Решение дифференциальных уравнений методами Эйлера и Милна

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования 

«***»

Факультет математики и информатики

Кафедра прикладной математики и информатики

 

 

 

 

 

Фамилия Имя Отчество

 

Решение дифференциальных уравнений методами Эйлера и Милна

(курсовая  работа)

 

 

 

 

 

Научный руководитель:

Фамилия Имя Отчество

 

Работу выполнил:

студент гр. ГРУППА

Фамилия Имя Отчество

 

Электронная версия сдана в электронную библиотеку

 

 

 

 

Тольятти 2011

Аннотация

Дифференциальные уравнения чаще всего применяются для описания динамических (т.е. изменяющихся во времени) математических моделей и реально протекающих процессов, что, несомненно, характеризует их решение как исключительно важный и актуальный аспект в науке и производстве.

Целью данной курсовой работы является углубленное рассмотрение возможностей численного решения дифференциальных уравнений. В задачи работы входит изучение методов Эйлера и Милна и рассмотрение примеров решений данными методами обычного дифференциального уравнения первого порядка.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оглавление

 

 

 

 

Введение

В современной науке, благодаря высокому уровню развития техники, большая часть изысканий производится не с помощью непосредственного эксперимента, а с помощью математических методов.

Исследование различных явлений или процессов математическими методами осуществляется с помощью математической модели. Математическая модель представляет собой формализованное описание исследуемого объекта. Таким формализованным описанием может быть система линейных, или дифференциальных уравнений, система неравенств, определенный интеграл и т.д. Математическая модель охватывает важнейшие характеристики исследуемого объекта и отражает связи между ними.

Изучение математической модели математическими методами позволяет не только получить качественные характеристики физических явлений и рассчитать с заданной степенью точности ход реального процесса, но и дает возможность проникнуть в суть физических явлений, а иногда предсказать и новые физические эффекты.

Дифференциальные уравнения занимают сегодня важное место в задачах инженерии и физики, где часто возникает необходимость предсказания поведения системы через некоторый промежуток времени, оперируя известными фактами о состоянии данной системы в некий начальный момент времени. Подобного рода предсказания осуществляют путем нахождения решения задачи Коши для дифференциальных уравнений. Однако не всегда представляется возможным получить точное решение данной задачи, и в этом случае приходится прибегать к помощи ЭВМ для нахождения приближенного ответа. Благодаря этому создание более быстрых и эффективных алгоритмов решения начальных задач всегда будет являться актуальным вопросом.

Данная курсовая работа включает в себя 8 глав. Первая глава посвящена вопросам постановки задачи Коши для обычного дифференциального уравнения (ОДУ) первого порядка, доказательству существования и единственности ее решения. Вторая глава содержит краткую характеристику существующих приближенных методов решения ОДУ с начальными условиями. В третьей главе рассматриваются различные подходы к выводу (построению) явного метода Эйлера. Четвертая и пятая главы описывают наиболее известные модификации метода Эйлера. В шестой главе рассматривается правило Рунге, решающее задачу пошагового контроля точности решения ОДУ методом Эйлера и его модификациями. Седьмая глава посвящена рассмотрению методов прогноза и коррекции и, в частности, метода Милна четвертого порядка решения ОДУ первого порядка. В восьмой главе рассматривается способы применения рассмотренных численных методов к системам ОДУ первого порядка и ОДУ высших порядков.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка
1. Постановка задачи Коши.

Решением обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) первого порядка

       (1.1)

называется дифференцируемая функция , которая при подстановке в уравнение (1.1) обращает его в тождество. График решения дифференциального уравнения называют интегральной кривой. Процесс нахождения решений дифференциального уравнения принято называть интегрированием этого уравнения.

 

Исходя из геометрического смысла производной заметим, что уравнение (1.1) задает в каждой точке плоскости значение тангенса угла α наклона (к оси ) касательной к графику решения, проходящего через эту точку.

Величина называется угловым коэффициентом.

Если теперь в каждой точке задать с помощью некоторого вектора направление касательной, определяемое значением , то получится так называемое поле направлений. Таким образом, в геометрическом смысле, задача интегрирования дифференциальных уравнений состоит в нахождении интегральных кривых, которые в каждой своей точке имеют заданное направление касательной. Для того, чтобы выделить из семейства решений дифференциального уравнения одно конкретное решение, задают начальное условие

  (1.2)

Здесь – некоторое фиксированное значение аргумента , а – величина, называемая начальным значением. Геометрическая интерпретация использования начального условия состоит в выборе из семейства интегральных кривых той кривой, которая проходит через фиксированную точку .

 

Задача нахождения при решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию , называется задачей Коши. В некоторых случаях представляет интерес поведение решения при всех однако чаще ограничиваются определением решения на конечном отрезке .

 

2. Разрешимость задачи Коши.

Пусть – множество точек , удовлетворяющих условию ; это множество будем называть полосой.

 

Теорема 1. Пусть функция определена и непрерывна в полосе . Предположим также, что она удовлетворяет условию Липшица

(1.3)

для всех и произвольных , , где – некоторая постоянная (постоянная Липшица).

Тогда для каждого начального значения существует единственное решение задачи Коши , , определенное на отрезке .

 

Замечание 1. Для дифференцируемых по функций условие Липшица (1.3) выполняется тогда и только тогда, когда для всех справедливо неравенство

(1.4)

Поэтому условие (1.4) можно также называть условием Липшица.

 

Замечание 2. Теорема 1. остается справедливой, если в её формулировке условие Липшица (1.3) заменить менее ограничительным односторонним условием Липшица

(1.5)

Подчеркнем, что входящая в это условие постоянная может иметь произвольный знак.

Для дифференцируемых по функций условие (1.5) выполняется тогда и только тогда, когда для всех справедливо неравенство

(1.6)

Ясно, что для функций, удовлетворяющих условию Липшица с постоянной , одностороннее условие заведомо выполнено с постоянной .

 

Отметим следующий полезный результат, указывающий на зависимость степени гладкости решения задачи Коши от степени гладкости правой части дифференциального уравнения.

 

Теорема 2. Пусть функция непрерывно дифференцируема раз в полосе . Тогда если функция является на отрезке решением задачи Коши , , то она непрерывно дифференцируема раз на этом отрезке.

 

Это утверждение непосредственно вытекает из возможности дифференцирования тождества не менее чем раз.

В дальнейшем функции и будем предполагать дифференцируемыми столько раз, сколько потребуется при рассмотрении соответствующих численных методов.

 

 

 

2. Классификация приближенных методов решения ОДУ с начальными условиями

Будем рассматривать обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка

,   (2.1)

с начальным условием

(2.2)

где – некоторая заданная, в общем случае, нелинейная функция двух переменных.

 

Будем считать, что для данной задачи Коши (2.1), (2.2) выполняются требования, обеспечивающие существование и единственность на отрезке ее решения . Более того, не оговаривая это отдельно, будем предполагать, что искомое решение обладает той или иной степенью гладкости, необходимой для построения и «законного» применения того или иного метода.

 

Несмотря на внешнюю простоту уравнения (2.1), решить его аналитически, т.е. найти общее решение с тем, что бы затем выделить из него интегральную кривую , проходящую через заданную точку , удается лишь для некоторых специальных типов таких уравнений. Поэтому, приходится делать ставку на приближенные способы решения начальных задач для ОДУ, которые можно разделить на три группы:

1. Приближенно-аналитические методы;
2. Графические или машинно-графические методы;
3. Численные методы.

 

К методам первой группы относят такие, которые позволяют находить приближение решения сразу в виде некоторой «хорошей» функции . Например, широко известен метод степенных рядов, в одну из реализаций которого заложено представление искомой функции отрезком ряда Тейлора, где тейлоровские коэффициенты, содержащие производные высших порядков, находят последовательным дифференцированием самого уравнения (2.1). Другим представителем этой группы методов является метод последовательных приближений.

 

Графические методы дают приближенное представление искомого решения на промежутке в виде графика, который можно строить по тем или иным правилам, связанным с графическим толкованием данной задачи. Физическая, или, возможно, точнее будет сказать, электротехническая интерпретация начальных задач для определенных видов уравнений лежит в основе машинно-графических методов приближенного решения. Реализуя на физико-техническом уровне заданные электрические процессы, на экране осциллографа наблюдают поведение решений дифференциальных уравнений, описывающих эти процессы. Изменение параметров уравнений приводит к адекватному изменению поведения решений, что положено в основу специализированных аналоговых вычислительных машин (АВМ).

 

Наконец, наиболее значимыми в настоящее время, характеризуемое бурным развитием и проникновением во все сферы человеческой деятельности цифровой вычислительной техники, являются численные методы решения дифференциальных уравнений, предполагающие получение числовой таблицы приближенных значений искомого решения на некоторой сетке значений аргумента . Этим способам и будет посвящено дальнейшее изложение. Что делать с получаемыми численными значениями решения, зависит от прикладной постановки задачи. Если речь идет о нахождении только значения , тогда точка включается как конечная в систему расчетных точек , и все приближенные значения ,  кроме последнего, участвуют в процессе решения лишь как промежуточные, т.е. не требуют ни запоминания, ни обработки. Если же нужно иметь приближенное решение в любой точке , то для этого к получаемой числовой таблицы значений можно применить какой-либо из способов аппроксимации табличных функций, например, интерполяцию или сплайн-интерполяцию. Возможны и другие использования численных данных о решении [1].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Метод Эйлера – разные подходы к построению

Рассмотрим несколько способов вывода метода Эйлера для решения ОДУ. При этом будем считать, что вычисления проводятся с расчетным шагом 

 

расчетными точками (узлами) служат точки

 

промежутка и целью является построение таблицы

			…
			…

приближенных значений решения задачи (2.1)–(2.2) в расчетных точках .

 

Отметим, что все рассматриваемые численные процессы решения задачи Коши для ОДУ, и в частности, метод Эйлера, являются шаговыми методами (являясь итерационными лишь по форме),  в которых на каждом шаге выполняются однотипные действия; при этом уточнения решения (характерного для итерационных методов) здесь не происходит.

 

1. Геометрический способ.

Пользуясь тем, что в точке известно и значение решения (согласно (2.2)), и значение его производной (согласно (2.1)), можно записать уравнение касательной к графику искомой функции

 в точке :

(3.1)

При достаточно малом шаге ордината

(3.2)

этой касательной, полученная подстановкой в правую часть (3.1) значения , по непрерывности должна мало отличаться от ординаты решения задачи (2.1)–(2.2). Следовательно, точка пересечения касательной (3.1) с прямой может быть приближенно принята за новую начальную точку. Через эту точку снова проведем прямую

,

которая уже приближенно отражает поведение касательной к в точке . Подставляя сюда , иначе, пересекая эту «касательную» прямой , приближение значения значением

,

и т.д. В итоге этого процесса, определяемого формулой

,   (3.3)

и называемого (явным) методом Эйлера, график решения данной задачи Коши (2.1)–(2.2) приближенно представляется ломаной, составленной из отрезков приближенных касательных (рис. 1), откуда происходит другое название метода (3.3) – метод ломанных [2].

 

Из геометрической интерпретации метода Эйлера видно, что с уменьшением шага увеличивается точность расчетов, а следовательно и конечного результата.