Учет фактора времени в финансовых расчетах

Рассмотрим  ситуацию, в которой необходимо прибегнуть к антисипативному методу начисления процентов.

 Например, коммерсант предлагает вместо оплаты наличными выписать на стоимость закупленных материалов вексель в сумме 500 тыс. рублей со сроком оплаты через 90 дней, который может быть учтен в банке по простой учетной ставкой 25% годовых (коммерческие проценты с точным числом дней ссуды). Для определения суммы, которую понадобится проставить в этом векселе, ему необходимо начислить проценты на стоимость товаров, используя антисипативный метод.

  Сумма векселя составит 533,333 тыс. рублей (500 * 1 / (1 – 90 / 360 * 0,25). Если продавец в этот же день учтет этот вексель в банке (на оговоренных условиях), то получит на руки ровно 500 тыс. рублей (533,333 * (1 – 90 / 360 * 0,25)). Таким образом, начисление антисипативных процентов используется для определения наращенной суммы, которая затем будет дисконтироваться по той же самой ставке, по которой производилось начисление. Такое чисто техническое использование наращения по учетной ставке является преобладающим в практических расчетах.

Наряду  с расчетом будущей и современной  величины денежных средств, часто возникают  задачи определения других параметров финансовых операций: их продолжительности, и величины процентной или учетной  ставок. Например, может возникнуть вопрос: сколько времени понадобится, чтобы данная сумма при заданном уровне процентной ставки удвоилась, или при каком уровне учетной ставки в течение года исходная сумма возрастет в полтора раза? Решение подобных задач сводится к преобразованию соответствующей формулы наращения (дисконтирования) таким образом, чтобы вычислить значение неизвестного параметра. Например, если надо рассчитать продолжительность ссуды по известным: первоначальной и будущей суммам, а также уровню простой процентной ставки, то преобразуя формулу начисления простых декурсивных процентов (S = P * (1 + ni)), получим формулу (5) из табл. 2.2.1. (Все формулы и их нумерация приведены в табл. 2.2.1). По такой же формуле будет определяться срок до погашения обязательства при математическом дисконтировании.

Определение срока финансовой операции для антисипативного начисления процентов и банковского учета производится по формуле (6) из табл. 2.2.1. Например, нужно определить через какой период времени произойдет удвоение суммы долга при начислении на нее 20% годовых простых а) при декурсивном методе начисления процентов; б) при использовании антисипативного метода. Временная база в обоих случаях принимается равной 365 дней (точные проценты). Применив формулы (5) и (6), получим:

а) t = (2 – 1) / 0,2 * 365 = 1825 дней (5 лет);

б) t = (1 – 1 / 2) / 0,2 * 365 = 912,5 дней (2,5 года)

Эти же формулы можно применить для  определения срока до погашения  обязательств при дисконтировании.

 Например, по векселю номиналом 700 тыс. рублей банк выплатил 520 тыс. рублей, произведя его учет по простой ставке 32% годовых. Чему равен срок до погашения векселя? Применив формулу (6), получим:

t = (1 – 520 / 700) / 0,32 * 360 = 289 дней

Товар, стоимостью 1,5 млн. рублей оплачивается на условиях коммерческого кредита, предоставленного под 15% годовых (простая  процентная ставка, временная база 360 дней). Сумма оплаты по истечении  срока кредита составила 1 млн. 650 тыс. рублей. Чему равен срок предоставленного кредита? Из формулы (5) следует:

t = (1,65 / 1,5 – 1) / 0,15 * 360 = 240 дней  

 

Таблица 2.2.1

Формулы расчета продолжительности финансовых операций и процентных (учетных) ставок по ним 

Способ начисления процентов	Продолжительность ссуды	Процентная (учетная) ставка
1. Простые декурсивные проценты (t – длительность в днях, K – временная база)	(5)	(12)
2. Простые антисипативные проценты (t – длительность в днях, K – временная база)	(6)	(13)
3. Сложные декурсивные проценты  по эффективной ставке i (n – длительность, лет)	(7)	(15)
4. Сложные декурсивные проценты по номинальной ставке j (n – длительность, лет)	(8)	(16)
5. Дисконтирование по сложной эффективной  учетной ставке d (n – длительность, лет)	(9)	(17)
6. Дисконтирование по сложной номинальной  учетной ставке f (n – длительность, лет)	(10)	(18)
Непрерывное наращение (дисконтирование) по постоянной силе роста d (n – длительность, лет)	(11)	(19)

Например, сколько лет должен пролежать  на банковском депозите под 20% (сложная  процентная ставка i) вклад 100 тыс. рублей, чтобы его сумма составила 250 тыс. рублей? Подставив данные в формулу (7), получим:

n = log₂(250 / 100) / log₂(1 + 0,2) ≈ 5 лет

Если  начисление процентов при этих же условиях будет производиться ежемесячно, то в соответствии с формулой (8):

n = log₂(250 / 100) / log₂(1 + 0.2 / 12)¹² ≈ 4,6 года

Чтобы избежать использования вычислений логарифмов, разработаны упрощенные способы приближенных вычислений срока  финансовых операций. Один из них - “правило 70” - позволяет определить период удвоения первоначальной суммы при начислении сложных процентов по приближенной формуле 70% / i. Проверим его на нашем примере, заменив значение наращенной суммы 250 тыс. рублей на 200 тыс. рублей. По “правилу 70” эта сумма должна быть накоплена через 3,5 года (0,7 / 0,2). Подставив соответствующие значения в формулу (7) получим 3,8 года.

Еще одним важнейшим параметром любой  финансовой операции является процентная (учетная) ставка. Кроме технической  функции, выполняемой этим показателем  в ходе расчетов, он используется для  оценки доходности – одного из фундаментальных понятий финансового менеджмента. Часто можно услышать (или прочитать) выражения, подобные следующим: “на этой сделке я заработал 50%” или “менеджеры нашего фонда обеспечат годовую доходность по Вашим вкладам не ниже 100% ” и т.п. Следует сразу оговориться, что сами по себе эти выражения вполне корректны, однако объем содержащейся в них полезной информации значительно меньше, чем может показаться на первый взгляд. Попытаемся понять смысл первого выражения.

  Во-первых, следует уточнить, к какому  промежутку времени относится  полученный доход – месяцу, году  или длительности самой сделки. В последнем случае необходимо  знать, чему равна эта длительность. Так как ничего неизвестно  ни о сумме, ни о длительности  сделки, то ее результат “50% дохода”  невозможно сравнить с доходностью  какой-то другой операции, чтобы  сделать вывод об уровне ее  эффективности. Если в ответ  на это выражение кто-нибудь  заявит: “А я имею 25% годовых по  своему банковскому депозиту”,  то определить, который же из этих двух инвесторов оказался более удачливым, будет практически невозможно.

Сталкиваясь с упоминанием о процентных ставках, финансист должен выяснить о каких  процентах – простых или сложных, дискретных или непрерывных, – идет речь. Далее необходимо точно определиться с временной базой – рассчитываются ли годовые проценты или какие-то еще, если проценты годовые, то возникает  вопрос, каким образом определяется длительность операции и продолжительность  года. В случае начисления сложных  процентов должно быть оговорено  количество начислений процентов в  течение года. В результате может  оказаться, что методика определения  доходности, используемая одним из контрагентов, не совпадает с той, что “принята на вооружение” другой стороной. Однако в этом уже не будет  никакой трагедии, так как, зная особенности  обеих этих методик, финансисты достаточно быстро приведут результаты своих расчетов в сопоставимый вид. То есть, своевременно задавая необходимые вопросы, финансист  тем самым предотвращает возможные  неприятные последствия использования  несогласованных терминов. Вряд ли в обозримом будущем удастся заставить всех рассчитывать доходность по какой-либо единой методике, поэтому задача финансиста состоит не в том, чтобы вынудить своего контрагента применять единственный “правильный” способ, а в том, чтобы как можно скорее разобраться самому, что именно понимает под термином “доходность” его собеседник, и после этого решить, каким образом можно унифицировать расчеты.

  Рассмотрим способы расчета величины  процентных (учетных) ставок, когда  заданы другие параметры финансовой  операции. Преобразовав формулы  декурсивного и антисипативного наращения простых процентов, получим выражения (12) и (13) в табл. (2.2.1). Например, чему будет равна простая процентная ставка по ссуде, выданной на 90 дней в размере 350 тыс. рублей, и возвращенной по истечении срока в сумме 375 т7ыс. рублей (временная база 360 дней)? Подставив эти данные в формулу (12), получим:

i = (375 – 350) / (350 * 90) * 360 ≈ 28,6%

Вексель номиналом 1 млн. рублей учтен в банке  за 60 дней до его погашения в сумме 900 тыс. рублей. По какой простой учетной  ставке было произведено его дисконтирование? Используем для расчетов формулу (13):

d = (1 – 0,9) / (1 * 60) * 360 = 60%

Очевидно, что данная методика может (и должна) использоваться при анализе любых  финансовых операциях, а не только в  процессе банковского кредитования.

Например, иностранная валюта в объеме 1000 единиц, купленная по курсу 20 руб. за 1 единицу, через месяц была продана по курсу 20 руб. 50 коп. Определить доходность этой операции по годовой простой процентной ставке (коммерческие проценты). Из формулы (12) получаем:

i = (20500 – 20000) / (20000 * 30) * 360 = 30%

Аналогичный подход к расчету доходности используется и на фондовых рынках. Например, Центральным Банком России была рекомендована следующая формула расчета доходности ГКО:

, (14)

где N – номинал облигации;

P – цена ее приобретения;

t – срок до погашения.

По  сути дела она повторяет формулу (12) применительно к точным процентам (временная база 365 дней). Например, облигация номиналом 10 тыс. рублей была приобретена за 8,2 тыс. рублей за 40 дней до погашения. Ее годовая доходность, рассчитанная как простая процентная ставка, составит:

r = (10 / 8,2 – 1) * 365 / 40 * 100 ≈ 200,3%

Точно такой же результат можно получить, применив формулу (12).

Не  следует отождествлять процентную ставку, указываемую в кредитном  договоре, с доходностью операции, рассчитанной в процентах. В первом случае процентная ставка является реальным параметром финансовой операции, однозначно определяющим величину платежа, который  должен последовать в случае исполнения договора. Доходность же – это производная  величина, не определяющая, а определяемая теми денежными потоками, которые  порождает кредитный договор (ценная бумага или другой финансовый инструмент).

  Рассчитывая доходность финансовой  операции, инвестор получает субъективную  оценку ее величины, зависящую  от целого ряда предпосылок,  таких как способ начисления  процентов, выбор временной базы  и т.п. Эти предпосылки не  являются объективными и неизбежными  – при всем уважении к Центральному  банку инвестор может определить  доходность купленной им ГКО  по ставке сложных, а не простых  процентов, не нарушив при этом  ни физических, ни юридических  законов (и поступив совершенно  правильно с позиции финансовой  теории).

Рекомендация  вычислять доходность по методике наращения  простых процентов используется на данном рынке как соглашение его  участников (точно такое же, как  соглашение о подсчете точной временной  базы). Выполнение условий этого  соглашения гарантирует участникам рынка сопоставимость результатов  их расчетов, т.е. помогает избежать путаницы, но не более этого. Степень соответствия того либо иного метода расчета доходности идеалу в данном контексте не имеет  значения – это предмет научных  дискуссий. Используя неправильную или несовершенную методику расчета доходности, инвестор имеет все шансы достаточно быстро разориться, точно так же как и предприятие, завышающее прибыль, вследствие неправильного калькулирования издержек. Но конечной причиной банкротства станет отсутствие у него денег для покрытия обязательств, до этого момента, ни один кредитор не сможет вчинить иск о банкротстве только на основании несогласия с методикой подсчета доходности, которой пользуется его должник.

Для финансового менеджмента сложные  проценты имеют неизмеримо большую  ценность, чем простые. Очевидно, что  при использовании методики расчета  простых процентов значение доходности искажается уже из-за того, что данная методика не учитывает возможности  реинвестирования полученных доходов. Поэтому при прочих равных условиях, безусловно, предпочтительным является расчет доходности как ставки сложных  процентов. Рассмотрим методику определения  величины этой ставки, когда известны другие параметры финансовой операции. В результате преобразования исходных выражений наращения (дисконтирования) по сложным процентам, получим (см. (15) – (19) в табл. 3.2.1).

В качестве иллюстрации рассчитаем доходность облигации из предыдущего примера  как ставку сложного процента (наращение 1 раз в году):

i = (10 / 8,2)^365/40 – 1 ≈ 511,6%

Этот  результат более чем в 2,5 раза превышает доходность, рассчитанную как ставку простых процентов. Означает ли это, что инвестор, использующий для расчета доходности сложные  проценты, в два с половиной  раза богаче того, кто, купив в один день с ним точно такую же облигацию, применяет для вычислений простые  проценты? Тогда последнему следует  срочно разучивать новую формулу  и точно так же богатеть.

Однако, в случае сложных процентов не все так однозначно. Если рассчитывать доходность как сложную номинальную  ставку (16), то ее уровень резко снизится, при m = 12 получим:

j = 12 * ((10 / 8,2)^{1/(12*40/365)}) – 1 ≈ 195,5%

При расчете доходности как силы роста  – непрерывные проценты (19) –  ее уровень будет более точно  соответствовать тому, что был  рассчитан с помощью простой  процентной ставки: