Методі математичної обробки експериментальних даних

Якщо вузли інтерполяції x0, x1, x2, … xn нерівновіддалені, задача легко вирішується за допомогою інтерполяційної формули Лагранжа (2.3). Для цього достатньо прийняти у за незалежну змінну, а х вважати функцією. Тоді отримаємо

x =

(1.32)

 

 

2. ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА

 

2.1. Лінійна кореляція між незалежною величиною х та залежною – у.

Проведемо кореляційний аналіз і встановимо наявність лінійного зв¢язку між експерименальними даними (вихідні дані 1). За допомогою прикладної програми mnk.exe (див. додаток 1, блок-схема цього метода представлена в 3437.ХТ03125.005) розраховуємо використовуя х та у з табл. 2.1, получені дані знаходяться також в табл. 2.1.

Таблиця 2.1

Дані для розрахунку коефіцієнта кореляції.

 

n	X	y	xy	x2	y2
1	2,5	0,8	2	6,25	0,64
2	1,2	17	20,4	1,44	289
3	1,8	3,6	6,48	3,24	12,96
4	2	2,8	5,6	4	7,84
5	2,2	1,2	2,64	4,84	1,44
6	1,5	7,4	11,1	2,25	54,76
7	1,7	5,4	9,18	2.89	29,16
8	2,8	0,36	1,008	7,84	0,1296
å	15,7	38,56	58,408	32,75	395,9296

 

Коефіцієнт кореляції розраховується за формулою (1.1), використовуючи потрібні дані з табл. 2.1:

 

 

Значення коефіцієнта кореляції достатньо велике, щоб зробити висновок про наявність тісного лінійного зв'язку. Значимість коефіцієнта кореляції перевіряємо по значенню H за формулою (1.3):

H = 0,8556 = 2,2636

Для рівня довірчості 0,99 табличне значення Табл. = 2.29, H>Hтабл., отже коефіцієнт кореляції є значущим і гіпотеза про лінійний зв'язок x і y може бути прийнята з рівнем довірчості 0,99.

 

 

2.2. Лінійна  кореляція між випадковими фізичними  величинами m і Ср.

Проведемо дослідження наявності лінійного зв¢язку між двома випадковими фізичними властивостями. За допомогою прикладної програми mnk.exe розраховуємо ,які приведені у табл. 2.2:

Таблиця 2.2

 

№	x=m, Па×с	y=Cp, кДж/кг×К	Xy	x2	y2
1	2057	0,920
2	2321	0,929
3	2566	0,942
4	2795	0,957
5	3012	0,973
6	3217	0,988
7	3414	1,004
8	3603	1,018
å	22985	7,731	22345,22	68072909	7,4799

 

Вибірковий коефіцієнт кореляції для в¢язкості і теплоємністі  визначимо за формулою (1.4), попередньо зробивши розрахунки за формулами (1.6–1.8):

 

;

 

Sx

;

 

Sy

;

 

 

r

.

 

     Коефіцієнт кореляції незначущий, тому що H =0,1817 =0,6359 менше табличного для рівня значущості 0,95 (Hтабл=1,90). Таким чином, можна вважати недостатньо тісною лінійну залежність між в¢язкістю і теплоємкістю.

 

 

 

 

2.2. Знаходження коефіцієнтів  для рівнянь лінійного виду  та аналіз рівняння регресії

 

Для лінійної регресії (y = a + bx) визначаємо коефіцієнти нормальних рівнянь. Для цього за допомогою програми mnk треба знайти значення , . Вони знайдені раніше (дивись табл. 2.1).

Система нормальних рівнянь має вид:

                                          

Знаходимо значення коефіцієнтів:

                                           a =  22,2975; b =-8,9057

Лінійна регресія має вид:

= 22,2975+(-8,9057)X

По цьому рівнянню обчислюємо значення в кожній точці (табл. 2.3).

 

Таблиця 2.3

 

№ п/п	X	Y		У–	(у– )2
1	2,5	0,8	0,0332	0,7668	0,5879
2	1,2	17,0	11,6107	5,3893	29,0445
3	1,8	3,6	6,2672	-2,6672	7,1139
4	2	2,8	4,4861	-1,6861	2,8429
5	2,2	1,2	2,705	-1,505	2,265
6	1,5	7,4	8,939	-1,539	2,3685
7	1,7	5,4	7,1578	-1,7578	3.0899
8	2,8	0,36	-2,6385	2,9985	8,991
	15,7				56,3036

 

Перевіримо адекватність отриманої лінійної моделі та оцінимо її коефіцієнти.

Дисперсія адекватності моделі (по формулі 1.17):

= 56,3036/(8-2) = 9,3839

Для оцінки значимості коефіцієнтів рівняння регресії визначимо дисперсії і по рівнянню (1.18):

= = 4,8153

 

S = = 19,7126

Використовуючи формули (1.19) і обравши з табл. 1,1 значення критерію Стьюдента при n – k = 6, що дорівнює t = 2,45 знаходимо довірчі границі Dа і Db.

Dа = ±2,45 × 4,4399 = ±10,8777

Db = ±2,45 ×2,1944= ±5,3763

Так як по абсолютному розміру |а|≥|Dа|, а |b|<|Db|, то коефіцієнти а – значущий, а коефіцієнт b - незначущий.

 Середнє  відхилення виміру у:

Dy = ± 0,02 × уср = ± 0,02 × = ± 0,0964

При мінімальній кількості паралельних вимірів у кожній точці m=2 максимальне значення дисперсії відтворності складе:

  = 0,0185

Критерій Фішера по формулі (1.20)

Fексп= = 507,2378

Табличне значення критерію Фішера (Fтабл) знаходимо по числу ступенів свободи  чисельника (S ) і знаменника (S )

f1= n - k = 8 - 2 = 6,

,

де n = 8 – кількість експериментальних точок; k = 2 – кількість знайдених коефіцієнтів моделі; m = 2 – кількість паралельних вимірів у кожній точці (приймаємо  мінімальне значення m = 2).

По табл. 1.2  F6,1 = 234. Оскільки Fексп>Fтабл, то лінійна модель неадекватна результатам експерименту. Це очевидно і по розмірах обчислених значень

, що значно відрізняються від експериментальних.

2.3. Знаходження коефіцієнтів  для рівнянь нелінійного виду  та аналіз рівняння регресії

 

Розглянемо тепер рівняння нелінійної регресії  y= а + bx3

Задану нелінійну залежність y=а + bx3 необхідно попередньо привести до лінійного виду. Зробимо заміну X = x3 отримаємо лінійну залежність:

y= a + bX

           За допомогою програми mnk  знайдемо значення Xi, yi, X , y , Xi · yi (табл.2.4)

 

 

Таблиця 2.4

Результати обчислень для залежності y = a + bX

№ п/п	Х(х3)	Y	Xy	X2		(у– )2
1	15,625	0,8	12,5	244,1406	5,6546	0,7147
2	1,728	17	29,376	2,9856	4,315	0,0462
3	5,832	3,6	20,9952	34,0122	7,1899	0,0001
4	8	2,8	22,4	64	8,6958	0,0109
5	10,648	1,2	12,7776	113,3799	3,4936	0,0113
6	3,375	7,4	24,975	11,3906	9,791	0,0083
7	4,913	5,4	26,5302	24,1376	2,8091	0,00008
8	21,952	0,36	7,9027	481,8903	7,8744	0,0753
	72,073	38,56	157,457	975,937	55,2577	0,8669

 

          Знаходимо значення коефіцієнтів нормальних рівнянь:

                                          8a + 13,8b = 50,4;

     13,8a + 29,8b = 103,45; 

 b = 2,7377;

 a = 1,577

Модель має вид :

= 1,577+2,738· X

 По цьому  рівнянню обчислюємо значення  в кожній точці (табл. 2.4).

Розраховуємо дисперсію адекватності моделі:

S = = 0,59295

Тепер для оцінки значимості коефіцієнтів рівняння регресії визначимо дисперсії і :

S = =0,0989;

 

S = =0,3647;

Знаходимо довірчі границі Dа і Db:

a = 0,6039;= 1,4796

b = 0,3145= 0,77298

Так як по абсолютному розміру |а| >|Dа| и |b|>|Db|, то коефіцієнти рівняння а значущій і b значущі.

Отже, нелінійна залежність має вигляд :

                                            =  1,577+2,738(x)1/2

 

По цьому рівнянню обчислюємо значення в кожній точці (табл. 2.5 ).

                                       

                                                                                                          Таблиця 2.5

 

№	x	Y		У–	(у– )2
1	2,9	6,5	6,2316	0,2684	0,072
2	1	4,1	4,315	-0,215	0,0462
3	4,2	7,2	7,1899	0,0101	0,0001
4	6,8	8,8	8,6958	0,1042	0,0109
5	05	3,6	3,4936	0,1064	0,0113
6	9	9,8	9,791	0,009	0,00008
7	0,2	2,8	2,8091	-0,0091	0,00008
8	5,3	7,6	7,8744	-0,2744	0,0754
	29,9	50,4	50,5004	-0,0639	0,21606