Контрольная работа по теме "Информатика"

 

 

Рис.4 – Графическое представление модели

 

После расчета  уравнения регрессии необходимо определить адекватность модели, для чего рассчитывается статистика по регрессии: коэффициент корреляции, коэффициент детерминированности, ошибки по Х и по Y,  остаточная сумма квадратов, регрессионная сумма квадратов, критерий Фишера и некоторые другие. Для возможности использования стандартных процедур и функций библиотеки stats значения Y и Y₁ вначале необходимо преобразовать к символьному виду (array) и только затем обрабатывать:

 

> y:=convert(Y,array):

> n:=nops(Y):

> sr:=evalf((sum(y[j],j=1..n)/n),7);

> Q:=evalf((sum((y[j]-sr)^2,j=1..n)),12);

> y1:=convert(Y1,array):

> Qe:=evalf((sum((y[j]-y1[j])^2,j=1..n)),12);

> Qr:=evalf(sum((y1[j]-sr)^2,j=1..n),12);

> R:=evalf(Qr/(Qr+Qe),4);

> correl:=evalf(R^0.5,6);

> k:=1;

> S:=Qe/(n-k-1);

> F:=evalf(Qr/S,4);

Результаты выводятся функцией printf:

> printf("Коэффициент корреляции             =>%20.6f\nКоэффициент детерминированности    =>%18.4f\nРегрессионная сумма квадратов   =>%15.1f\nОстаточная сумма квадратов        =>%15.1f\nОбщая сумма квадратов             =>%15.1f\nКритерий Фишера                    =>%16.2f\n",correl,R,Qr,Qe,Q,F);

 

Коэффициент корреляции            =>            0.841071

Коэффициент детерминированности    =>            0.7074

Регрессионная сумма квадратов      =>         5164.5

Остаточная сумма квадратов         =>         2135.7

Общая сумма  квадратов              =>         7300.2

Критерий Фишера                    =>           21.76

 

Здесь применимы выводы, сделанные  ранее в процессе описания решения  задачи в Excel. Аналогично проводится и анализ по признакам Х2 и Х3, представленный в работе в Приложениях 1.7 и 1.8.

 

 

 

 

2. Используя компьютерные технологии, решить задачи линейного программирования

а)Задача оптимального планирования производства.

Условие задания 2а): Для производства двух видов изделий А и В используется три типа технологического оборудования. На производство единицы изделия А оборудование первого типа используется а₁ часов, оборудование второго типа – а₂ часов, оборудование третьего типа – а₃ часов. На производство единицы изделия В оборудование первого типа используется в₁ часов, оборудование второго типа – в₂ часов, оборудование третьего типа – в₃ часов.

На изготовление всех изделий администрация предприятия  может предоставить оборудование первого типа не более чем на t₁ часов, оборудование второго типа не более чем на t₂ часов, оборудование третьего типа не более чем на t₃ часов.

Прибыль от реализации единицы  готового изделия А составляет α  руб., а изделия В – β руб.

Составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации.

 

В качестве инструментария решения использовать:

• надстройку «Поиск решения» ТП MS Excel;
• библиотеки Simplex и Optimization СКМ Maple

 

Вариант	а1	а2	а3	в1	в2	в3	t1	t2	t3	α	β
3	6	4	3	2	3	4	600	520	600	6	3

 

Математическая постановка задачи

Обозначим через      х1 – количество изделий вида А;

     х2 – количество изделий вида В.

Математическая модель задачи имеет вид:

Целевая функция:  F=6x1+3x2 à max

Система ограничений:

6х1+2х2<=600

4х1+3х2<=520

3х1+4x2<=600

х1, х2 >=0, х1, х2 – целые

 

Размещение  данных на рабочем листе ТП MS Excel.

Разместим исходные данные в ячейках рабочего листа  А3:F9 рабочего листа ТП MS Excel как показано на рисунке 5.

Рис.5 – Исходные данные к задаче

 

В ячейки F5:F6 введем начальное значение параметров х1 и х2  (примем их равными нулю).

В ячейки В9:D9 внесем значения ограничений на использование оборудования каждого вида 600, 520 и 600 соответственно.

В ячейках  В8:D8 рассчитаем значения ограничений на использование оборудования каждого вида соответственно:

В ячейке В8  =B5*$F$5+B6*$F$6

В ячейке С8  =C5*$F$5+C6*$F$6

В ячейке D8 =D5*$F$5+D6*$F$6

В ячейке Е7 рассчитываем значение целевой функции =E5*F5+E6*F6.

 

Формулировка  математической модели задачи в терминах ячеек рабочего листа ТП MS Excel.

Целевая функция:  ячейка Е7 àmax

 

Система ограничений

:

В8<=B9

C8<=C9

D8<=D9

F5:F6>=0,  F5:F6 – целое

Таким образом, в терминах ячеек рабочего листа  ТП MS Excel математическая модель задачи может быть сформулирована следующим образом:

добиться  максимального значения в ячейке Е7, изменяя значения ячеек F5:F6 так, чтобы  значения в ячейках В8:D8 были бы не больше значений в ячейках В9:D9, при неотрицательных и целых значениях в ячейках F5:F6.

 

Поиск оптимального решения.

Окно надстройки «Поиск решения» (Сервис à Поиск решения) с постановкой задачи в терминах ячеек рабочего листа Excel приведено ниже.

Рис.6 – Окно надстройки «Поиск решения»

 

Решение задания 2а) средствами ТП MS Excel в режиме значений и в режиме формул приведено в Приложениях 2.1-2.2.

 

Анализ результатов.

Вывод: В результате оптимизации получено:

максимальная прибыль в размере 672 у.е. будет получена при производстве 76 шт. изделий вида А и 72 шт. изделий вида В;

время использования оборудования каждого вида при оптимальном плане составляет 600, 520 и 516 час. соответственно.

Результаты оптимизации  можно посмотреть в Отчете по результатам (Приложение 2.3), сформированном Поиском решения.

 

 

Приведем решение в системе Maple с использование библиотеки simplex:

 

> with(simplex);

Warning, the protected names maximize and minimize have been redefined and unprotected

 

> func:=6*x1+3*x2;

> ogran:={6*x1+2*x2<=600,4*x1+3*x2<=520,3*x1+4*x2<=600};

> rez:=maximize(func,ogran, NONNEGATIVE);

> rez:=evalf(rez,3);

> F:=subs(rez,func);

 

 

Приведем решение в системе Maple с использованием библиотеки Optimization:

 

> restart;

> with(Optimization);

> func:=6*x1+3*x2;

> ogran:={6*x1+2*x2<=600,4*x1+3*x2<=520,3*x1+4*x2<=600};

> LPSolve(func,ogran,assume={nonnegative,integer},maximize);

 

 

б) Задача оптимизации плана перевозок (транспортная задача)

Условие задания 2б): Имеются n пунктов производства и m пунктов распределения продукции. Стоимость перевозки единицы продукции с i-го пункта производства в j-й центр распределения c_ij приведена в таблице, где под строкой понимается пункт производства, а под столбцом – пункт распределения. Кроме того, в этой таблице в i-той строке указан объем производства в i-м пункте производства, а в j-м столбце указан спрос в j-м центре распределения. Необходимо составить план перевозок по доставке требуемой продукции в пункты распределения, минимизирующий суммарные транспортные расходы.

В качестве инструментария решения использовать:

• библиотеку Simplex СКМ Maple,

 

Вариант 3

 

	Стоимость перевозки единицы продукции					Объемы производства
	6	3	4	5		20
	5	2	3	3		70
	3	4	2	4		50
	5	6	2	7		30
Объемы потребления	40	30	80	20

Для решения  данной задачи построим математическую модель. Отметим, что данная задача является сбалансированной в силу того, что общий объем потребления равен общему объему производства, так что введение в задачу фиктивных пунктов производства или потребления не производится. Неизвестными здесь являются объемы перевозок. Пусть х_ij – объем перевозок с i-й фабрики в j-й центр распределения. Функцией цели являются суммарные транспортные расходы, т.е.

где c_ij – стоимость перевозки единицы продукции с i-й фабрики в j-й центр распределения. Кроме того, неизвестные должны удовлетворять следующим ограничениям:

-неотрицательность объема перевозок;

-т.к. модель сбалансирована, то  вся продукция должна быть вывезена с фабрик и потребность всех центров распределения должна быть полностью удовлетворена.

Таким образом, мы имеем следующую  модель:

-минимизировать:

-при ограничениях:

 

где a_i – объем производства на i-й фабрике, b_j – спрос в j-м центре распределения.

У нас модель получается следующей:

 

z=6x₁₁+3x₁₂+4x₁₃+5x₁₄ + 5x₂₁+2x₂₂+3x₂₃+3x₂₄ + 3x₃₁+4x₃₂+2x₃₃+4x₃₄ +

+5x₄₁+6x₄₂+2x₄₃+7x₄₄ àmin

 

 x₁₁+x₁₂+x₁₃+x₁₄=20

x₂₁+x₂₂+x₂₃+x₂₄=70

x₃₁+x₃₂+x₃₃+x₃₄=50

x₄₁+x₄₂+x₄₃+x₄₄=30

x₁₁+x₂₁+x₃₁+x₄₁=40

x₁₂+x₂₂+x₃₂+x₄₂=30

x₁₃+x₂₃+x₃₃+x₄₃=80

x₁₄+x₂₄+x₃₄+x₄₄=20

x_ij≥0 (i,j=1..4)

Далее представлено решение задачи с помощью библиотеки simplex СКМ Maple:

 

> restart: with(simplex);

Warning, the protected names maximize and minimize have been redefined and unprotected

 

> func:=6*x11+3*x12+4*x13+5*x14+5*x21+2*x22+3*x23+3*x24+3*x31+4*x32+2*x33+4*x34+5*x41+6*x42+2*x43+7*x44;

> ogran:={x11+x12+x13+x14=20,x21+x22+x23+x24=70,x31+x32+x33+x34=50,x41+x42+x43+x44=30,x11+x21+x31+x41=40,x12+x22+x32+x42=30,x13+x23+x33+x43=80,x14+x24+x34+x44=20};

> rez:=minimize(func,ogran,NONNEGATIVE);

> F:=subs(rez,func);

Итак, найдено  решение, позволяющее выполнить  все перевозки с минимально возможными затратами в 460 д.е.

 

 

 

 

 

 

3. Используя компьютерные технологии, выполнить планирование проекта.

Условие задания 3: Фирма запланировала реконструкцию своего офиса. Перечень работ, которые необходимо для этого выполнить, представлен в таблице. Требуется:

• построить календарный график проекта (диаграмму Ганта);
• рассчитать временные характеристики проекта;
• проанализировать проект и попытаться сократить длительность критического пути.

В качестве инструментария решения использовать систему управления проектами MS Project

 

При оформлении этого задания в  контрольной работе следует:

• Привести календарный график (диаграмму Ганта) проекта
• Привести календарный график (диаграмму Ганта) с указанием критического пути и суммарной задачи.
• Перечислить работы, по которым проходит критический путь.
• Перечислить работы, время начала которых можно сдвинуть.
• Привести диаграмму Ганта, полученную после анализа проекта.
• Сделать вывод об изменении критического пути.