Алгебры и их применение

 

(х*)-1 = (х-1)*

Доказательство. Применяя операцию * к обеим частям соотношения

 

х-1х = хх-1 = е,

 

получим х*(х-1)*= (х*)-1х*=е.

 

Но это означает, что (х-1)* есть обратный к х*.

 

Подалгебра А1 алгебры  А называется *-подалгеброй, если из хА1  следует, что х*А1 .

 

Непустое пересечение *-подалгебр  есть также *-подалгебра. В частности, пересечение всех *-поалгебр, содержащих данное множество S А, есть минимальная *-подалгебра, содержащая S.

 

 

Коммутативная *-алгебра называется максимальной, если она не содержится ни в какой другой коммутативной *-подалгебре.

 

Теорема 1.5. Если В - максимальная коммутативная *-подалгебра, содержащая нормальный элемент х , и если х-1 существует, то х-1В.

 

Доказательство. Так как  х т х* перестановочны со всеми  элементами из В, то этим же свойством  обладают х-1 и (х*)-1 = (х-1)*. В силу максимальности В отсюда следует, что х-1В.

 

Определение 1.6. Элемент хА - *-алгебры называется унитарным, если хх* = х*х = е, иначе говоря, если х обратим  и х = (х*)-1.

 

В примере 1 п.1.2. унитарные  элементы - комплексные числа с  модулем, равным 1.

 

Унитарные элементы А образуют группу по умножению - унитарную группу А. Действительно, если x и y - унитарные элементы *-алгебры А, то

 

((хy)*)-1 = (у*х*)-1 =(х*)-1 (y*)-1 = xy,

 

поэтому xy унитарен, и так как ((х-1)*)-1= ((х*)-1)-1 = х-1, то х-1 унитарен.

 

1.5. Гомоморфизм и изоморфизм  алгебр

 

Определение 1.7. Пусть А  и В - две *-алгебры. Назовем гомоморфизмом (*-гомоморфизмом) А в В такое  отображение f множества А в В, что

 

f (x + y) = f (x) + f (y),

 

f (бx) = б f (x),

 

f (xy) = f (x) f (y),

 

f (x*) = f (x)*

 

для любых х,yА, бС. Если отображение f биективно, то f называют изоморфизмом (*-изоморфизмом).

 

Определение 1.8. Совокупность I элементов алгебры А называется левым идеалом, если:

 

(i) I ? A;

 

(ii) Из х, yI следует x + y I;

 

(iii) Из хI, а бА следует б хI.

 

Если I = А, то I называют несобственным идеалом.

 

Аналогично определяется и правый идеал. Идеал, являющийся одновременно и левым, и правым, называется двусторонним.

 

Всякий идеал автоматически  оказывается алгеброй.

 

Пусть I - двусторонний идеал в алгебре А. Два элемента х, y из А назовем эквивалентными относительно идеала I, если х-yI. Тогда вся алгебра А разбивается на классы эквивалентных между собой элементов. Обозначим через А совокупность всех этих классов. Введем в А1 операции сложения, умножения на число и умножения, производя эти действия над представителями классов. Так как I - двусторонний идеал, то результат операций не зависит от выбора этих представителей.

 

Следовательно, А1  становится алгеброй. Эта алгебра называется фактор-алгеброй алгебры А по идеалу I и обозначается A/I.

 

*-гомоморфизм алгебр описывается  при помощи так называемых  самосопряженных двусторонних идеалов.

 

Определение 1.9. Идеал I (левый, правый или двусторонний) называется самосопряженным, если из хI следует х*I.

 

Самосопряженный идеал автоматически  является двусторонним. Действительно, отображение х > х* переводит левый  идеал в правый и правый идеал  в левый; если поэтому отображение  х > х* переводит I в I, то I есть одновременно и левый и правый идеал.

 

В фактор-алгебре A/I по самосопряженному двустороннему идеалу I можно определить инволюцию следующим образом. Если х-yI, то х*-y*I. Поэтому при переходе от х к х* каждый класс вычетов х по идеалу I переходит в некоторый другой класс вычетов по I. Все условия из определения 1.2. выполнены; следовательно, A/I есть *-алгебра.

 

Если х > хґ есть *-гомоморфизм  А на Аґ, то полный прообраз I нуля (то есть ядро данного гомоморфизма) есть самосопряженный двусторонний идеал в А. Фактор-алгебра A/I *-изоморфна *-алгебре Аґ.

 

Обратно, отображение х > [х]  каждого элемента хА в содержащий его класс вычетов по I есть *-гомоморфизм алгебра А на A/I.

 

§ 2. Представления

 

2.1. Определения и простейшие  свойства представлений.

 

Определение 2.1. Пусть А - *-алгебра, Н - гильбертово пространство. Представлением А в Н называется *-гомоморфизм *-алгебры А в *-алгебру ограниченных линейных операторов L(H).

 

Иначе говоря, представление *-алгебры А в Н есть такое  отображение из А в L(H), что

 

р (x+y) = р (x) + р (y), р (б x) = б р(x),

 

р (xy) = р (x) р (y), р (x*) = р (x)*

 

для любых х, y А и б С.

Размерность гильбертова  пространства Н называется размеренностью р и обозначается dimр. Пространство Н называется пространством представления р.

 

Определение 2.2. Два представления  р1 и р2 инволютивной алгебры А  в Н1 и Н2 соответственно, эквивалентны (или унитарно эквивалентны), если существует унитарный оператор U, действующий из гильбертова пространства Н1 в гильбертово пространство Н2, переводящий р1(х) в р2(х) для любого хА, то есть

 

 

U р1(х) = р2(х) U  для всех х А.

Определение 2.3. Представление  р называется циклическим, если в  пространстве Н существует вектор f такой, что множество всех векторов р (х)f (для всех хА) плотно в Н. Вектор f называют циклическим (или тотализирующим) для представления р.

 

Определение 2.4. Подпространство  Н1Н называется инвариантным, относительно представления р, если р (А)Н1Н1.

 

Если Н1 инвариантное подпространство, то все операторы р(х) (хА) можно  рассматривать как операторы  Н1. Сужения р(х) на Н1 определяют подпредставления р1 *-алгебры А в Н1.

 

Теорема 2.1. Если Н1 инвариантное подпространство Н, то его ортогональное  дополнение также инвариантно.

 

Доказательство. Пусть f ортогонален к Н1, то есть (f, g) = 0 для всех gН1. Тогда для любого хА (р(х)f, g) = (f, р(х)*g) = (f, р(х*)g) = 0, так как р(х*)gН1. Следовательно, вектор р(х)f также ортогонален к Н1.

 

Обозначим через Р1 оператор проектирования в Н на подпространство  Н1Н1.

 

Теорема 2.2. Н1 - инвариантное подпространство тогда и только тогда, когда все операторы представления  перестановочны с оператором проектирования Р1 на Н1.

 

Доказательство. Пусть Н1 - инвариантное подпространство и  fН1, но также р(х)f Н1. Отсюда для любого вектора fН

 

р(х)Р1f Н1

 

следовательно, Р1р(х)Р1f = р(х)Р1f ,

 

то есть Р1р(х)Р1 = р(х)Р1.

 

Применяя операцию инволюции  к обеим частям этого равенства  и подставляя затем х* вместо х, получаем, что также 

 

Р1р(х)Р1 = Р1р(х).

 

Следовательно, Р1р(х) = р(х)Р1; операторы Р1 и р(х) коммутируют.

 

 

Обратно, если эти операторы  перестановочны, то для fН1

 

Р1р(х)f = р(х)Р1f = р(х)f ;

 

Следовательно, также р(х)f Н1. Это означает, что Н1 - инвариантное подпространство.

 

Теорема 2.3. Замкнутая линейная оболочка К инвариантных подпрост-

ранств есть также инвариантное подпространство.

 

Доказательство. Всякий элемент  g из К есть предел конечных сумм вида

 

h = f1 + … + fn, где f1, …, fn - векторы исходных подпространств. С другой стороны, р(х)h = р(х)f1 +…+ р(х)fn есть сумма того же вида и имеет своим пределом р(х)g.

 

2.2. Прямая сумма представлений.  Пусть I - произвольное множество. Пусть (рi)iI - семейство представлений *-алгебры А в гильбертовом пространстве Нi (iI). Пусть

 

|| рi (х) || = сх

 

где сх - положительная константа, не зависящая от i.

 

Обозначим через Н прямую сумму пространств Нi, то есть Н = Нi. В силу (2.1.) можно образовать непрерывный линейный оператор р(х) в Н, который индуцирует рi (х) в каждом Нi. Тогда отображение х > р(х) есть представление А в Н, называемое прямой суммой представлений рi  и обозначаемое рi или р1…..рn в случае конечного семейства представлений (р1…..рn). Если (рi)iI - семейство представлений *-алгебры А, совпадающих с представлением р, и если CardI = c, то представления рi обозначается через ср. Всякое представление, эквивалентное представлению этого типа, называется кратным р.

 

Для доказательства следующего понадобится лемма Цорна. Напомним ее.

 

Лемма Цорна. Если в частично упорядоченном подмножестве Х всякое линейно упорядоченное подмножество имеет в Х верхнюю грань, то Х содержит максимальный элемент.

 

Теорема 2.4. Всякое представление  есть прямая сумма цикличных представлений.

 

Доказательство. Пусть f0 ? 0 - какой-либо вектор из Н. Рассмотрим совокупность всех векторов р(х)f0, где х пробегает всю *-алгебру А. Замыкание этой совокупности обозначим через Н1. Тогда Н1 - инвариантное подпространство, в котором f0 есть циклический вектор. Другими словами, Н1 есть циклическое подпространство представления р.

 

Если Н1 = H, то предложение доказано; в противном случае H-Н1 есть отличное от {0} инвариантное подпространство. Применяя к нему тот же прием, мы выделим циклическое подпространство Н2 ортогональное Н1.

 

Обозначим через М совокупность всех систем {Нб}, состоящих из взаимно  ортогональных циклических подпространств представления; одной из таких систем является построенная выше система {Н1, Н2}. Упорядоченная при помощи соотношения включения совокупность М образует частично упорядоченное  множество, удовлетворяющее условиям леммы Цорна; именно, верхней гранью линейно упорядоченного множества  систем {Нб}М будет объединение  этих систем. Поэтому в М существует максимальная система {Нб}. Но тогда  Н=Нб; в противном случае в инвариантном подпространстве Н-(Нб) существовало бы отличное от {0} циклическое подпространство  Н0 и мы получили бы систему {Нб}Н0М, содержащую максимальную систему {Нб}, что невозможно.

 

2.3. Неприводимые представления.

 

Определение 2.5. Представление  называется неприводимым, если в пространстве Н не существует инвариантного подпространства, отличного от {0} и всего Н.

 

Согласно теореме 2.2. это  означает, что всякий оператор проектирования, перестановочный со всеми операторами  представления, равен 0 или 1.

 

Всякое представление  в одномерном пространстве неприводимо.

 

Теорема 2.5. Представление  р в пространстве Н неприводимо  тогда и только тогда, когда всякий отличный от нуля вектор пространства Н есть циклический вектор этого  представления.

 

Доказательство. Пусть представление  р неприводимо. При fН, f ? 0, подпространство, натянутое на векторы р(х)f , хА, есть инвариантное подпространство; в силу неприводимости представления оно совпадает с {0} или Н. Но первый случай невозможен, ибо тогда одномерное пространство

 

{б f | б C} инвариантно и потому совпадает с Н, то есть р(х)=0 в Н. Во втором же случае f есть циклический вектор.

 

Обратно, если представление  р приводимо и К - отличное от {0} и Н инвариантное подпространство  в Н, то никакой вектор f из К не будет циклическим для представления р в Н.

 

Теорема 2.6. (И.Шур) Представление  р неприводимо тогда и только тогда, когда коммутант р (А) в  L(H) сводится к скалярам (то есть операторам кратным единичному).

 

Доказательство. Пусть представление  р неприводимо и пусть ограни-

ченный оператор В перестановочен со всеми операторами р(х). Предположим  сначала, что В - эрмитов оператор; обозначим через E(л) спектральные проекторы оператора В. Тогда при любом л оператор E(л) перестановочен со всеми операторами р(х) ; в виду неприводимости представления E(л) =0 или E(л) =1, так как (E(л) f, f) не убывает при возрастании л, то отсюда следует, что существует л0 такое, что E(л) =0 при л<л0 и E(л) =1 при л>л0 . Отсюда

 

В=л dE(л) = л0 1.

 

Пусть теперь В - произвольный ограниченный оператор, переста-

новочный со всеми операторами  р(х). Тогда В* также перестановочен со всеми операторами р(х). Действительно,

 

В*р(х) = (р(х*)В)* = (Вр(х*))* = р(х)В*

 

Поэтому эрмитовы операторы  В1=, В2= также перестановочны со всеми  операторами р(х) и, следовательно, кратны единице. Но тогда и оператор В = В1+iВ2 кратен единице, то есть В - скаляр.

 

Обратно, пусть всякий ограниченный оператор, перестановочный со всеми  операторами р(х), кратен единице. Тогда, в частности, всякий оператор проектирования, перестановочный со всеми операторами  р(х) кратен единице. Но оператор проектирования может быть кратным единице только тогда, когда он равен 0 или 1. Следовательно, представление неприводимо.

 

Определение 2.6 Всякий линейный оператор Т : Н ? Нґ такой, что Тр(х)=рґ(х)Т  для любого хА, называется оператором сплетающим р и рґ.

 

Пусть Т : Н ? Нґ - оператор, сплетающий р и рґ. Тогда Т* : Нґ ? Н является оператором, сплетающим рґ и р, так  как

 

Т* рґ(х) = (рґ(х)Т)* = (Тр(х*))* = р(х)Т*

 

Отсюда получаем, что

 

 Т* Тр(х)=Т* рґ(х)Т=  р(х)Т*Т (2.1.)

 

Поэтому |T| = (T*T)1/2 перестановочен с р(А). Пусть Т = U|T| - полярное разложение Т. Тогда для любого хА

 

Uр(х)|T| = U|T| р(х)= Тр(х)= рґ(х)Т=рґ(х)U|T| (2.2.)

 

Если KerT={0}, то |T| (Н) всюду плотно в Н и из (2.2.) следует

 

Uр(х) = рґ(х)U  (2.3.)

 

Если, кроме того, = Нґ, то есть если KerT*={0}, то U является изоморфизмом Н и Нґ и (2.3.) доказывает что р и рґ эквивалентны.

 

Пусть р и рґ - неприводимые представления *-алгебры А в гильбертовых пространствах Н и Нґ соответственно. Допустим, что существует ненулевой  сплетающий оператор Т : Н ? Нґ. Тогда  из (2.1.) и теоремы 2.6. следует, что  Т*Т и ТТ* - скалярны (?0) и р, рґ эквивалентны.

 

2.4. Конечномерные представления.

 

Теорема 2.7. Пусть р - конечномерное  представление *-алгебры А. Тогда  р = р1…..рn , где рi неприводимы.

 

Доказательство. Если dimр = 0 (n=0), то все доказано. Предположим, что dimр = q и что наше предложение доказано при dimр<q. Если р неприводимо, то предложение снова доказано. В противном случае р = рґ рґґ, причем dimрґ<q, dimрґґ<q, и достаточно применить предположение индукции.

 

Разложение р = р1…..рn не единственно. Тем не менее, мы получим некоторую теорему единственности.

 

Пусть с1, с2 - два неприводимых подпредставления р. Им отвечают инвариантные подпространства Н1 и Н2. Пусть  Р1 и Р2 - проекторы Н на Н1 и Н2. Они коммутируют с р(А). Поэтому  ограничение Р2 на Н1 есть оператор, сплетающий с1 и с2. Следовательно, если Н1 и Н2 не ортогональны, то из пункта 2.3. следует, что с1 и с2 эквивалентны. Это доказывает, что любое неприводимое подпредставление р эквивалентно одному из рi . Итак, перегруп-