Бесконечные проезведения

 ~  = . 
 
   В результате формула (2.16) позволяет продолжить функцию  во всей комплексной плоскости и показать, что это голоморфная комплексной переменной s, т.е. непрерывная функция с непрерывной первой производной по отношению к этой комплексной переменной в дополнении к точке s = 1 комплексной плоскости. Эта точка s = 1 является полюсом, (1) = ∞. Продолженная функция обращается в нуль в точках s = -2, -4, -6, … . Исследование этой функции дает сведения о распределении простых чисел. Риман высказал гипотезу, о том, что продолженная функция  имеет

все нули, кроме предыдущих, на вертикальной полупрямой  = . Доказательство этого утверждения дало бы исключительно важные сведения о распределении последовательности простых чисел. Во всяком случае, уже известные в настоящее время свойства функции  позволяют показать, что   n-е простое число эквивалентно при n, стремящемся к бесконечности, числу n ln n, или что число простых чисел, заключенных между 1 и N, эквивалентно при N, стремящемся к +∞, числу . 
  Теория простых чисел является одной из самых интересных, но и самых трудных математических теорий.

§2.3 Разложение функции   в бесконечное произведение 
Разобьем вывод формулы  на отдельные этапы. 
 
1) Пусть m – любое положительное нечетное число: m = 2n + 1. Прежде всего докажем, что для любого отличного от kπ (k = 0,  1, …) значения  ( в дальнейшем нас будут интересовать значения  лишь из интервалов                       0 < |  | < π) справедлива формула  
 
n = .   (2.17) 
Для вывода формулы (2.17) будем исходить из формулы Муавра: 
 
Расписывая правую часть этой формулы с помощью бинома Ньютона и сравнивая мнимые части, получим 
Учитывая, что m = 2n + 1, будем иметь (2.18) 
В правой части (2.18) все показатели при косинусах и синусах четные, так что если заменить  на 1 -  то в правой части (2.18) получится многочлен степени n относительно  . Положив z = , обозначим этот многочлен символом F(z), а его корни символами α₁, α₂, …, α_n. Так как при  z =  → 0 и левая часть (2.18) стремится к единице, то многочлен F(z) можно представить в виде: 
 
Остается определить корни α₁, α₂, α_n. Замечая, что эти корни соответствуют нулям функции получим  
α₁ = , α₂ = , …, α_n = . 
Таким образом, формула (2.17) установлена.

2) Положив в формуле (2.17)  и считая, что 0 < |x| < πm, придадим этой формуле вид 
( 2.19) 
Фиксируем любое (отличное от нуля) значение и возьмем два произвольных натуральных числа p и n, удовлетворяющих неравенствам 2  < p < n = . Тогда формулу (2.19) можно записать в виде  
 
(2.20) где

(2.21) 
    Прежде всего оценим . Поскольку 2  < p < n = , то аргументы всех синусов , стоящих в формуле (2.21), принадлежат интервалу ( - . Кроме того, ясно, что для всех k, участвующих в этой формуле, |x| <  и, следовательно, 
   <  
(так как  < , т.е.  < , и поэтому  > ). Для любого β из интервала 0

<β < справедливы неравенства   1 > 1 – β > , поэтому для всех номеров k, превосходящих p, 
1 > 1 - (2.22) 
Почленно перемножая неравенства (2.22), записанные для k = p + 1, p + 2, …, n, получим следующую оценку для  : 
1 >  > .(2.23) 
   Так как аргумент  лежит в первой четверти и для любого β из первой четверти  1 ≥  ≥, то

Таким образом,  
 >  = . 
 
Последнее неравенство позволяет следующим образом усилить оценку (2.23): 
1 >  > .(2.24) 
3) Теперь в формуле (2.20) устремим число m к бесконечности, оставляя фиксированным значение х и номер р. Поскольку  = x,  = (kπ)², то существует предел левой части (2.20), равный , и предел конечного произведения , равный         .

Далее будем считать, что последний  предел отличен от нуля, так как , когда он равен нулю,  = 0 и разложение  установлено. Но тогда существует предел . Обозначим этот предел через . Из неравенств (2.24), справедливых для любого номера m, вытекает, что 1 ≥ (x) ≥ .(2.25) 
Формула (2.20) в пределе при m →∞ дает 
(x).(2.26) 
4) Остается, сохраняя фиксированным х, устремить в формуле (2.26) номер p к бесконечности. Поскольку левая часть (2.26) не зависит от р, а предел    в силу неравенств (2.25) существует и равен единице, то существует и предел 

Таким образом разложение  для  установлено.  
  
 
                

                                                                        ЗАКЛЮЧЕНИЕ 
 
   В данной курсовой работе было произведено исследование одного из типов числовых рядов – бесконечных произведений. В ходе работы был выполнен анализ литературы по данной теме, на основании которого были выделены основные понятия и свойства бесконечных произведений, выявлена связь между сходимостью бесконечных произведений и рядов, рассмотрены разложения различных функций в бесконечное произведение, решены различные задачи по данной теме. Рассмотрены такие понятия, как абсолютная сходимость бесконечного произведения, равномерная сходимость, . В итоге, можно заметить, что рассмотрение вопросов связанных с данной тематикой носит как теоретическую, так и практическую значимость.

 
                                                ИСПЛЬЗУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА 
 
1.     Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М., 1997. – 624 с. 
 
2.     Ильин В. А. и др. Математический анализ. Продолжение курса. – М., 1987. – 358 с. 
 
3.     Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. – М., 1988. – 576 с.  
 
4.     Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том 2. – М., 1970. – 800 с. 
 
5.     Шварц Л. Анализ, том 1. – М., 1972. – 824 с.