Понятие случайного события и его вероятности

Пусть случайная  величина K – статистический критерий проверки некоторой гипотезы H₀. При справедливости гипотезы H₀ закон распределения случайной величины K характеризуется некоторой известной нам плотностью распределения p_K(x).

Выберем некоторую  малую вероятность a, равную 0,05 , 0,01 или еще меньшую. Определим критическое значение критерия K_кр как решение одного из трех уравнений, в зависимости от вида нулевой и конкурирующей гипотез:

P(K> K_кр) = a (1)

P(K< K_кр) = a (2)

P((K< K_кр1)Ç(K> K_кр2)) = a (3)

Возможны и  другие уравнения, но они встречаются  значительно реже, чем приведенные.

Решение уравнения (1) (то же самое для уравнений (2) и (3)) заключается в следующем: по вероятности a, зная функцию p_K(x), заданную как правило таблицей, нужно определить K_кр.

Что означает условие (1)?

Если гипотеза H₀ справедлива, то вероятность того, что критерий K превзойдет некоторое значение K_кр очень мала – 0,05 , 0,01 или еще меньше, в зависимости от нашего выбора. Если K_в – значение критерия K, рассчитанное по выборочным данным, превзошло значение K_кр, это означает, что выборочные данные не дают основания для принятия нулевой гипотезы H₀ ( например, если a=0,01 , то можно сказать, что произошло событие, которое при справедливости гипотезы H₀ встречается в среднем не чаще, чем в одной из ста выборок). В этом случае говорят, что гипотеза H₀ не согласуется с выборочными данными и должна быть отвергнута. Если K_в не превосходит K_кр, то говорят, что выборочные данные не противоречат гипотезе H₀, и нет оснований отвергать эту гипотезу.

Для уравнения (1) область K> K_кр называется критической областью. Если значение K_в попадает в критическую область, то гипотеза H₀ отвергается.

Для уравнения (1) область K < K_кр называется областью принятия гипотезы. Если значение K_в попадает в область принятия гипотезы, то гипотеза H₀ принимается.

Рисунок 1. иллюстрирует решение  уравнения (1). Здесь p_K(x) – известная плотность распределения случайной величины K при условии справедливости гипотезы H₀.

Пусть выбрано  некоторое малое значение вероятности a, по нему определено значение K_кр и по выборочным данным определено значение K_в, которое попало в критическую область. В этом случае гипотеза H₀ отвергается, но она может оказаться справедливой, просто случайно произошло событие, которое имеет очень малую вероятность a. В этом смысле a есть вероятность отвержения правильной гипотезы H₀.

Отвержение  правильной гипотезы называется ошибкой первого рода. Вероятность a называется уровнем значимости. Таким образом уровень значимости – это вероятность совершения ошибки первого рода.

 

Критическая область, полученная для уравнения (1) и приведенная  на рисунке 1., называется правосторонней.

Уравнение (2) определяет левосторонюю критическую область. Ее изображение приводится на рисунке 2.

Отметим, что каждая из заштрихованных фигур на рисунках 1. и 2. имеет площадь, равную a.

Уравнение (3) определяет двусторонюю критическую область. Такая область изображена на рисунке 3. Здесь критическая область состоит из двух частей. В случае двусторонней критической области границы ее частей K_кр1 и K_кр2 определяются таким образом, чтобы выполнялось условие:

P(K £ K_кр) = P(K ³ K_кр) = a / 2.

На рисунке 3. площадь каждой из заштрихованных фигур  равна a / 2.

Вид критической  области зависит от того, какая  гипотеза выдвинута в качестве конкурирующей.

Чем меньше уровень значимости, тем меньше вероятность отвергнуть проверяемую  гипотезу H₀, когда она верна, то есть совершить ошибку первого рода. Но с уменьшением уровня значимости расширяется область принятия гипотезы H₀ и увеличивается вероятность принятия проверяемой гипотезы, когда она неверна, то есть когда предпочтение должно быть отдано конкурирующей гипотезе.

 Пусть при справедливости гипотезы H₀ статистический критерий K имеет плотность распределения p₀(x), а при справедливости конкурирующей гипотезы H₁ – плотность распределения p₁(x). Графики этих функций приведены на рисунке 4. При некотором уровне значимости находится критическое значение K_кр и правостороняя критическая область. Если значение K_в, определенное по выборочным данным, оказывается меньше, чем K_кр, то гипотеза H₀ принимается. Предположим, что справедлива на самом деле конкурирующая гипотеза H₁. Тогда вероятность попадания критерия в область принятия гипотезы H₀ есть некоторое число b, равное площади фигуры, образованной графиком функции p₁(x) и полубесконечной частью горизонтальной координатной оси, лежащей слева от точки K_кр. Очевидно, что b – это вероятность того, что будет принята неверная гипотеза H₀.

Принятие  неверной гипотезы называется ошибкой  второго рода. В рассмотренном случае число b – это вероятность ошибки второго рода. Число 1 – b, равное вероятности того, что не совершается ошибка второго рода, называется мощностью критерия. На рисунке 4 мощность критерия равна площади фигуры, образованной графиком функции p₁(x).и полубесконечной частью горизонтальной координатной оси, лежащей справа от точки K_кр.

Выбор статистического  критерия и вида критической области  осуществляется таким образом, чтобы  мощность критерия была максимальной.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список  Литературы:

 

1. Руководство по решению задач по теории вероятности. (Гмурман В. Е,  Высшая школа, 2004.— 404 с.)
2. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. (Письменный Д.Т.)