Автор работы: Пользователь скрыл имя, 23 Декабря 2014 в 23:13, курсовая работа
Цель данной курсовой работы заключается в исследовании интегрирующего множителя и его свойств.
Для достижения поставленной цели были определены следующие задачи:
изучить основные понятия теории обыкновенные дифференциальные уравнения;
рассмотреть уравнения в полных дифференциалах;
Введение ………………...……..……………………………….………… 4
Основная часть:
Глава 1. Основные дифференциальные уравнения. Уравнения
в полных дифференциалах ……………..…….……………………...….….… 6
1.1. Основные понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений ………………………..………………………………………….…… 6
1.2. Понятие об уравнении в полных дифференциалах …..…...……….. 7
1.3. Признак уравнения в полных дифференциалах. Построение
общего интеграла ……………...……………...…………………………….…… 9
Глава 2. Интегрирующий множитель. Простейшие случаи нахождения интегрирующего множителя ……………………...…….…… 11
2.1 Общая теория ………………………………………………………... 11
2.2. Один общий способ нахождения интегрирующего множителя .... 15
2.3. Случай интегрирующего множителя, зависящего только от и только от ………………………………………………………………….…... 17
2.4. Случай интегрирующего множителя вида ………. 19
2.5. Интегрирующий множитель и особые решения ……………….… 21
2.6. Интегрирующий множитель уравнения с разделяющимися переменными ………………………..…………………………………….…… 22
Заключение ………………………..……………………………….…… 23
Список использованной литературы ……………………………….. 25
Исследуем при помощи интегрирующего множителя вопрос об особых решениях уравнения с разделяющими переменными и однородного уравнения.
3.6. Интегрирующий множитель
уравнения с разделяющимися
Уравнение (2.29) называется уравнением с разделяющимися переменными, если функции и разлагаются на множители, зависящий каждый только от одной переменной:
. (2.64)
Для решения данного уравнения необходимо умножить это уравнение на множитель
, (2.65)
после чего получали уравнение
, (2.66)
каждый член которого будет зависеть только от одной переменной, очевидно, получено уравнение в полных дифференциалах.
Следовательно, множитель (2.65) есть интегрирующий множитель уравнения (2.64).
Из формулы (2.65) мы видим, что интегрирующий множитель обращается в бесконечность лишь вдоль прямых, параллельных осям координат, определяемых уравнениями , , и, следовательно, только эти прямые и могут быть особыми решениями.
Заключение
Дифференциальные уравнения выступают математическими моделями различных явлений механики сплошной среды, химических реакций, электрических и магнитных явлений и др. Они представляет собой исключительно богатый содержанием, быстро развивающийся раздел математики, тесно связанный с другими областями математики и с ее приложениями.
Дифференциальным уравнением называется уравнение, содержащее производные неизвестной функции.
Если в дифференциальном уравнении неизвестная функция является функцией одной независимой переменной, то оно называется обыкновенным дифференциальным уравнением.
Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в дифференциальное уравнение обращает его в тождество.
Уравнение в полных дифференциалах является одним из часто встречающихся дифференциальных уравнений. Данные уравнения всегда интегрируется в квадратурах. Но если уравнение не в полных дифференциалах, то его можно привести к виду уравнения в полных дифференциалах. Для это необходимо найти функцию , после умножения на которую исходное уравнение преобразуется в уравнение в полных дифференциалах. Такая функция называется интегрирующим множителем.
При соблюдении необходимых условий, гарантирующих существование общего интеграла существует и интегрирующий множитель (теорема о существовании интегрирующего множителя).
Общий интеграл имеет бесчисленное множество интегрирующих множителей. Это свойство «неединственности» интегрирующего множителя и наличия зависимости между интегралами одного и того же уравнения имеют место и для всякого уравнения, у которого обеспечено существование общего интеграла (теорема о неединственности интегрирующего множителя).
Опираясь на поставленные задачи, в данной курсовой работе так же были рассмотрены простейшие случаи нахождения интегрирующего множителя:
Последний исследуемый случай говорит о том, что зная интегрирующий множитель, можем найти не только общий интеграл уравнения, но также и все особые решения. Особым решением уравнения может быть только такое решение, вдоль которого интегрирующий множитель обращается в бесконечность.
Список использованной литературы