Методі математичної обробки експериментальних даних

 

Розраховуємо дисперсію адекватності моделі:

S = = 0,03601

Dy = ± 0,02*50,4/8=0,126

 

S = 2*(0,126)^2=0.0318

Критерій Фішера у даному випадку:

Fексп = = 1.1324

По табл. 2,2  F6,1 = 234. Оскільки Fексп<Fтабл, то дана модель адекватна результатам експерименту. Це очевидно і по розмірах обчислених значень

, що значно відрізняються від експериментальних

2.5. Параболічна інтерполяція.

Використовуючи метод параболічної інтерполяції визначимо необхідну ступінь поліному, його коефіцієнти і значення параметрів у зазначених невузлових точках по вихідним даним 2. Складемо по кожній заданій температурі для кожного параметру поліном починая з першого ступеню.

1)  При Т=475К знайдемо m, складемо поліном першого порядку. Для цього виберемо з таблиці експериментальних даних (див. вихідні дані 2) 2 точки між якими знаходиться задана Т. Та складемо систему нормальних рівнянь.                                                                                                                                      Поліном першого ступеню прийме вид:               

108×m¢=y¢=a0+a1x; де x=T.

Дві точки між якими лежить заданий х:             

   x0=450;         x1=500;

   y0=2795;      y1=3012.

Система нормальних рівнянь прийме вид:

 Рішати усі системи нормальних  рівнянь ми будемо за допомогою  прикладної програми GZ1.EXE (дивись додаток 2), зокрема і цю систему, коефіцієнкти якої приймуть значення:

 a0=841,99;  a1=4,34.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=475 у поліном першого ступеню 108×m¢=y¢=841,99+4,34x=2903,49, звідси m=2903,49 Па×с.

Ступінь поліному підвищуємо на 1, та розраховуємо аналогічно попередньому прикладу.

Поліном другого ступеню прийме вид:               

108×m¢¢=y¢¢=a0+a1x+a2x2;

Оберемо три точки найближче розташовані коло заданого х=Т=475

x0=450;      x1=500;      x2=550;

y0=2795;    y1=3012;    y2=3217.

Складемо систему нормальних рівнянь:

За допомогою прикладної програми GZ1.EXE знаходимо коефіцієнти рівняння:

a0=301,99;  a1=6,62;  a2= -0,0024.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=475 у поліном другого ступеню 108×m¢¢=y¢¢=301,99+6,62x+(-0,0024)x2=2904,99,  звідси m=2904,99Па×с

Тепер перевіримо похибку за формулою , коли h<5%, тоді даний поліном найменшого порядку нам підходить для описання експериментальних даних на деяком відрізкі.

Так як h<5%, то поліном першого порядку при a0=841,99;  a1=4,34 підходить для описання експериментальних даних на деяком відрізкі, тобто при Т=475К,  m=2903,49×10Па×с.

2) Аналогічно розраховуємо для Т=475К, l=?

Починаємо з найменшої степені поліному:

104×l¢=y¢=a0+a1x; x=T.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:  

  x0=450;        x1=500;

  y0=370;     y1=404.

Складемо систему нормальних рівнянь:

За допомогою прикладної програми GZ1.EXE знаходимо коефіцієнти рівняння:

a0=366,63;  a1=0,075.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=475 у поліном першого ступеню 104×l¢=y¢=366,63+0,075x=402,255 ,  звідси l=402,255 Вт/(м×К)

Степень поліному підвищуємо на 1, та розраховуємо:

104×l¢¢=y¢¢=a0+a1x+a2x2;

Обираємо три точки між якими лежить заданий х:  

 x0=450;       x1=500;      x2=550;

 y0=370;    y1=404;    y2=439.

Складемо систему нормальних рівнянь:

За допомогою прикладної програми GZ1.EXE знаходимо коефіцієнти рівняння:

a0=109;  a1=0,49;  a2=0.00019.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=530 у поліном другого ступеню 104×l¢¢=y¢¢=109+0,49x+0.00019x2=384,61, звідси l=384,61Вт/(м×К)

Так як h<5%, то поліном першого порядку при a0=366,63;  a1=0,075;  підходить для описання експериментальних даних на деяком відрізкі, тобто при Т=475К,  l=402,255 Вт/(м×К)

 

3) Аналогічно розраховуємо для Т=475К, Ср=?

Починаємо з найменшої степені поліному:

Ср¢=y¢=a0+a1x; x=T.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:  

x0=450;         x1=500;

y0=0,957;      y1=0,973.

Складемо систему нормальних рівнянь:

За допомогою прикладної програми GZ1.EXE знаходимо коефіцієнти рівняння:

a0=0,813;  a1=0,00032.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=475 у поліном першого ступеню Ср¢=y¢=0,813+0,00032x=0,965, де Ср=0,965 кДж/(кг×К)

Степень поліному підвищуємо на 1, та розраховуємо:

Ср¢¢=y¢¢=a0+a1x+a2x2;

Обираємо три точки між якими лежить заданий х:  

 x0=450;      x1=500;       x2=550;

 y0=0,957;   y1=0,973;    y2=0,988.

Складемо систему нормальних рівнянь:

За допомогою прикладної програми GZ1.EXE знаходимо коефіцієнти рівняння:

a0=0,768;  a1=0,0005;  a2= -0.00000019.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=475 у поліном другого ступеню Cp¢¢=y¢¢=0,768+0,0005x+(-0.00000019)x2=0,963, де Ср=0,963 кДж/(кг×К)

Так як h<5%, то поліном першого порядку при a0=0,813;  a1=0,00032 підходить для описання експериментальних даних на деяком відрізкі, тобто при Т=475К,  Ср=0,965 кДж/(кг×К)

4)  Аналогічно розраховуємо для Т=315К, m=?

Починаємо з найменшої степені поліному:

108×m¢=y¢=a0+a1x; x=T.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:  

 x0=300;         x1=350;

 y0=2057;     y1=2321.

Складемо систему нормальних рівнянь:

 За допомогою прикладної  програми GZ1.EXE знаходимо коефіцієнти рівняння:

a0=472,9998;  a1=5,28.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=315 у поліном першого ступеню108×m¢=y¢=472,9998+5,28x=2136,19, звідси m=2136,19Па×с.

Степень поліному підвищуємо на 1, та розраховуємо:

108×m¢¢=y¢¢=a0+a1x+a2x2;

Обираємо три точки між якими лежить заданий х:  

 x0=300;       x1=350;    x2=400;

 y0=2057; y1=2321;    y2=2566.

Складемо систему нормальних рівнянь:

За допомогою прикладної програми GZ1.EXE знаходимо коефіцієнти рівняння:

a0=74;  a1=7,75;  a2= -0.0038.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=315 у поліном другого ступеню 108×m¢¢=y¢¢=74+7,75x-0.0038x2=2138,19, звідси m=2138,19 Па×с.

Так як h<5%, то поліном першого порядку при a0=472,9998;  a1=5,28 підходить для описання експериментальних даних на деяком відрізкі, тобто при Т=315К,   m=2136,19Па×с

5) Аналогічно розраховуємо для Т=315К, l=?

Починаємо з найменшої степені поліному:

104×l¢=y¢=a0+a1x; x=T.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х: 

x0=300;             x1=350;

y0=262;      y1=299.

Складемо систему нормальних рівнянь:

 За допомогою прикладної  програми GZ1.EXE знаходимо коефіцієнти рівняння:

 a0=40;  a1=0.74.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=315 у поліном першого ступеню 104×l¢=y¢=40+0.74х=273,1,  звідси l=273,1 Вт/(м×К)

Степень поліному підвищуємо на 1, та розраховуємо:

104×l¢¢=y¢¢=a0+a1x+a2x2;

Обираємо три точки між якими лежить заданий х:  

x0=300;          x1=3500;       x2=400;

y0=262;   y1=299;    y2=334.

Складемо систему нормальних рівнянь:

За допомогою прикладної програми GZ1.EXE знаходимо коефіцієнти рівняння:

a0= -2;  a1=1;  a2=0.00039.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=315 у поліном другого ступеню 104×l¢¢=y¢¢=(-2)+x+0.00039x2=274,3 ,  звідси l=274,3Вт/(м×К)

Так як h<5%, то поліном першого порядку при a0=40;  a1=0.74 підходить для описання експериментальних даних на деяком відрізкі, тобто при Т=315К, l=273,1Вт/(м×К)

 

6) Аналогічно розраховуємо для  Т=315К, Cp=?

Починаємо з найменшої степені поліному:

Cp¢=y¢=a0+a1x; x=T.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:  

x0=300;             x1=350;

y0=0,920;        y1=0,929.

Складемо систему нормальних рівнянь:

За допомогою прикладної програми GZ1.EXE знаходимо коефіцієнти рівняння:

 a0=0,866;  a1=0.0001.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=315 у поліном першого ступеню Cp¢=y¢=0,866+0.0001х=0,8975, де Ср=0,8975кДж/(кг×К)

Степень поліному підвищуємо на 1, та розраховуємо:

Cp¢¢=y¢¢=a0+a1x+a2x2;

Обираємо три точки між якими лежить заданий х:  

 x0=300;         x1=350;       x2=400;

 y0=0,920;    y1=0,929;    y2=0,942.

Складемо систему нормальних рівнянь:

За допомогою прикладної програми GZ1.EXE знаходимо коефіцієнти рівняння:

a0=0,9492;  a1=-0,00034;  a2=0,0000008.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=315К у поліном другого ступеню Cp¢¢=y¢¢=0,9492+( -0,00034)x-0.0000008x2=0,9222, де Ср=0,9222 кДж/(кг×К)

 

Так як h<5%, то поліном першого порядку при a0=0,866;  a1=0,0001 підходить для описання експериментальних даних на деяком відрізкі, тобто при Т=315К,  Ср=0,8975 кДж/(кг×К)

 

7) Аналогічно розраховуємо для  Т=675К, m=?

Починаємо з найменшої степені поліному:

108×m¢=y¢=a0+a1x; x=T.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:  

x0=600;        x1=650;

y0=3414;      y1=3603.

Складемо систему нормальних рівнянь:

 За допомогою прикладної  програми GZ1.EXE знаходимо коефіцієнти рівняння:

 a0=1146;  a1=3,78.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=675 у поліном першого ступеню 108×m¢=y¢=1146+3,78x=3697,5 , звідси m=3,697×10-5 Па×с.

Степень поліному підвищуємо на 1, та розраховуємо:

108×m¢¢=y¢¢=a0+a1x+a2x2;

Обираємо три точки між якими лежить заданий х:  

 x0=600;      x1=650;      x2=550;

 y0=3414;    y1=3603;    y2=3217.

Складемо систему нормальних рівнянь:

За допомогою прикладної програми GZ1.EXE знаходимо коефіцієнти рівняння:

a0=521,99;  a1=5,78;  a2=-0.0016.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=675 у поліном другого ступеню  108×m¢¢=y¢¢=521,99+5,78x+(-0.0016)x2=3694,49 , звідси m=3,694×10-5 Па×с.

Так як h<5%, то поліном першого порядку при a0=1146;  a1=3,78 підходить для описання експериментальних даних на деяком відрізкі, тобто при Т=675К  m=3,697×10-5 Па×с

 

8) Аналогічно розраховуємо для  Т=675К, l=?

Починаємо з найменшої степені поліному:

104×l¢=y¢=a0+a1x; x=T.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:  

 x0=600;        x1=650;

 y0=509;      y1=473.

Складемо систему нормальних рівнянь:

 За допомогою прикладної  програми GZ1.EXE знаходимо коефіцієнти рівняння:

a0=40,99;  a1=0,72.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=750 у поліном першого ступеню 104×l¢=y¢=40,99+0,72x=526,99,   звідси l=5,2699×10-2 Вт/(м×К)

Степень поліному підвищуємо на 1, та розраховуємо:

104×l¢¢=y¢¢=a0+a1x+a2x2;

Обираємо три точки між якими лежить заданий х:  

x0=600;      x1=650;      x2=550;

y0=473;    y1=509;    y2=439.

Складемо систему нормальних рівнянь:

За допомогою прикладної програми GZ1.EXE знаходимо коефіцієнти рівняння:

a0=197;  a1=0,22;  a2=0.00039.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=675 у поліном другого ступеню 104×l¢¢=y¢¢=197+0.22x+0.00039x2=523,99, звідси l=5,2399×10-2 Вт/(м×К)

Так як h<5%, то поліном першого порядку при a0=40,99;  a1=0,72 підходить для описання експериментальних даних на деяком відрізкі, тобто при Т=675К  l=5,2699×10-2 Вт/(м×К)

 

 

9) Аналогічно розраховуємо для Т=675К, Cp=?

Починаємо з найменшої степені поліному:

Cp¢=y¢=a0+a1x; x=T.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:  

x0=650;        x1=600;

y0=1,018;     y1=1,004.

Складемо систему нормальних рівнянь:

 За допомогою прикладної  програми GZ1.EXE знаходимо коефіцієнти рівняння:

a0=0,8359;  a1=0.00028.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=750 у поліном першого ступеню Cp¢=y¢=0,8359+0.00028x=1,0249, де Ср=1,0249кДж/(кг×К)

Степень поліному підвищуємо на 1, та розраховуємо:

Cp¢¢=y¢¢=a0+a1x+a2x2;

Обираємо три точки між якими лежить заданий х:  

x0=650;      x1=600;      x2=550;

y0=1,018;   y1=1,004;    y2=0,988.

Складемо систему нормальних рівнянь:

За допомогою прикладної програми GZ1.EXE знаходимо коефіцієнти рівняння:

a0=0,68;  a1=0.00078;  a2=-0.00000039.

Складемо інтерполяційний поліном, підставивши х=Т=750 у поліном другого ступеню Cp¢¢=y¢¢=0,68+0.00078x+0.00000039x2=1,0289, Ср=1,0289кДж/(кг×К)

Так як h<5%, то поліном першого порядку при a0=0,8359;  a1=0.00028 підходить для описання експериментальних даних на деяком відрізкі, тобто при Т=675К  Ср=1,0249кДж/(кг×К)

 

2.6. Метод Лагранжа

Використовуючи метод Лагранжа знайдемо m, l і Ср при заданій T.

1)При Т=475К знайдемо m=? Будемо використовувати многочлен n=1, тоді кількість крапок повинна бути 2. При рішені цієї задачи можна використати пркладну програму LAGRANG.EXE (див. Додаток 3), що ми і зробимо.

Оберемо дві точки між якими лежить заданий х:             

   x0=450;         x1=500;

   y0=2795;       y1=3012.

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=475 та отримаємо такі результати 108×m¢=y¢=2903,5, де m=2,903×10-5 Па×с

Перейдемо до моногочлена n=2, тоді потрібна кількість крапок буде дорівнювати 3. Оберемо три точки найближче розташовані коло заданого х=Т=530

x0=450;       x1=500;      x2=550;

y0=2795;     y1=3012;    y2=3217.

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=475 та отримаємо такі результати 108×m¢¢=y¢¢=2905, де m=2,905×10-5 Па×с

Тепер перевіримо похибку

Так як похибка h<5%, то візьмемо результати отримані за меншим рівнем порядку многочлену при Т=475К m=2,903×10-5 Па×с, тобто многочлен n=1 добре описує експериментальні дані на деякому відрізку.

 

2)При Т=475К знайдемо l=? Будемо використовувати многочлен n=1, тоді кількість крапок повинна бути 2.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:  

  x0=450;        x1=500;

  y0=370;     y1=404.

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=475 та отримаємо такий результат 104×l¢=y¢=387, де l=3,87×10-2Вт/(м×К)

Перейдемо до моногочлена n=2, тоді потрібна кількість крапок буде дорівнювати 3.   Обираємо три точки між якими лежить заданий х:  

 x0=450;       x1=500;      x2=550;

 y0=370;    y1=404;    y2=439

Введемо їх у програму , також введемо заданий х=Т=475 та отримаємо такий результат 104×l¢¢=y¢¢=386,875 де l=3,86875×10-2Вт/(м×К)         

Так як похибка h<5%, то при Т=475К l=3,87×10-2Вт/(м×К)

 

       3) При Т=475К знайдемо Ср=? Будемо використовувати многочлен n=1, тоді кількість крапок повинна бути 2.

Обираємо дві точки між якими лежить заданий х:  

x0=450;         x1=500;

y0=0,957;      y1=0,973;

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=475 та отримаємо такий результат Ср¢=y¢=0,965, де Ср=0,965 кДж/(кг×К)

Перейдемо до моногочлена n=2, тоді потрібна кількість крапок буде дорівнювати 3. Обираємо три точки між якими лежить заданий х:  

 x0=450;      x1=500;       x2=550;

 y0=0?957;   y1=0,973;    y2=0,988.

Введемо їх у програму, також введемо заданий х=Т=475   та отримаємо такий результат Ср¢¢=y¢¢=0,9651, де Ср=0,9651 кДж/(кг×К)

Так як похибка h<5%, то при Т=475K Ср=0,965 кДж/(кг×К)