Инверсия и ее применение к решению задач элементарной геометрии

Рис.20.

Р е ш е  н и е . Рассмотрим возможные случаи расположения точки М относи -

тельно окружности инверсии. Прежде всего , заметим , что если точка М лежит

на окружности инверсии , то она неподвижна . Значит , ее образ совпадает с про образом . Пусть теперь точка М лежит вне окружности , например в ее внешней

части . По свойству инверсии образ этой точки должен лежать во внутренней

части окружности инверсии. Проведем через точку M две касательные к окружности ω (O, R). Обозначим точки их касания с окружностью инверсии через А и В . Тогда незамкнутый луч ОМ пересечет отрезок АВ в точке M`. Это и есть образ точки М . Действительно , точки О , М и M^' лежат на одной прямой по построению . Далее обозначим через α величину угла АМО . Тогда величина угла ОАМ^' = α . Следовательно ,  OM =    ОМ^' = R sin α. Откуда , легко получаем , что OM^'· OM = R².  Таким образом , мы показали , что точка M^' является образом точки М при инверсии с центром в точке О и радиусом R. Аналогичным образом можно построить образ точки М , если М – внутренняя точка окружности инверсии . Важно только помнить , что в этом случае образ точки М будет лежать во внешней части окружности .

Задача 3. Построить образ прямой , не проходящей через центр О инверсии радиуса R.

Решение . Произвольно возьмем прямую d, не проходящую через центр О

инверсии . Возможны следующие случаи расположения прямой d относительно

окружности  инверсии : 1) прямая d пересекает окружность инверсии в двух раз личных точках ; 2) прямая d касается окружности инверсии ; 3) прямая d не имеет общих точек с окружностью инверсии . Рассмотрим первый случай , когда прямая d пересекает окружность инверсии в двух различных точках А и В. Поскольку при инверсии с центром в точке О и радиусом R все точки окружности инверсии остаются на месте , то образом прямой d при инверсии будет служить окружность , описанная около треугольника ОАВ . Теперь рассмотрим второй случай , когда прямая d касается окружности инверсии в некоторой точке М . При нашей инверсии эта точка остается на месте . Для построения окружности – образа прямой d нам необходимо иметь еще одну точку . На прямой d произвольно возьмем точку N , отличную от точки М и построим ее образ. Для этого воспользуемся алгоритмом, описанным в примере 1. Через точку N проведем касательную к окружности инверсии . Соединим отрезком точку касания с точкой М . Точка N^' пересечения этого отрезка с прямой О N является образом точки N (Рис .21).

 

Рис .21.

Окружность, описанная около треугольника ОМ N^', служит образом прямой d. Теперь рассмотрим третий случай, когда прямая d не имеет общих точек

с окружностью  инверсии. По свойству 2 образом этой прямой будет служить

окружность, проходящая через центр О. Для того, чтобы построить образ прямой возьмем на ней произвольно две различные точки А и В и , используя способ, описанный в примере 1, построим их образы A^' и B^'(Рис .22).

 

 

 

Рис. 22

 

Задача  4.Каждая из четырех окружностей внешне касается двух других. Докажите, что точки касания лежат на одной окружности (рис.23).

 

Рис.23                                                               Рис.24.

Р е ше н  и е.Выполним инверсию с центром  в точке A касания окружностей a и b. Тогда эти окружности перейдут в пару параллельных прямых a^' и b^' , а окружности g и d —в окружности g^' и d^' касающиеся друг друга в точке C^' и касающиеся соответственно прямых b^'

и a^' в точках B^' и D^' (рис.24).Задача свелась к доказательству того, что точки B^' ,C^',D^' коллинеарны. Действительно, если это будет доказано, то прообразом прямой, соединяющей точки B^',C^',D^' будет окружность, содержащая прообразы B,C, D  этих точек и центр A инверсии. Полученная задача легко решается применением гомотетии с центром C^' переводящей d^' в g^' Эта гомотетия отображает касательную a^' к окружности d^' в точке D^' в параллельную ей касательную b^' к окружности g^' .Поэтому точки D^' и B' касания будут го-

мотетичны относительно точки C^' и, значит, коллинеарны с точкой C^'.

Задача 5. Построить образ окружности при инверсии с центром в точке

О и радиусом R, проходящей через центр инверсии .

Решение . На плоскости возьмем окружность , проходящую через центр инверсии . Возможны следующие случаи расположения заданной окружности

относительно  окружности инверсии : 1) заданная окружность пересекает ок -

ружность  инверсии в двух различных точках ; 2) заданная окружность касается

окружности  инверсии ; 3) все точки заданной окружности лежат внутри окруж ности инверсии . Если заданная окружность пересекает окружность инверсии в

двух точках А и В , то образом этой окружности будет служить прямая , прохо -

дящая через точки А и В (Рис .25).

 

 

 

 

 

 

                       Рис..25                                                    

  Рис.24.

                                    

Если заданная окружность касается окружности инверсии в некоторой

точке М , то для построения образа этой окружности достаточно на ней взять

произвольно какую -нибудь точку N отличную от точки M касания окружно -

стей . Затем , используя описанный в примере 1 алгоритм , построить ее образ N`. Образом заданной окружности в этом случае будет служить прямая , проходящая через точки М и N` (Рис .25).

  А теперь будем считать , что все точки этой окружности лежат внутри ок ружности инверсии . По свойству 3 образом любой окружности , проходящей

через центр  инверсии , служит прямая , не проходящая через него . На окружности произвольно  возьмем две какие-нибудь точки А и В , отличные от центра О инверсии (Рис.26). Используя способ , описанный в примере 1, и опыт , приобретенный в ходе выполнения примера 2, построим их образы  А^' и B^'. Для того, чтобы построить образ точки А проведем через нее прямую d перпендикулярную прямой ОА . В точках M и N пересечения прямой d c окружностью инверсии построим касательные к ней , которые пересекают прямую ОА в одной и той же точке A^' - образе точки А . Аналогично можно построить образ B^' точки В при инверсии . Прямая А'В^' представляет образ окружности , проходящей через центр О инверсии радиуса R.

Рис.26

 

Зaдача 6.Доказать,что во вписанном в окружность четырехугольнике сумма произведений противоположных сторон равна произведению его диагоналей (теорема Птолемея ).

 

Р е ш е  н и е.Выполним инверсию с центром  в вершине A вписанного четырехугольника ABCD. Описанная около него окружность отображается на прямую, содержащую образы B',C^',D^' вершин B,C,D,A B причем C^' лежит между B^' и D^' (рис.27).Поэтому B'D^' = B'C^' + C'D^'. По формуле B'D^' = BD   B'C^' = BC    C'D^' = CD , где R —радиус окружности инверсии. Подстановкой в предыдущее равенство получаем:

BD   После умножения обеих частей этого равенства на    получаем доказываемое соотношение:  AC · BD = BC · AD + AB · CD.

Задача 7. Произвольная точка М окружности , описанной около правильного треугольника АВС , соединена с его вершинами (рис . 28). Доказать , что один из отрезков МА , МВ , МС равен сумме двух других .

Решение . Применим инверсию с центром в точке М и каким-нибудь радиусом R. Под действием инверсии точки А , С и В перейдут , соответственно , в

точки A^', C^' и B^', которые по свойству 4 лежат на одной прямой , проходящей

через точки  пересечения данной окружности с  окружностью инверсии . Пусть

точка C' лежит  между точками А' и В^'. Тогда A'B^' = A'C^' + C'B^'. По следствию из теоремы 1 имеем : А' В^' = AB А' C^' =AC ^В' = CB

Рис.28.

Подставляя  полученные значения в равенство A'B^' = A'C^' + C'B^', получим равенство    или MC = MA + MB

Задача 8. В трапеции ABCD на основании AD взята точка М . Пусть ω₁ и ω₂ – окружности , проходящие , соответственно , через точки А , В , М и С , D, М (рис.29). Доказать , что вторая точка пересечения окружностей , точки В, С и точка Е пересечения боковых сторон трапеции лежат на одной окружности , а точки M, N и Е лежат на одной прямой .

Решение . Для решения задачи применим инверсию с центром в точке Е пересечения боковых сторон трапеции и радиусом R =. Нетрудно показать , что в этой инверсии точки А , D, М перейдут в точки В , С , М '. По следствию 3 теоремы 1 точки А , В , М и М ' располагаются на одной окружности , а точки С , D, М и М ' – на другой окружности . По скольку точки М и M` являются соответственными в данной инверсии , следовательно , точки М , N=M<sup>'</sup> и Е (центр инверсии ) лежат на одной прямой . Итак ,мы показали , что прямая , проходящая через точки пересечения окружностей ω<sub>1</sub> и ω<sub>2</sub>, проходит через точку пересечения боковых сторон трапеции . Так как точки А , М , D лежат на одной прямой , не проходящей через центр инверсии , то их образы В , M`, С будут лежать на одной окружности , проходящей через

центр Е инверсии .

    Таким образом  , получаем , что точка пересечения  боковых сторон трапеции , ее вершины  В и С и вторая точка N пересечения окружностей ω₁ и ω₂ лежат на одной окружности.

Рис.29

 

 

 

Задача  9.Построить окружность, касающуюся трех данных окружностей, по крайней мере две из которых пересекаются (задача Аполлония ).

Ид е я  р е ше н и я. Инверсия с центром в точке пересечения двух из данных окружностей отображает их на две пересекающиеся прямые, а третью окружность —на окружность. Задача свелась к построению окружности, касающейся данной окружности и двух данных непараллельных прямых. Эта задача решается методом гомотетии.

 

Задача Аполлония

Методом инверсии может быть решена в общем случае задача Аполлония  о касании окружностей:

1.Построить  окружность, касающуюся трех данных  окружностей.

    Эта задача  впервые была решена известным  греческим геометром Аполлонием  Пергским в III в. до н. э.  в сочинении, которое до нас  не дошло, но о котором упоминают  некоторые древние математики. Способ, с помощью которого решил эту  задачу Аполлоний, неизвестен. Многие  задачи из числа рассматриваемых  в школьном курсе геометрии  представляют частные или предельные  случаи задачи Аполлония. Частные  случаи возникают при специальном  расположении данных окружностей,  предельные – когда все или  некоторые из данных окружностей  вырождаются в точки (радиус  окружностей неограниченно уменьшается)  или прямые (радиус неограниченно  возрастает).

      Прежде, чем  решить задачу Аполлония в  общем случае, рассмотрим некоторые  частные и предельные случаи.

Задача 1. Построить окружность, проходящую через три данные точки. Решение общеизвестно.

Задача 2. Построить окружность, касающуюся трех данных прямых. Решение этой задачи также общеизвестно. Она может иметь до четырех решений.

Задача 3. Построить окружность, проходящую через данную точку и касающуюся двух данных параллельных прямых.

Анализ. Пусть дана точка Р и и две параллельные прямые а и b. Обозначим расстояние между данными прямыми через d. Тогда радиус искомой окружности должен быть равен d/2. задача сводится к построению центра окружности, который должен удовлетворять двум условиям: 1) он должен быть одинаково удален от прямых а и b; 2) он должен отстоять от точки Р на расстоянии d/2. отсюда вытекает построение.

Построение.

1.     АВ ┴ b, А Є а;

2.     С Є АВ, АС = СВ;

3.     с – прямая, С Є с, с ║а, с ║b;

4.     ω (Р, d/2);

5.     О₁ = ω ∩ с;

6.     ω₁ (О₁, О₁ Р) – искомая.

Рис. 30.

Доказательство. Окружность ω₁ касается прямых а и b, так как расстояния ее центра О₁ от этих прямых одинаковы и равны d/2. Эта окружность проходит через точку Р по построению.

Исследование. Возможны три случая.

1. Точка Р расположена  между данными прямыми а и  b. Указанный способ построения  дает два решения: ω₁ (О₁, О₁Р) и ω₂ (О₂, О₂ Р). Других решения нет, ибо если бы существовали три окружности, удовлетворяющие условиям задачи, то их центры О₁, О₂ и О₃ должны были бы лежать на одной прямой с. С другой стороны, мы должны были бы иметь О₁Р = О₂Р = О₃Р = АС, то есть точки О₁, О₂ и О₃ должны были бы лежать на одной окружности (Р, АС), так что возникает противоречие.

2. Точка Р - на одной  из прямых а или b. Задача  имеет одно решение.

3. Точка Р – вне полосы, ограниченной прямыми а и b. Задача не имеет решений.

Задача 4. Построить окружность, проходящую через две данные точки и касающуюся данной прямой. Эта задача может быть решена методом инверсии, если за центр инверсии принять одну из данных точек, а ее расстояние до данной прямой принять за радиус инверсии. Она может быть решена и без инверсии.

Задача 5. Построить окружность, касающуюся данной окружности и проходящую через две данные точки. Эта задача решена в предыдущем пункте в предположении, что данные точки расположены вне данной окружности. В других случаях решение аналогично или еще проще.