Арифметические задачи в 5-6 классах

Подтверждением тому служит фрагмент из книги И. Бёшенштейна (1514 г.), в котором сначала дается «определение» тройного правила, формулируется правило, потом приводится задача и рецепт ее решения по правилу.

«Тройным правилом называется regula magistralis, или regulo aureo ( т. е магистерское правило, или золотое правило), с помощью которого совершаются все торговые расчеты всех ремесленников и купцов; оно называется в гражданском обиходе de try или de tree, ибо содержит в себе три величины, при помощи которых можно вычислить всё.

...Заметь еще  числа, стоящие сзади и спереди.  Надо стоящие сзади число помножить на среднее и разделить на переднее».

 

Далее то же правило дано в зарифмованном виде и приведен пример на его применение:

Я купил 100 фунтов шерсти за 7 гульденов. Что стоят 29 фунтов?

Фунты фунты гульдень

29 100 7

Помножь 29 на 7, затем раздели  на 100, что получится и будет  стоимостью 29 фунтов.

Это была обычная практика. По-другому в те времена учить  не умели. Не случайно в «Арифметике» Л.Ф. Магницкого (1703 г.), вобравшей в  себя переводы лучших иностранных авторов  того времени, мы находим аналогично построенный учебный текст. Обучение «по правилам» было обычным и для России.

В 1923 г. В. Беллюстин описывал старинную практику обучения решению текстовых задач.

Одной из причин большого внимания к задачам заключается в том, что исторически долгое время  целью обучения детей арифметике было освоением ими определенным кругом вычислительных умений, связанных  с практическими расчетами. При  этом основная линия арифметики - линия  числа - еще не была разработана, а  обучение вычислениям велось через  задачи.

Вторая причина повышенного  внимания к использованию текстовых  задач в России заключается в  том, что в России не только переняли и развили старинный способ передачи с помощью текстовых задач  математических знаний и приемов  рассуждений, но и научились формировать  с помощью задач важные общеучебные умения, связанные с анализом текста, выделением условий задачи и вопроса, составлением плана решения, постановкой вопроса и поиском условий, из которых можно получить на него ответ. Проверкой

полученного результата. Немаловажную роль играло также приучение школьников к переводу текста на язык арифметических действий, уравнений, неравенств, графических  образов. Использование арифметических способов решения задач способствовало общему развитию учащихся, развитию не только логического, но и образного  мышления, лучшему освоению естественного  языка, а это повышало эффективность  обучения математике и смежных дисциплин. Именно поэтому текстовые задачи играли столь важную роль в процессе обучения в России, и им отводилась так много времени при обучении математике в школе.

К середине XX века в СССР сложилась развитая типология задач, включавшая задачи на части, на нахождение двух чисел по их сумме и разности, по их отношению и сумме (разности), на дроби, на проценты, на совместную работу и т. д. Методика обучения решению  задач была разработана достаточно хорошо, но ее реализация на практике не была свободна от недостатков. В процессе обучения решению текстовых задач школьников учили способам действий, которые не применяются или почти не применяются в жизни.

Например, из программы 5-6 классов  задач исключили задачи па совместную работу ввиду их «нежизненности»!

К середине 50-х годов XX в. текстовые задачи были хорошо систематизированы, методика их применения в учебном  процессе разработана, но при проведении реформы математического образования  конца 60-х годов отношение к  ним изменилось. Пересматривая роль и место арифметики в системе  школьных предметов, стремясь повысить научность изложения математики за счет более раннего введения уравнений  и функций, математики и методисты-математики посчитали, что на обучение арифметическим способам решения задач тратится слишком много времени. Академик В.И. Арнольд сравнивал традиционное отечественное преподавание математики с американским, писал: «Наше традиционное отечественное преподавание математики имело более высокий уровень и базировалось на культуре арифметических задач. Еще два десятка лет в семьях сохранялись старинные «купеческие» задачи. Теперь это утрачено. Алгебраизация последней реформы преподавания математики превращает школьников в автоматы. А именно арифметический подход демонстрирует содержательность математики, который мы учим.

 

^{2 Виды  арифметических задач}

 

Виды арифметических задач.

Все арифметические  задачи  по  числу  действий,  выполняемых  для  их

решения, делятся на простые и составные. Задача, для решения которой надо

выполнить один раз арифметическое действие, называется простой. Задача, для

решения которой надо выполнить несколько действий называется составной.

Простые задачи в системе  обучения математике играют чрезвычайно  важную

роль. С помощью решения  простых  задач  формируется  одно  из  центральных

понятий начального курса  математики – понятие об арифметических действиях и

ряд других понятий. Умение решать простые задачи является  подготовительной

ступенью овладения учащимися  умением  решать  составные  задачи,  так  как

решение составной задачи сводится к решению ряда простых  задач. При решении

простых задач происходит  первое  знакомство  с  задачей  и  её  составными

частями.

В связи с решением простых  задач дети  овладевают  основными  приемами

работы над задачей.

На первом этапе знакомства детей  с  простой  задачей  перед  учителем

возникает одновременно несколько  довольно сложных проблем:

1) Нужно, чтобы в сознание  детей вошли и укрепились вторичные   сигналы

к определенным понятиям, связанным  с задачей;

2) Выработать умение видеть  в задаче данные числа и  искомое число;

3) Научить сознательно выбирать действия и определять компоненты этих

действий.  Разрешение  указанных  проблем  нельзя   расположить   в

определенной последовательности. В занятиях с детьми довольно часто

приходится добиваться результатов  не одного за  другим,  а  идти  к

достижению нескольких целей  одновременно,  постепенно  развивая  и

расширяя достигнутые  успехи в нескольких направлениях.

При знакомстве с задачами и их решением нельзя избежать  специфических

терминов, но дети должны их понимать, чтобы осознавать смысл  задачи. Работа

с детьми по усвоению ими  терминологии начинается с первых  дней  занятий  в

школе и ведётся систематически на протяжении всех лет обучения.

Составная задача включает в себя ряд простых  задач,  связанных  между

собой так, что искомые одних простых задач служат данными других.  Решение

составной задачи сводится к  расчленению  её  на  ряд  простых  задач  и  к

последовательному их решению. Таким образом, для решения  составной  задачи

надо установить систему  связей между данными и искомым,  в  соответствии  с

которой выбрать, а затем выполнить арифметические действия.

Рассмотрим в качестве примера задачу: «В школе дежурили 8  девочек,  а

мальчиков на 2 больше. Сколько  детей дежурило в школе?»

Эта задача включает 2 простых:

1) В школе дежурили 8  девочек,  а  мальчиков  на  2  больше.  Сколько

мальчиков дежурило в школе?

2) В школе дежурили 8 девочек  и  10  мальчиков.  Сколько   всего  детей

дежурило в школе?

Как видим, число, которое  было искомым в первой задаче,  стало  данным

во второй.

Последовательное  решение  этих  задач  является  решением   составной

задачи:     1) 8 + 2 = 10;   2) 8 + 10 = 18.

Запись решения составной  задачи с помощью составления  по ней выражения

позволяет сосредоточить  внимание учащихся на логической стороне  работы  над

задачей, видеть ход  решения  её  в  целом.  В  то  же  время  дети  учатся

записывать план решения  задачи и экономить время.

Запись решения многих составных задач и составление  по  ним  выражения

связаны  с   использованием   скобок.   Скобки   –   математический   знак,

употребляемый для порядка действий.  В скобки  заключается то  действие,

которое нужно выполнить  раньше.

В решении составной задачи появилось существенно новое  сравнительно  с

решением простой задачи: здесь устанавливается не одна связь, а  несколько,

в соответствии с которым вырабатываются арифмети-ческие  действия.  Поэтому

проводится специальная  работа по ознакомлению детей с составной  задачей,  а

также по формированию у  них умений решать составные задачи.

Роль задачи в начальном  курсе математики.

Начальный  курс  математики  раскрывается  на  системе   целесообразно

подобранных задач. Значительное место занимают  в  этой  системе  текстовые

задачи. При рассмотрении смысла арифметических действий, связи  существующей

между действиями, и взаимосвязи  между компонентами и результатами  действий

непременно используются соответствующие простые текстовые  задачи  (задачи,

решаемые одним арифметическим действием).  Текстовые задачи  служат  также

одним из важнейших средств  ознакомления  детей  с  математическими  отноше-

ниями, выражаемыми словами «быть на столько-то больше (меньше)»,  «быть на

столько-то раз больше  (меньше)».  Они  используются  и  в  целях  уяснения

понятия доли (задачи  на  нахождение  доли  величины  и  искомого  значения

величины по доле).  Текстовые  задачи  помогают  и  при  формировании  ряда

геометрических понятий, а также при рассмотрении элементов  алгебры.

Если мы хотим сформировать у школьников правильное понятие  о сложении,

необходимо, чтобы дети  решили  достаточное  количество  простых  задач  на

нахождение суммы, практически  выполняя  каждый  раз  операцию  объединения

множеств без общих  элементов. Выступая в  роли  конкретного  материала  для

формирования знаний, задачи дают возможность связать  теорию  с  практикой,

обучение с жизнью. Решение  задач формирует  у  детей  практические  умения,

необходимые каждому человеку в  повседневной  жизни.  Например,  подсчитать

стоимость покупки, вычислить  в какое время надо выйти, чтобы  не опоздать на

поезд и т.п.

Использование задач в  качестве конкретной основы для  ознакомле-ния  с

новыми знаниями и для  применения  уже  имеющихся  у  детей  знаний  играет

исключительно   важную   роль   в   формировании    у    детей    элементов

материалистического мировоззрения. Решая  задачи,  ученик  убеждается,  что

многие математические понятия, имеют корни в  реальной  жизни,  в  практике

людей.

Через решение задач дети  знакомятся  с  важными  в познавательном  и

воспитательном отношении фактами. Так, содержание многих задач, решаемых  в

начальных классах, отражает труд детей и взрослых, достижения нашей страны

в области народного хозяйства, техники, науки, культуры.

Сам процесс решения задач  при определенной методике  оказывает  весьма

положительное влияние  на  умственное  развитие  школьников,  поскольку  он

требует выполнения умственных операций: анализа и синтеза, конкретизации  и

абстрагирования, сравнения, обобщения. Так, при решении любой  задачи ученик

выполняет анализ: отделяет вопрос от условия,  выделяет  данные  и  искомые

числа; намечая план  решения,  он  выполняет  синтез,  пользуясь  при  этом

конкретизацией (мысленно рисует условие задачи), а  затем  абстрагированием

(отвлекаясь от конкретной  ситуации, выбирает  арифметические  действия);  в

результате многократ-ного решения задач какого-либо  вида  ученик  обобщает

знания связей между данными  и искомым в задачах этого  вида,  в  результате

чего обобщается способ решения  задач этого вида.

Задачи выполняют очень  важную функцию в начальном  курсе  математики  –

они являются полезным средством  развития  у  детей  логического  мышления,