Решение задач как основная функция предмета "математика"

Остановимся на некоторых основных вопросах пропедевтической работы по составлению уравнений  при решении текстовых задач.

Задачи на составление  уравнений, или текстовые алгебраические задачи, можно условно классифицировать по типам:

задачи на числовые зависимости;

задачи, связанные  с понятием «процента»;

задачи на прогрессии;

задачи на движение;

задачи на совместную работу;

задачи на смеси  и сплавы.

Стандартная схема  решения текстовой задачи состоит  из нескольких этапов:

Обозначение буквами  x, y, z, ... неизвестных величин, о которых идет речь в задаче.

Составление с  помощью введенных переменных и  известных из условия задачи величин  уравнения или системы уравнений (в некоторых случаях – систем неравенств).

Решение полученного  уравнения или системы уравнений.

Отбор решений, подходящих по смыслу задачи.

Выбирая неизвестные  и составляя уравнения, мы создаем  математическую модель ситуации, описанной  в условии задачи. Это означает, что все соотношения должны следовать  из конкретных условий задачи, то есть каждое условие должно быть представлено в виде уравнения (или неравенства).

Рассмотрим примеры  решения некоторых типов задач  из приведенной выше классификации, предварительно выделив особенности  задач каждого типа, которые надо учитывать при их решении.

Задачи на движение

Уравнения, которые  составляются на основании условий  задач на движение, обычно содержат такие величины, как расстояние, скорости движущихся объектов, время, а также скорость течения воды (при движении по реке). При решении  этих задач принимают следующие  допущения:

Если нет специальных  оговорок, то движение считается равномерным.

Повороты движущихся тел, переходы на новый режим движения считаются происходящими мгновенно.

Если тело с  собственной скоростью х движется по реке, скорость течения которой равна у, то скорость движения тела по течению считается равной (х+у), а против течения – (х-у).

При решении  задач на движение рекомендуется  сделать рисунок, отображающий все  условия задачи. При этом решающий задачу должен выбрать схему решения: какого вида уравнения составлять, то есть что сравнивать: время, затраченное на движение на отдельных участках пути, или пройденный каждым объектом путь.

При решении  задач такого типа часто необходимо узнать время встречи двух объектов, начинающих движение одновременно из двух точек с разными скоростями и движущихся навстречу друг другу  либо в случае, когда один объект догоняет другой.

Пусть расстояние между точками А и В равно S. Два тела начинают движение одновременно, но имеют разные скорости v1 и v2. Пусть С – точка встречи, а t – время движения тел до встречи. В случае движения навстречу друг другу имеем АС=v1t, BC=v2t. Сложим эти два равенства:

АС+СВ=v1t+v2t=(v1+v2)t; AB=S=(v1+v2)t .

Если одно тело догоняет другое, то теперь получаем АС=v1t, BC=v2t. Вычтем эти равенства:

АС–ВС=(v1–v2)t.

Так как АС–ВС=AB=S, то время, через которое первое тело догонит второе, определяется равенством

t=(AC – BC) : (V₁ – V₂)

Задача 1. Пароход  прошел 4 км против течения реки, а  затем прошел еще 33 км по течению, затратив на весь путь один час. Найдите собственную  скорость парохода, если скорость течения  реки равна 6,5 км/ч.

Решение:

Пусть х км/ч – собственная скорость парохода.

Тогда (х+6,5) км/ч  – скорость парохода по течению.

(х–6,5) км/ч – скорость парохода против течения.

Так как против течения пароход прошел 4 км со скоростью (х–6,5) км/ч, то

4 : (х – 6,5) ч. – время движения парохода против течения.

Так как по течению  пароход прошел 33 км со скоростью (х+6,5) км/ч, то

33 : (х + 6,5) ч. – время движения парохода по течению.

По условию               4 33

                             ------------  + --------------- = 1

                               х – 6,5     х + 6,5

решим полученное уравнение.

Откуда получаем квадратное уравнение

х² – 37х + 146,25 = 0,х₁ = 4,5 км/ч и х₂ = 32,5 км/ч

Осуществим отбор  полученных решений.

Через х мы обозначили собственную скорость парохода, при этом скорость течения реки 6,5 км/ч, поэтому х₁=4,5 км/ч не подходит по смыслу задачи (при такой скорости пароход не выплыл бы против течения).

Поэтому, собственная  скорость парохода равна 32,5 км/ч.

Ответ: v=32,5 км/ч.

Задача 2. Расстояние между городами А и В равно 60 км. Два поезда выходят одновременно: один из А в В, другой из В в А. Пройдя 20 км, поезд, идущий из А в В, останавливается на полчаса, затем, пройдя 4 минуты, встречает поезд, идущий из В. Оба поезда прибывают к месту назначения одновременно. Найдите скорости поездов.

Решение:

Отобразим все  условия задачи на рисунке.

Заметим, что  если время в условии задачи выражено как в часах, так и в минутах, то минуты надо перевести в часы. В нашем случае 4 мин=4/10 часа=1/15 часа.

Так как в  задаче надо определить две величины, введем две переменные и составим два уравнения.

Пусть х км/ч – скорость поезда, вышедшего из пункта А;

у км/ч – скорость поезда, вышедшего из пункта В.

Так как в  задаче известно расстояние, выразим время через скорость и расстояние.

   20

------      – время, за которое поезд из А прошел 20 км.

   Х

  

20       1 1

---- + ----- + ------        – время, затраченное поездом из А до встречи в пункте D.

 Х 15 2 

   1

----- Х  – расстояние, которое прошел поезд из А за 4 минуты после остановки.

  15                                                                                         

                                                                                                1

Тогда поезд  из А до встречи в пункте D прошел    20 + ----- Х    км.

         1                                                                                   15

40 - ----- Х  км – расстояние, пройденное поездом из В до встречи.

        15 

        1

40 - ----Х

       15

----------------     – время, пройденное поездом из В до встречи в пункте D.

        У

Так как по условию  в пункте D поезда встретились, они  затратили на путь до встречи одинаковое время, поэтому получаем первое уравнение

   

      1

      40= ----- Х

1      20         1                    15

---- + ---- + ----- = ---------------------- ;

  2 Х       15 У

С другой стороны, выразим время движения поездов  после встречи в пункте D.

Так как  , то  – время движения поезда из В после встречи.

Так как  , то  – время движения поезда из А после встречи.

По условию  .

Таким образом, мы составили систему двух уравнений  с двумя переменными.

Решим систему, для чего из первого уравнения  выразим у и подставим это выражение вместо у во второе уравнение.

;

;

.

Решим полученное уравнение

;

;

;

х1=60;  х2=–600.

Так как х – скорость, то х2 не подходит по смыслу задачи. Подставим полученное значение х в выражение для у

.

Ответ: vA=60 км/ч, vB=40 км/ч.

Задачи на совместную работу

Содержание задач  этого типа сводится обычно к следующему: некоторую работу, объем которой  не указывается и не является искомым, выполняют несколько человек  или механизмов, работающих равномерно, то есть с постоянной для каждого  из них производительностью. В таких  задачах объем всей работы, которая  должна быть выполнена, принимается  за 1; время t, требующееся для выполнения всей работы, и р – производительность труда, то есть объем работы, сделанной за единицу времени, связаны соотношением

.

Рассмотрим стандартную  схему решения задач этого  типа.

Пусть х – время выполнения некоторой работы первым рабочим,

у – время  выполнения этой же работы вторым рабочим.

Тогда  – производительность труда первого рабочего,

 – производительность труда второго  рабочего.

 – совместная производительность труда.

 – время, за которое они выполнят задание, работая вместе.

Задача 1. Двое рабочих  выполняют некоторую работу. После 45 минут совместной работы первый рабочий  был переведен на другую работу, и второй рабочий закончил оставшуюся часть работы за 2 часа 15 минут. За какое  время мог бы выполнить работу каждый рабочий в отдельности, если известно, что второму для этого  понадобится на 1 час больше, чем  первому.

Решение:

Пусть х – время работы первого по выполнению всей работы.

у – время  работы второго рабочего.

По условию  х=у–1, и первое уравнение составлено.

Пусть объем  всей работы равен 1.

Тогда  – производительность труда первого рабочего,

 – производительность труда второго  рабочего.

Так как они  работали 45 мин.=3/4 часа совместно, то

 – объем работы, выполненной рабочими за 45 минут.

Так как второй рабочий работал один 2 часа 15 минут=2¼=9/4 часа, то

 – объем работы, выполненной вторым рабочим за 2 часа 15 минут.

По условию  .

Таким образом, мы получили систему двух уравнений

Решим ее, для  этого выражение для х из первого уравнения подставим во второе

 Þ  Þ 4у2–19у+12=0

 ч. и у2=4 ч.

Из двух значений для у выберем то, которое подходит по смыслу задачи у1=45 мин., но 45 мин. рабочие работали вместе, а потом второй рабочий работал еще отдельно, поэтому  не подходит по смыслу задачи. Для полученного у2=4 ч. найдем из первого уравнения первоначальной системы значение х

х=4–1 Þ х=3 ч.

Ответ: первый рабочий  выполнит работу за 3 часа, второй –  за 4 часа.

Замечание: эту  задачу можно было решить, не вводя  вторую переменную у, а выразить время работы второго рабочего через х, тогда нужно было составить одно уравнение и решить его.

Задача 2. Две  бригады рабочих начали работу в 8 часов. Сделав вместе 72 детали, они  стали работать раздельно. В 15 часов  выяснилось, что за время раздельной работы первая бригада сделала на 8 деталей больше, чем вторая. На другой день первая бригада делала за 1 час  на одну деталь больше, а вторая бригада  за 1 час на одну деталь меньше. Работу бригады начали вместе в 8 часов и, сделав 72 детали, снова стали работать раздельно. Теперь за время раздельной работы первая бригада сделала на 8 деталей больше, чем вторая, уже  к 13 часам. Сколько деталей в час  делала каждая бригада?

Решение:

Пусть х деталей в час изготовляет первая бригада (производительность первой бригады).

у – производительность второй бригады.

х+у – совместная производительность бригад.

Так как вместе они сделали 72 детали, то