Действительные числа

        Положим что у нас есть рациональные числа. Возьмем множество  рациональных такое, что его сумма любого конечного числа элементов не превосходит заданных границ. Если мы будем теперь составлять из этих чисел сумму, то если сумма будет конечной. Таким образом, конечная сумма этих чисел будет представлять рациональное число, мы можем сопоставить любому рациональному числу некоторый конечный набор из некоторого множества . С иррациональным числом этот набор будет бесконечным. Далее, возьмем два бесконечных набора. Будем считать что рациональные числа представлены несократимыми дробями. Рассмотрим набор чисел натуральных чисел . Если для  сумма дробей вида  из первого множества совпадает с суммой таких же дробей из второго множества, то иррациональные числа совпадают друг с другом. Рассмотрим первый номер  для которого это равенство не выполняется. Если для имеет место равенство , где суммы составлены по таким рациональным числам, которые имеют вид , то первое число больше второго. Если имеется обратное неравенство, то второе число больше первого. Сложение чисел определяется операцией объединения множеств. Вычитание определяется как операция обратная сложению.          Составление агрегата вида , где умножение составляется по всевозможным элементам, определяет умножение.

        Таким образом, Вейерштрасс построил вещественное число. Стоит отметить, что он не приравнивает число к ряду, тем самым избегает логической ошибки своих предшественников. Из этого построения видно, что оно определяет взаимооднозначное соответствие: с одной стороны из рационального чисел можно построить вещественной число, с другой каждое вещественной число можно определить некоторым построением из вещественных чисел. Кроме того, оно использует актуально бесконечные множества.

        Стоит еще раз подчеркнуть, что Вейерштрасс в своем определении вещественного числа исходит только из арифметики, не связывая их с точками на прямой.

        Построение вещественных чисел позволило перейти от механического, геометрического понятия предела к теоретико-множественному. Также при помощи строго определения понятия числа Вейерштрасс развил теорию аналитических функций. Также в работах Вейерштрасса встречается прообраз того, что мы называем мощностью множеств.

 

        2.2 Георг Кантор

 

        Родился 3 марта 1845 в Санкт-Петербурге и рос там до 11-летнего возраста. Отец семейства был членом Петербургской фондовой биржи. Когда он заболел, семья, рассчитывая на более мягкий климат, в 1856 году переехала в Германию: сначала в Висбаден, а потом во Франкфурт. В 1860 году Георг закончил с отличием реальное училище в Дармштадте; учителя отмечали его исключительные способности к математике, в частности, к тригонометрии. Продолжил он образование в Федеральном политехнический институте в Цюрихе. Спустя год, после смерти отца, Георг получил наследство и перевёлся в Берлинский университет. Там он посещает посещает лекции Кронекера, Вейерштрасса, Куммера. Лето 1866 года Кантор провёл в университете Гёттингена, важном центре математической мысли. В 1967 году в Берлине получил степень доктора за работу по теории чисел «De aequationibus secundi gradus indeterminatis».

        После непродолжительной работы преподавателем в Берлинской школе для девочек, Кантор занимает место в Галльском университете Мартина Лютера, где и пройдёт вся его карьера. В 1872 году он становится адъюнкт-профессором, тогда же, во время отпуска, завязывает дружбу с Рихардом Дедекиндом. В 34 года Кантор становится профессором математики. В 1879-84 он систематически излагает своё учение о бесконечности; «ввёл понятия предельной точки, производного множества, построил пример совершенного множества, развил одну из теорий иррациональных чисел, сформулировал одну из аксиом непрерывности» [8]. Несмотря на такую успешную карьеру, мечтает о должности в более престижном университете, например, Берлинском. Однако, мечтам не удаётся воплотиться в жизнь: многие современники, в том числе Кронекер, который рассматривается сейчас как один из основателей конструктивной математики, с неприязнью относятся к канторовской теории множеств, поскольку та утверждает существование множеств, удовлетворяющих неким свойствам, — без предоставления конкретных примеров множеств, элементы которых бы действительно удовлетворяли этим свойствам.

        В 1984 году Кантор испытал приступ глубокой депрессии и на время отходит от математики, смещая свои интересы в сторону философии. Затем возвращается к работе. В 1897 году он прекращает научное творчество. Умер Кантор в Галле 6 января 1918.

        Одна из актуальных проблем XIX века была проблема бесконечного деления отрезков и существование точки , принадлежавшей всем таким стягивающимся отрезкам. Эта задача требовала понятия действительного числа.

        Построение Кантором теории действительного числа было опубликовано 1872 году, почти одновременно с теорией Вейерштрасса и Дедекинда. В своем построении Кантор исходит из наличия рациональных чисел. Затем он вводит фундаментальные последовательности Коши и приписывает им формальный предел. Далее, он рассматривает разбивает все последовательности на классы эквивалентности. К одному и тому же классу последовательности относятся тогда и только тогда, когда их разность стремится к нуль, то есть . Далее, формальные пределы равны друг другу, если они имеют две такие фундаментальные последовательности, которые эквивалентны друг другу или . Отношение порядка определяется следующим образом.

        Если  и  то . Если  то .

        Таким образом, классы эквивалентности описывают некоторые вещественные числа. Назовем их вещественными числами первого порядка. Если мы попробуем образовать вещественное число большего порядка, составляя фундаментальные последовательности Коши, то получим опять множество вещественных чисел первого порядка. Иными словами, множество вещественных чисел замкнуто.

        Кантор обращает внимание тот факт, что в определении вещественного числа лежит актуально бесконечное множество рациональных чисел: «...к определению какого-нибудь иррационального числа всегда принадлежит некоторое строго определенное множество первой мощность рациональных чисел».

        Заметим, что построение Кантора можно обобщить на другие объекты, что была сделано Кантором и его последователями, «разработка теорий действительного числа была достаточно существенной предпосылкой создания теории множеств»[4, стр. 63]. Например, на основе своего построения вещественного числа Кантор впоследствии свою теорию трансфинитных чисел.

        Кроме того, Кантор ввел понятие мощности множеств и доказал неэквивалентность иррациональных и рациональных чисел.

 

 

 

 

 

 

 

 

        Глава 3. Действительные числа

 

        Как уже говорилось в введении: понятия числа являются первичным и  основным в математике. Это понятие прошло длительный путь исторического развития. Множество натуральных чисел появилось в связи со счетом предметов. Затем под влиянием потребностей практики и развития самой математики были введены целые числа и рациональные числа где .

        Для однозначности записи рационального числа будем считать, что дробь  не сократима, если не будет делаться оговорки на этот счет.

        Введение рациональных чисел, однако, полностью не решило важной практической задачи об измерении отрезков. Ведь существует отрезок, длина которого не является рациональным числом. Примером может служить диагональ квадрата, сторона которого равна единице.

 

        В связи с этим возникла необходимость введения, кроме рациональных чисел, и других чисел – иррациональных. Произвольные числа – рациональные или иррациональные  - называются действительными или вещественными. Множество действительных чисел обозначают через . Существуют различные способы введения (определения) действительных чисел.

 

        3.1 Бесконечные десятичные дроби

       Мы остановимся на способе представления их в виде бесконечных десятичных дробей .  (1)

        Здесь  - целое неотрицательное число,   при  - десятичные цифры. Таким образом,  может принимать только одно из значений  . Знак  часто в этих записях опускают.

        Чтобы представить не равное нулю рациональное число  в виде десятичной дроби, производим процесс деления   на  по известному способу, которому нас учили в школе: (2)         

Заметим, что если этот способ применить к другой записи дроби , то  получим тот же результат.

        Полагаем (3) и правую часть (3) называем десятичным разложением числа .

        Если знаменатель дроби имеет вид  , где ,  - целые неотрицательные числа, то процесс (2) заканчивается после конечного числа шагов и получается конечная десятичная дробь (4)    

     Конечную десятичную дробь мы будем записывать также в виде бесконечной дроби: (5)         

Итак, имеют место равенства

        Дроби  и  могут служить примерами периодических дробей. Первая из них после цифры  имеет период 0, а вторая после цифры  имеет период  9.

        Пусть теперь знаменатель несократимой дроби не имеет вид . Тогда процесс (2) бесконечный – на любом шаге возникает положительный остаток. Каждый остаток меньше  , и потому (после того, как цифры числа  снесены) уже среди первых  остатков, по крайней мере, два, равные между собой. Но, как только возникает остаток, который уже был прежде, процесс становится повторяющимся – периодическим. Поэтому, десятичное разложение произвольного рационального числа имеет вид (6)                                                                      

        Разложения (5) и (5´) можно рассматривать как частные случаи (6).

        Примеры: (7)        

 Разложение вида (6) называется бесконечной десятичной периодической дробью.

        Итак, каждое не равное нулю рациональное число можно разложить с помощью процесса (2),  а в случае (4) и процесса (5) – в бесконечную периодическую дробь с периодом, отличным от 9. При этом можно доказать, что разным рациональным числам соответствуют разные бесконечные десятичные разложения. Но и обратно: любая бесконечная периодическая дробь (6), с периодом, отличным от 9, порождается при помощи указанных процессов (2), (5) некоторым рациональным числом, которое вычисляется по формуле.

        Кроме периодических десятичных дробей, существуют непериодические, например: если извлекать корень квадратный из 2 по известному правилу, то получим определенную бесконечную непериодическую десятичную дробь . Она определена в том смысле, что любому натуральному числу  соответствует определенная цифра , стоящая на -м месте после запятой и однозначно вычисляемая согласно правилу извлечения квадратного корня.

        Математический анализ дает много путей вычисления числа  с любой наперед заданной точностью. Это приводит к вполне определенному бесконечному десятичному разложению , которое, как оказывается, не является смешенной периодической десятичной дробью.

 

        3.2 Определение иррациональности числа.

        Дадим теперь определение иррационального числа, пока чисто формальное. Иррациональным числом называется произвольная бесконечная непериодическая дробь (8)  где  - целое неотрицательное число, а    - цифры, знак же равенства  «=» выражает, что мы обозначили правую часть (8) через . Впрочем, удобно говорить, что правая часть (8) есть десятичное разложение числа .

        Рациональные и иррациональные числа называются действительными (или вещественными) числами.

        Из сказанного следует, что всякое не равное нулю действительное число может быть записано в виде бесконечной десятичной дроби (8). Если оно рациональное, то его десятичное разложение есть бесконечная периодическая десятичная дробь. В противном случае, согласно нашему определению, выражение (8) само определяет иррациональное число.

        Не равная нулю десятичная дробь может быть конечной, но она не определяет нового рационального числа: в силу соглашений, выраженных равенствами (5), (5´), она может быть заменена указанными в этих равенствах бесконечными периодическими дробями.

        Число , где не все   равны нулю, положительно или отрицательно в зависимости от того, будет ли в (8) фигурировать  или ; при этом, как обычно,  будем опускать.

        Число 0 тоже может быть записано бесконечной десятичной дробью одного из следующих видов:

        Действительные числа определены пока формально, надо еще определить арифметические операции над ними, ввести понятие  и проверить, что эти операции и понятие согласуются с уже имеющимися соответствующими операциями и понятием  для рациональных чисел, а также удовлетворяют свойствам, которые мы предъявляем к числам.

 

 

 

 

 

 

 

        Заключение

        Новые воззрения в математическом анализе не приживались гладко. Жестко критиковал учение Вейерштрасса, например, Кронекер. Критику Кантора можно уверенно сравнить с травлей. Но время доказало правильность выбранного курса. Привычный нам вид математического здания во многом был построен благодаря таким ученным как Вейерштрасс, Кантор и Дедекинд.

        Построение вещественного числа завершило постройку фундамента для математического анализа. Вопрос аксиоматического построения анализа был практически завершен: все, что оставалось сделать - это построить аксиоматику целых и рациональных чисел. Эта задача была завершена Ж. Пеано в 1889 году. Однако, построение вещественного числа не является узкоспециальным вопросом математики, как, например, Великая теорема ферма. Благодаря работам Вейерштрасса, Кантора и Дедекинда в обращение вошли актуально бесконечные объекты: вещественное число, стало фактически первым таким объектом. Строгие построения основанные на аксиоматике, способствовали переходу математиков от «чувственного», «интуитивного» к абстрактному и строгому. Обобщенные методы построения вещественного числа стали впоследствии основой для теории множеств, функционального анализа, интеграла Лебега. Так что с уверенностью можно сказать, что ни один человек не может стать математиком, не зная работ трех великих творцов математики XIX века.

 

 

 

 

 

 

        Список литературы