижняя сфера (губы и подбородок). Каждая физиогномическая сфера имеет величину 60 зениц и всего величина человеческого лица от подбородка до вершины головы 60х3=180 зениц.

Верхняя физиогномическая сфера включает три уровня, итого каждый уровень  в рамках верхней сферы имеет  величину 60/3=20 зениц. Средняя физиогномическая сфера включает четыре уровня, итого  каждый уровень в рамках средней  сферы имеет величину 60/4=15 зениц. Нижняя физиогномическая сфера включает пять уровней, итого каждый уровень  в рамках нижней сферы имеет величину 60/5=12 зениц[7,стр.54].

Пропорции в архитектуре означают отношение подобных отрезков или фигур. Пропорциональный строй сооружения должен отвечать основному требованию гармонии — сочетать единство и многообразие. Цельность — условие существования композиции, многообразие необходимо для ее содержательности.

Теория  архитектурных пропорций развивалась не только как профессионально-эстетическое отражение практики, но и как процесс адаптации к архитектурным задачам представлений о геометрии и законах пространства, полученных в других областях знания (физика, философия, биология, психология и т.д.).

Красивое здание несет  в своих формах "золотую" пропорцию. В красивом (гармоничном) сочетании  звуков заложена "золотая" пропорция. По закону "золотого" сечения построена  Солнечная система. Пятеричную симметрию  имеет планета Земля, кора которой  выложена из пятиугольных плит. Есть основания  думать, что весь мир построен по принципу "золотой" пропорции. В  этом смысле Вселенная в целом  является грандиозным живым организмом, подобие с которым дает нам право самим называться живыми организмами.

Ориентация на необходимость гармонизации формы всегда опиралась на объективность  избирательного подхода человека при  восприятии пространства. Это утверждало гармонию как законную норму, как порядок отношений в геометрии объекта искусственной природы, соответствующий законам естественной природы. С древности, мерой архитектурных объектов выступал человек. Позже, под давлением социальных требований унификации и стандартизации, антропометрические системы измерения сменились абстрактными численными и линейными мерами.

Из всего вышесказанного делаем вывод о том, что теория пропорций, как и «золотое» сечение играет огромную роль в развитии искусства. Сама природа построена на принципах «золотого» сечения и пропорции.

 

III. Применение замечательных кривых в искусстве

 

Понятие линии возникло в  сознании человека в доисторические времена. Траектория брошенного камня, очертания цветов и листьев растений, извилистая линия берега реки и другие явления природы с давних пор привлекали внимания людей. Наблюдаемые многократно, они послужили основой для постепенного установления понятия о линии. Но потребовался значительный промежуток времени для того, чтобы наши предки стали сравнивать между собой формы кривых линий.

Первые рисунки на стенах пещер, примитивные орнаменты на домашней утвари показывают, что люди умели не только отличать прямую от кривой, но и различать отдельные кривые. Памятники глубокой древности свидетельствуют о том, что у всех народов на некоторой степени их развития имелись понятия прямой и их окружности. Для построения этих линий использовались простейшие инструменты.

Однако лишь с возникновением математических теорий стало развиваться  учение о линиях. Греческие ученые создали теорию линий второго  порядка. Эти линии рассматривались  как сечение конуса плоскостью, вследствие чего в древности их называли коническими  сечениями. Конические сечения впервые  рассматривал Менехм, который жил в IV веке до н.э.

"Золотым веком" греческой  геометрии называют эпоху, когда  жили и творили математики  Архимед (287-195 гг. до н.э.), Эрастофен (275-195гг. до н.э.), Аполлоний Пергский (250-190гг. до н.э.). Измерение криволинейных образов связано с именем Архимеда. Он указал методы измерения длины окружности, площади круга, сегмента параболы и спирали, объемов и поверхностей шара, других тел вращения и др.

Первое систематическое  изложение теории этих линий дал  Аполлоний Пергский (III–II вв до н.э.) в своем сочинении «Конические сечения», которое почти целиком дошло до нас. В поисках решения различных задач греческие ученые рассматривали и некоторые трансцендентные линии [6,стр.41].

В средневековую эпоху  важные достижения греческих ученых были забыты. Математическая наука снова обратилась к изучению кривых только в VII веке. Для исследования линий первостепенное значение имело открытие Декартом и Ферма метода координат, способствовавшего возникновению исчисления бесконечно малых. Метод координат в соединении с анализом бесконечно малых позволил перейти к исследованию линий общим способом.

Следующий важный шаг в изучении линий был сделан Ньютоном, который начал разработку теории кривых третьего порядка. Впоследствии были поставлены задачи: исследовать кривые четвертого и высших порядков, создать общую теорию алгебраических кривых на плоскости, приступить к систематическому изучению алгебраических поверхностей, начиная с поверхности второго порядка.