Замечательные кривые в математике

• Циклоида описывается параметрическими уравнениями

 

• Уравнение в декартовых координатах:

• Циклоида может быть получена как решение дифференциального уравнения:

Свойства

• Циклоида — периодическая функция по оси абсцисс, с периодом 2πr. За границы периода удобно принять особые точки (точки возврата) вида t = 2πk, где k — произвольное целое число.
• Для проведения касательной к циклоиде в произвольной её точке A достаточно соединить эту точку с верхней точкой производящей окружности. Соединив A с нижней точкой производящей окружности, мы получим нормаль.
• Длина арки циклоиды равна 8r. Это свойство открыл Кристофер Рен (1658).
• Площадь под каждой аркой циклоиды втрое больше, чем площадь порождающего круга. Торричелли уверяет, что этот факт был открыт Галилеем.
• Радиус кривизны у первой арки циклоиды равен .
• «Перевёрнутая» циклоида является кривой скорейшего спуска (брахистохроной). Более того, она имеет также свойство таутохронности: тяжёлое тело, помещённое в любую точку арки циклоиды, достигает горизонтали за одно и то же время.
• Период колебаний материальной точки, скользящей по перевёрнутой циклоиде, не зависит от амплитуды, этот факт был использован Гюйгенсом для создания точных механических часов.
• Эволюта циклоиды является циклоидой, конгруэнтной исходной, а именно — параллельно сдвинутой так, что вершины переходят в «острия».
• Детали машин, которые совершают одновременно равномерное вращательное и поступательное движение, описывают циклоидальные кривые (циклоида, эпициклоида, гипоциклоида, трохоида, астроида) (ср. построение лемнискаты Бернулли).

 

4.2.Эпициклоида

 

Эпицикло́ида (от греч. ὲπί — на, над, при и κυκλος — круг, окружность) — плоская кривая, образуемая фиксированной точкой окружности, катящейся по другой окружности.

Уравнения

Если центр неподвижной  окружности находится в начале координат, её радиус равен R, радиус катящейся по ней окружности равен r, то эпициклоида описывается параметрическими уравнениями относительно :

где α — угол поворота эпициклоиды относительно центра неподвижной  окружности, — параметр, но фактически это угол наклона отрезка между центрами к оси OX.

Можно ввести величину , тогда уравнения предстанут в виде

Величина k определяет форму эпициклоиды. При k = 1 эпициклоида образует кардиоиду, а при k = 2 — нефроиду.

 

Эпициклоиды при разных значениях  параметра k:
k = 1 (кардиоида)	k = 2 (нефроида)	k = 3	k = 4

 

4.3. Гипоциклоида

Красная кривая — гипоциклоида: r = 1,0, R = 3,0. Для этой гипоциклоиды k = R / r = 3.

 

Гипоцикло́ида (от греческих слов ὑπό — под, внизу и κύκλος — круг, окружность) — плоская кривая, образуемая точкой окружности, катящейся по внутренней стороне другой окружности без скольжения.

Уравнения

Описывается параметрическими уравнениями

где , где R — радиус неподвижной окружности, r — радиус катящейся окружности.

Модуль величины k определяет форму гипоциклоиды. При k = 2 гипоциклоида представляет собой диаметр неподвижной окружности, при k = 4 является астроидой.

Пример гипоциклоид

k=3 — Дельтоида	k=4 — Астроида	k=5	k=6
k=2,1	k=3,8	k=5,5	k=7,2

 

4.4. Дельтоида

Дельтоида (кривая Штейнера) — плоская кривая, описываемая фиксированной точкой окружности, катящейся по внутренней стороне другой окружности, радиус которой втрое больше радиуса первой.

Название  кривая получила за сходство с греческой буквой Δ. Её свойства впервые изучались Л. Эйлером в XVIII веке, а затем Я. Штейнером в XIX.

Дельтоида является частным случаем гипоциклоиды при k = 3.

Уравнения

• Неявное уравнение в прямоугольной системе:

• Параметрическое:

, где  — треть полярного угла.

Свойства

• Длина кривой , где R — радиус неподвижной окружности.
• Площадь, ограничиваемая дельтоидой, .

 

4.5. Астроида

Астроида — плоская кривая, описываемая точкой M окружности радиуса r, катящейся по внутренней стороне окружности радиуса R = 4r. Иначе говоря, астроида — это гипоциклоида с модулем m = 4.

Уравнения

Уравнение в декартовых прямоугольных  координатах:

| x | ^{2 / 3} + | y | ^{2 / 3} = R^{2 / 3}

параметрическое уравнение:

x = Rcos³t    y = Rsin³t

Свойства

• Длина дуги от точки с 0 до

• Длина всей кривой 6R.
• Радиус кривизны:

• Площадь, ограниченная кривой:

• Астроида является огибающей семейства отрезков постоянной длины, концы которых расположены на двух взаимно перпендикулярных прямых.
• Астроида является алгебраической кривой 6-го порядка.

 

 

4.6. Овал Кассини

Овал Кассини — геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату некоторого числа a.

Частным случаем овала  Кассини при фокусном расстоянии равном 2a является Лемниската Бернулли. Сам овал является лемнискатой с двумя фокусами.

Кривая была придумана  астрономом и инженером Кассини. Он ошибочно считал, что она точнее определяет орбиту Земли, чем эллипс^[1].

Уравнения

Расстояние между фокусами 2c.

• В прямоугольных координатах:

• Явное уравнение в прямоугольных координатах:

• В полярной системе координат:

 

 

 

 

 

Свойства

 

Чёрная окружность — множество  максимумов и минимумов; синяя лемниската — множество точек перегиба

• Овал Кассини — алгебраическая кривая четвёртого порядка.
• Она симметрична относительно середины отрезка между фокусами.
• При имеет два абсолютных максимума и два минимума:

Геометрическое место  точек абсолютных максимумов и минимумов — окружность радиуса c с центром в середине отрезка между фокусами.

• При кривая имеет четыре точки перегиба. Их полярные координаты:

Геометрическое место  точек перегиба — лемниската с вершинами .

• Радиус кривизны для представления в полярных координатах:

 

 

 

 

 

4.7. Лемниската

Лемнискаты с тремя  фиксированными фокусами.

Лемниската (от лат. lemniscatus — украшенный лентами) — плоская алгебраическая кривая порядка 2n, у которой произведение расстояний от каждой точки до n заданных точек (фокусов) постоянно.

 

Примеры

• Лемнискатой с одним фокусом (n = 1) является окружность радиуса r, а с двумя фокусами — овал Кассини.
• Частным случаем овала Кассини является лемниската Бернулли, по имени швейцарского математика Якоба Бернулли, положившего начало изучению лемнискат.

 Свойства

• Уравнение лемнискаты на комплексной плоскости

• Беря разное число фокусов, располагая их по-разному и назначая ту или иную величину для произведения расстояний, можно получать лемнискаты самых причудливых очертаний, например, очертания человеческой головы или птицы. Имея такую произвольную кривую, можно так подобрать число фокусов F₁, F₂, …, F_n, их расположение и назначить такую величину p для неизменного произведения расстояний , что соответствующая лемниската на глаз не будет отличаться от этой кривой. Иными словами, произвольную кривую можно приблизить последовательностью леминискат.

 

Лемниската Бута — плоская алгебраическая кривая четвёртого порядка, частный случай кривой Персея. Названа в честь Джеймса Бута.

Уравнение в прямоугольных декартовых координатах:

(x² + y²)² − (2m² + c)x² + (2m² − c)y² = 0.

Виды

Форма кривой зависит от соотношения между параметрами m и c. Если c > 2m², то уравнение лемнискаты принимает вид

(x² + y²)² = a²x² + b²y², где a² = 2m² + c и b² = c − 2m².

В этом случае лемниската Бута является подерой эллипса относительно его центра и называется эллиптической. Её уравнение в полярных координатах имеет вид

ρ² = a²cos²φ + b²sin²φ.

Если c < 2m², то уравнение лемнискаты принимает вид

(x² + y²)² = a²x² − b²y², где a² = 2m² + c и b² = 2m² − c.

В этом случае лемниската Бута является подерой гиперболы относительно её центра и называется гиперболической. Её уравнение в полярных координатах имеет вид

ρ² = a²cos²φ − b²sin²φ.

Частные случаи

• При c = 2m² лемниската Бута вырождается в две окружности
• При c = 0 лемниската Бута вырождется в лемнискату Бернулли.

Свойства

• Лемниската Бута — ортогональная проекция на плоскость xOy линии пересечения поверхности параболоида x² + y² = cz с поверхностью конуса a²x² + b²y² = c²z².
• Лемнискату Бута можно получить инверсией кривой второго порядка с центром в начале координат.

4.7.2. Лемниската Бернулли

Лемниска́та Берну́лли — геометрическое место точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату половины расстояния между фокусами.

Лемниската  по форме напоминает восьмёрку. Её название восходит к античному Риму, где «лемнискатой» называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх. Эту лемнискату называют в честь швейцарского математика Якоба Бернулли, положившего начало её изучению.

Уравнения

Рассмотрим  простейший случай: если расстояние между  фокусами 2c, расположены они на оси OX, и начало координат делит отрезок между ними пополам, то следующие уравнения задают лемнискату:

• в прямоугольных координатах:

Вывод  [показать]

Проведя несложные преобразования, можно получить явное уравнение:

Вывод  [показать]

• в полярных координатах:

Вывод  [показать]

• Параметрическое уравнение в прямоугольной системе:

, где 

Чтобы задать лемнискату по двум произвольным точкам, можно не выводить уравнение заново, а определить преобразование координат, при котором старый (данный) фокусный отрезок переходит в новый, и  воздействовать на представленные уравнения  этим преобразованием.

Свойства

• Лемниската — кривая четвёртого порядка.
• Она имеет две оси симметрии: прямая, на которой лежит F₁F₂, и серединный перпендикуляр этого отрезка, в простейшем (данном) случае — ось OY.
• Точка, где лемниската пересекает саму себя, называется узловой или двойной точкой.
• Кривая имеет 2 максимума и 2 минимума. Их координаты: