Бесконечные проезведения

Таким образом из критерия Коши: для  того чтобы ряд   сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовал такой номер n_ε, что при любом n > n_ε и любом целом p ≥ 0 выполнялось неравенство           | u_n + u_n+1 + … + u_n+p| < ε, следует что гармонический ряд расходится.  Легко также понять, что первое произведение  = +∞ расходится к +∞, а второе произведение  = 0 расходится к нулю. 
№5. Доказать что следующие бесконечные произведения сходятся: 
 
) = (1 + 1) (1 + ) (1 + ) … (1 + ) … . 
 
)] =(1- ) (1- ) … (1 - ) … . 
 
Из теоремы 1.3 и из сходимости ряда  при α > 1 вытекает сходимость данных бесконечных произведений при α > 1.

№6. Пусть a_2n-1 =, a_2n = - +. Доказать, что бесконечное произведение  сходится, а ряды  и  расходятся.  Если a_2n-1 = O(  ), a_2n = O(  ),  = O(  ),  = O( ) при n → ∞, то    a_n = O( ),  = O( ) при n → ∞ и ряды ,  расходятся по признаку сравнения с гармоническим рядом. Необходимое условие сходимости бесконечного произведения  выполнено. Оно сходится тогда и только тогда, когда сходится Поскольку      = и ряд  сходится, то вместе с ним сходится и данное бесконечное произведение.  
§1.4 Абсолютно сходящиеся бесконечные произведения 
  Вернемся снова к изучению бесконечных произведений с, вообще говоря, комплексными сомножителями. Подобно рядам для бесконечных произведений вводится понятие абсолютной сходимости. 
Определение 3: Бесконечное произведение  
(1.23) 
Называется абсолютно сходящимся, если сходится произведение  
(1.14) 
Теорема 1.5: 
Для того чтобы бесконечное произведение (1.23) абсолютно сходилось, необходимо и достаточно. Чтобы сходился знакопостоянный ряд 
(1.25) 
А так же необходимо и достаточно чтобы абсолютно сходился каждый из рядов  
(1.26)и (1.27) 
Доказательство: 
  Равносильность сходимости бесконечного произведения (1.23) и ряда (1.25) сразу следует из определения абсолютной сходимости бесконечного произведения и из теоремы 1.3. 
  Из сходимости каждого из рядов (1.25), (1.26) и (1.28) следует, что  = 0, 
а при выполнении этого условия имеет место эквивалентность 
 ~  ~ , n → ∞. 
Поэтому все ряды    
одновременно сходятся или расходятся. Это и означает, что сходимость ряда (1.25) равносильна абсолютной сходимости каждого из рядов (1.26) и (1.27).     
Замечание:  
  Если сходится бесконечное произведение (1.23), то сходится и бесконечное произведение  (1.28) причем 
 
   Это следует из того, что если p_n, n = 1, 2, …, является частичным произведением порядка n бесконечного произведения (1.23), то обратная величина   является частичным произведением того же порядка бесконечного произведения (1.28). 
  Бесконечные произведения (1.23) и (1.28) одновременно сходятся абсолютно или нет, так как абсолютная сходимость и того и другого произведения равносильна абсолютной сходимости ряда (1.26). 
Теорема 1.6:  
Из абсолютной сходимости бесконечного произведения следует его сходимость. 
Доказательство: 
  Если бесконечное произведение (1.23) абсолютно сходится, то согласно теореме 1.5, сходится, и даже абсолютно, ряд (1.26), что согласно теореме 1.2, равносильно сходимости  бесконечного произведения (1.23).  
Теорема 1.7: 
Значение абсолютно сходящегося произведения не зависит от порядка сомножителей. 
  Это сразу следует из формулы (1.16), ибо если бесконечное произведение (1.23) абсолютно сходится, то абсолютно сходится и ряд (1.15) (он совпадает с рядом (1.26)), а следовательно, его сумма s не зависит от порядка слагаемых.  
Если бесконечное произведение сходится, но не абсолютно, то его значение зависит от порядка сомножителей. В этом легко убедится, сведя тем же методом, что и при доказательстве теоремы 1.7, рассмотрение бесконечных произведений к соответствующим рядам. [3, с. 68 - 70] 
Задачи: 
№1. Выяснить при каких х сходится, абсолютно сходится и расходится бесконечное произведение  
При х > 1 это произведение абсолютно сходится, так как сходится ряд . При  < x ≤ 1 оно сходится, но не абсолютно, так как сходятся ряды  и  (по теореме 1.4). При 0 < x ≤  оно расходится к нулю,поскольку ряд  сходится, а ряд  расходится. 
№2. Показать, что бесконечное произведение: 
 
абсолютно сходится при всех значениях z. 
Действительно,  может быть написано в виде 1 - , где |λ_n| < k и k не зависит от n, ряд же  является абсолютно сходящимся, как видно из сравнения с рядом .  Бесконечное произведение будет абсолютно сходящимся. 
№3. Определить сходится ли абсолютно бесконечное произведение: 
1.     (1 -  (1 - ) (1 - ) … .  Чтобы узнать будет ли оно абсолютно сходящимся, рассмотрим ряд  или . Этот ряд абсолютно сходится, а из этого следует, что произведение (1 -  (1 - ) (1 - ) … будет абсолютно сходящимся при всех значениях z.

2.    (1 - ) (1 + ) (1 - ) (1 + ) … 
Абсолютная сходимость этого произведения зависит от абсолютной сходимости ряда:  -  +  -  +  - … . Но этот ряд условно сходящийся, так как ряд модулей 

 +  +  +  + … расходится.  Бесконечное произведение (1 - ) (1 + ) (1 - ) (1 + ) … не будет абсолютно сходящимся. 
№4.  Выяснить при каких х сходится, абсолютно сходится и неабсолютно сходится бесконечное произведение: 
Бесконечное произведение  при х >  сходится: именно, при х > 1 произведение абсолютно сходится, поскольку сходится ряд , а при   < х ≤ 1 произведение неабсолютно сходится, так как сходятся ряды  и . При 0 < х ≤    = 0, т.к. первый из этих рядов сходится, а второй уже нет.  
 
№5. Исследовать на абсолютную сходимость бесконечное произведение: 
 
Данное бесконечное произведение сходится или расходится абсолютно вместе с рядом , n ≥ 2. Этот ряд по степеням  сходится лишь при |z| >1. Следовательно, областью абсолютной сходимости бесконечного произведения является множество D = {z   
№6. Докажите, что 
z (1 - ) (1 - ) (1 + ) (1 - ) (1 - ) (1 + ) … = . 
Действительно,  
   = [ ×z =  × z  т.к. произведение, множители которого будут (1   )  абсолютно сходится и, таким образом, порядок его членов можно менять. Но т.к. lg2 = 1 -  +  - +  - …, это показывает, что данное произведение равно . 
§1.5 Дзета – функция Римана и простые числа 
Функция 
(х) = ,   (1.29) 
определенная этой формулой для х > 1, как известно, называется дзета – функцией Римана. Она играет большую роль во многих вопросах математического анализа. 
Докажем, что для нее имеется следующее разложение в бесконечное произведение: 
(1.30) 
где произведение берется по всем простым числам p_k, k = 1, 2, …, взятым в порядке возрастания (впрочем, как это будет показано ниже, это бесконечное произведение сходится абсолютно и поэтому не зависит от порядка сомножителей). Отметим, что во всех проводимых ниже рассуждениях не будет предполагаться, что простых чисел бесконечно много (т.е. все сказанное  верно и в случае, если произведение (1.30) было бы конечно, а не бесконечно). Так как 
 
и ряд  при х > 1 сходится, то, согласно теореме 1.5, абсолютно сходится бесконечное произведение  , а следовательно, и произведение (1.29). 
  По формуле для суммы геометрической прогрессии имеем 
 = , k = 1, 2, …,  (1.31) 
где ряды в правых частях равенств, очевидно, абсолютно сходятся. Зафиксируем некоторое натуральное число N перемножим равенства (1.31), отвечающие всем простым числам p₁, p₂, …, не превышающим N: тогда 
Р_N(x)    =  +    (1.32) 
где знак «звездочка» у суммы означает, что суммирование распространяется только на те натуральные числа n ≥ N + 1, в разложении которых на простые множители участвуют только простые числа p_k ≤ N и которые получаются при умножении отобранных рядов (1.31). Этими двумя свойствами заведомо обладают все натуральные числа 1, 2, …, N. Так как  0 < Р_N(x) -  =    <   (1.33) 
и ряд (1.29) сходится, следовательно, 
то 
 
 =  =   , т.е. представление (1.30) доказано. 
Заметим, что при х = 1 равенство (1.32) остается верным, поэтому 
Р_N(1) =  =  +  > , 
а так как гармонический ряд  расходится, то  = +∞ и, следовательно, 
 = +∞. (1.34) 
   Из этого равенства следует, что простых чисел бесконечно много, так как если бы их

было конечное множество, то произведение  было бы конечным. Это доказательство бесконечности простых чисел было дано еще Эйлером. 
  Из равенства (1.34) следует больше, чем просто констатация того, что множество простых чисел бесконечно. Этот факт можно установить и более простым способом. В самом деле, допустим, что простых чисел конечное множество р₁, р₂, …, р_n. Тогда число n = р₁р₂…р_n + 1 больше каждого из чисел р₁, р₂, …, р_n и, следовательно, не равно никакому из них, а вместе с тем оно простое: если бы оно было не простым, то оно делилось бы на одно из чисел р₁, р₂, …, р_n, так как, по предположению, других простых чисел нет. Но это не так: число n не делится ни на одно из чисел р₁, р₂, …, р_n, ибо при делении его на любое из них остаток от деления равен 1. 
Запишем равенство (1.34) в виде

 
Из него, согласно теореме 1.3, следует, что ряд

  (1.35) 
расходится. Это утверждение сильнее утверждения о том, что гармонический ряд расходится, так как здесь идет речь лишь о некоторых его членах. Расходимость ряда (1.35) содержит информацию о росте простых чисел р_k при k →∞. [3. с. 71 - 73] 
    
 
 

ГЛАВА II 
БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ИЛИ КОМПЛЕКСНЫХ ФУНКЦИЙ 
§2.1 Понятие о равномерной сходимости бесконечных произведений 
Пусть u_0, u₁, …, u_n,… - последовательность функций, определенных на множестве E свещественными или комплексными значениями. Бесконечное произведение  называется просто сходящимся, если для любого x из E сходится бесконечное

произведение   вещественных или комплексных чисел. Это означает, что последовательность функций  просто сходится к нигде не равной нулю предельной функции. 
Произведение называется абсолютно простым сходящимся, если для любого x из E числовое произведение  абсолютно сходится. 
Выражение «равномерная сходимость» для произведения функций не ясно. Фразао том, что произведение комплексных функций  на Е сходится равномерно к функции  означать, что и ∏_n нигде на E в нуль не обращаются и что функции равномерно сходятся к функции  Та же самая фраза может также означать, что и  ∏_n нигде на Е в нуль не обращаются и что отношение  равномерно сходится к 1. Как легко видеть, эти два понятия не обязательно совпадают. Однако они совпадают, если предел  имеет на Е равномерные оценки снизу и сверху такого вида: 0 < a ≤≤ b < +∞. В самом деле, в этом случае из неравенства | | ≤ ε следует неравенство  ≤  , а из неравенства | | ≤ ε следует неравенство | | ≤ bε. Только в этом случае мы можем позволить себе говорить о равномерной сходимости бесконечного произведения функций. Однако всегда можно говорить о локальной равномерной сходимости бесконечного произведения функций, непрерывных на некотором топологическом пространстве Е (и тогда предел будет также непрерывным). В самом деле, если функции ∏_n сходятся локально равномерно к функции , то согласно следующей теореме:         Пусть E и F – два метрических пространства и f₀, f₁,f₂,…,f_n,… - последовательности отображений  Е в F, локально равномерно сходящаяся к f. Если все функции f_n непрерывны в точке a из E, то и предельная функция непрерывна в точке a. Если функции f_n непрерывны всюду то и а непрерывна всюду. Если сходимость равномерна на Е и все f_n  равномерно непрерывны на E,то f также равномерно непрерывна на E. Функция ∏ будет непрерывной. Так как она везде отлична от 0, то для каждой точки а существует окрестность V’_a, в которой |∏|  ограничена сверху и снизу некоторыми положительными фиксированными числами. Но тогда во всякой окрестности V_a    V’_a, в которой функции ∏_n сходится равномерно к функции ∏, отношение  равномерно сходится к 1. Обратно, предположим, что   локально равномерно сходится к 1. Тогда для каждого а из Е существует окрестность V’_a и

число n, такие, что | |    для х V’_a. Отсюда следует    | | а, значит, |∏_n(x)| ≤ |∏(x)| ≤ 2|∏_n(x)|. Поскольку функции ∏_n непрерывны и ∏_n(а) ≠ 0, то существует окрестность V’’_a    V’_a  точки а, в которой функции |∏_n| ограничены сверху  снизу положительными постоянными. При этом функция |∏(x)| также будет ограниченной. Если теперь V_a    V’’_a является окрестностью, на которой  сходится равномерно к 1, то ∏_n будут на ней равномерно сходится к ∏.  §2.2 Применение к функции  Римана 
Функция Римана определяется формулой 
(s) = .   (2.1) 
Пусть s =  + i  и  - вещественное число > 0. Тогда данный ряд, рассматриваемый как ряд функций, определенный в области  ≥ 1 +  комплексной плоскости, является нормально сходящимся. В самом деле, || =  ≤ .   (2.2) 
Так как для любого n функция s →  непрерывна в полуплоскости                          ≥ 1 + , то видно, что сумма, т.е. функция  , также непрерывна в этой полуплоскости, а поскольку это верно для любого  > 0, функция  непрерывна во всей полуплоскости  > 1. 
Рассмотрим теперь бесконечное произведение, в котором р пробегает множество всех простых чисел  G(s) = .   (2.3) 
   Любой член произведения всегда ≠0. Впрочем, знаменатель 1 -  ≠ 0 для     > 0. Кроме того, в этом случае при  > 0 модулем числа  является число  < 1 и, следовательно, применима следующая теорема: 
  Для того чтобы бесконечное произведение  υ_n), υ_n ≠ -1), было абсолютно сходящимся, необходимо и достаточно, чтобы был сходящимся  ряд υ_n|. 
   Бесконечное произведение абсолютно сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд . Последнее же, конечно, будет иметь место для  > 1, поскольку сумма

этого ряда мажорируется суммой сходящегося  ряда . 
Теорема 2.1: При  > 1 имеет место равенство G(s) = (s). 
Доказательство: При доказательстве этой теоремы естественно считать s раз и

навсегда фиксированным. Поскольку  ряд   и произведение G сходится, то для любого ε > 0 можно найти целое число m, обладающее следующими свойствами: 
а) остаток  мажорируется числом ; 
b) если через G_m(s) обозначить частные произведения, образованные из m первых

множителей бесконечного произведения, то |G_m(s) – G(s)| ≤  . 
  Для каждого простого числа р имеет место разложение в абсолютно сходящийся геометрический ряд:   = 1 +  +  +  + … =  .   (2.4)     

  В силу правила относительно произведения нескольких абсолютно сходящихся рядов, можно записать:

G_m(s) = .   (2.5) 
где p₁ = 2, p₂ = 3, p₃ = 5, …, p_m суть m первых простых чисел и k₁, k₂, …, k_m – целые числа ≥ 0. Отсюда следует, что 
G_m(s) = ,   (2.6) 
где  пробегает последовательность всех целых чисел, которые в разложении на простейшие множители  содержат только простые числа p₁, p₂, …, p_m. Рассмотрим

теперь разность G_m(s) – (s); она состоит из части членов ряда , соответствующих индексам n > m, и потому 
|G_m(s) – (s)| ≤  ≤ ,   (2.7) 
откуда вытекает неравенство 
|G(s) – (s)| ≤ |G(s) – G_m(s)| + |G_m(s) – (s)| ≤ .   (2.8)  
  Поскольку  произвольно, то получаем, что G(s) = (s). 
Следствие: При  > 1 функция в нуль никогда не обращается. 
   Это очевидно, так как она равна значению сходящегося бесконечного произведения. Предыдущие результаты, очевидно, не верны для  = 1. В частности, расходится ряд . Докажем точно так же следующее утверждение: 
Теорема 2.2: Бесконечное произведение  расходится. 
   Заметим для этого, что для произвольного числа А > 0 можно найти такое целое m, что 1 +  + … +  ≥ А.   (2.9) 
Рассмотрим теперь частные произведения G_m. Примененные выше разложения в геометрический ряд имеют смысл и, следовательно, G_m является суммой ∑ ^-1, в которой  пробегает все целые числа, разложение которых на сомножители состоит только из простых чисел р₁, р₂, …, р_m. Отсюда, в частности, вытекает, что имеет место неравенство 
G_m(1) = ∑  ≥ 1 +  + … +  ≥ A.   (2.10) 
Поскольку А произвольно, из этого неравенства следует, что рассматриваемое бесконечное произведение (сомножители которого > 1) расходится: G(1) = +∞. 
   Следствие: Множество простых чисел бесконечно; кроме того ряд , составленный из простых чисел, расходится. 
  В самом деле, расходимость этого ряда эквивалентна расходимости бесконечного

произведения   = . 
Замечание: Рассмотрим знакопеременный ряд _а(s) =  -  + … + (-1)^n-1  + … .   (2.11) 
   Как мы только что видели, этот ряд сходится для  > 0. Покажем, что он даже равномерно сходится на каждом компакте открытой полуплоскости                    > 0 комплексной плоскости. Пусть К – такой компакт. Заметим прежде всего, что на К функция |s| в силу ее непрерывности ограничена сверху некоторым числом S. Точно так же непрерывная всюду положительная функция  на К ограничена снизу некоторым числом  > 0. 
  Применим теперь теорему Абеля: 
Пусть Е, F, G – три пространства Банаха. Пусть  – некоторая последовательность векторов из Е с ограниченной вариацией, стремящихся к  при n → ∞, и   - последовательность векторов из F с ограниченными частными суммами, т.е. такая, что нормы величин 
 =  +  + … + , n ≥ m,  
ограничены. Тогда, если В является билинейным непрерывным отображением пространства Е×F в пространство G, то ряд с общим членом  = B( , ) сходится. 
   Кроме того, если положитьU_m = ||  - || + ||  - || + … u V_m =               = sup_{n ≥ m} || ||, то сумма  и остаток  =  +  + … могут быть оценены следующим образом: || || ≤ ||B||U₀V₀  и || || ≤ ||B||U_m+1V_m+1. 
Имеем:  = u_n , где  = (-1)^n-1, u_n = . 
Величины | | мажорируется числом 1. Покажем, что последовательность чисел u_n имеет ограниченную вариацию. Имеем: 
 -  = s ,   (2.12) откуда | - | ≤ |s|    (2.13)  и 
| - | + | - | + … ≤ |s|  = .   (2.14) 
   Следовательно, ряд сходится, а формула  || || ≤ ||B||U₀V₀ и || ||  ||B||U_m+1V_m+1 дает для остатка следующую оценку: 
| | ≤ .   (2.15) 
Так как при этом |R_m| ≤ , где правая часть не зависит от s и стремится к 0 при m, стремящемся к + , то сходимость ряда равномерна на К. 
Если считать, что  > 1, то можно указать простую связь между функциями  и _а. В самом деле, из формулы 
_а(s) = (s) - 2 получаем: _а(s) = (s)(1 - , или (s) =  .   (2.16) 
 
   Свойство равномерной сходимости, доказанное для _а, показывает, что эта функция непрерывна на каждом компакте К открытой полуплоскости  > 0. Следовательно, она непрерывна всюду в этой полуплоскости. В частности, при s, стремящемся к 1, _а(s) стремится к _а(1) = ln 2. Тогда из формулы (2.16) следует, что при s, стремящемся к 1, (s) эквивалентна