Решение задач как основная функция предмета "математика"

-  оформление краткой записи в виде таблицы, схемы;

-  оформление краткой записи в строку (столбец);

-  чтение краткой записи задачи;

-  составление задачи по ее краткой записи.

Приему  обучения выполнению чертежей (рисунков) по тексту задачи.

Основные  из них следующие:

-  предъявление заданий, требующих только выполнение соответствующего рисунка;

-  чтение рисунка, выполненного по тексту задачи;

-  составление задачи по рисунку или чертежу.

Сделаем некоторые пояснения к приему оформления чертежей по тексту задачи. Выполненный чертеж (рисунок) по тексту задачи позволяет фиксировать ход  рассуждений при ее решении, что  способствует формированию общих подходов к решению задач. Поэтому к  выполнению чертежей предъявляются  требования: они должны быть наглядными, четкими, соответствовать тексту задачи; на них должны быть отражены по возможности все данные, входящие в условие задачи; выделенные на них данные и искомые должны соответствовать условию и общепринятым обозначения.

Формирование  умения выполнять чертеж задачи будет  успешным, если учащиеся будут уметь  читать соответствующий чертеж. В  связи с этим важным моментом является составление текста задачи по чертежу, рисунку. В результате выполнения таких  упражнений формируются навыки перевода графических данных на словесный  текст.

Второй  этап пропедевтики

Важным  моментом здесь является обучение пониманию  учащимися способов словесного выражения  изменению величин и фиксация их в виде математических выражений  или уравнений.

Достигается это с помощью соответствующих  упражнений. Например, при изучении действий умножения натуральных  чисел в 5 классе учащиеся рассматривают  одно из применений умножения –  увеличение числа в несколько  раз. Здесь для достижения указанной  цели возможны следующие упражнения:

1)  Отец старше сына в 4 раза. Сколько лет отцу, если сыну m лет? (4m)

2)  На первых двух полках стоит по n книг на каждой, а на третьей – m книг. Сколько книг на трех полках? (2n+m)

3)  Сравните a и c, если а = 5с (а больше с в 5 раз или с меньше а в 5 раз).

4)  Составьте равенство, исходя из условия: х больше у в n раз (х = nу).

5)  Составьте задачу по уравнению 2х = 28 (Например: «В корзине было несколько грибов. После того, как в нее добавили столько же, в ней стало 28 грибов. Сколько грибов было в корзине?»)

Аналогичные упражнения могут быть предложены учащимся также при изучении других арифметических действий.

Сложность подобных упражнений должна быть посильной  для учащихся, а число их –  достаточным для формирования соответствующих  умений и навыков.

В методике обучения решению задач предлагаются также другие системы упражнений для достижения поставленной цели. Например, рассматриваются конкретные текстовые задачи и после прочтения их текстов учащимся предлагается ответить на ряд вопросов. Раскроем содержание этого приема на нескольких задачах.

Задача 1. Теплоход за час проходит расстояние в 5 раз больше, чем катер. Сколько  километров в час проходит каждый из них, если сумма их скоростей равна 90 км/ч?

Задания. 1) Назовите величины, которые связаны  зависимостями:

а) одна больше другой в 5 раз;

б) одна меньше другой в 5 раз.

2) Если  катер проходит х км/ч, то как можно истолковать выражения: 5х, 5х+х? Значение какой из представленных величин известно по условию задачи?

Задача 2. Волейбольная команда школьников выиграла на … состязаний…, чем проиграла. Число проигранных состязаний в … числа состязаний, проведенных вничью. Сколько проведено состязаний, если ничьих было на …, чем проигрышей?

Задание. Используя справочный материал, заполните  пропуски в тексте задачи. Справочный материал: команда школьников выиграла 16 состязаний, проиграла 6 и свела

вничью 2.

Задача 3. На школьной математической олимпиаде  было предложено 8 задач. За каждую решенную задачу засчитывалось 5 очков, а за каждую нерешенную задачу списывалось 3 очка. Сколько задач правильно решил  ученик, если он получил 24 очка?

Задание. Установите, к решению каких из приведенных ниже уравнений сводится решение предложенной задачи:

а) 5х-3(8-х)=24;                                         г) 5х-3(8+х)=24;

б) 5х=24;                                                    д) 5х+3(8-х)=24.

в) 5(8-х)-3х=24;

Задача 4. С противоположных концов катка  длиной 180 м бегут навстречу друг другу два мальчика. Через сколько  секунд они встретятся, если начнут бег одновременно и если один пробежит 9 м/с, а другой 6 м/с?

Задание. Дополните приведенные ниже выражения  до уравнения, к которому сводится решение  задачи:

а) 9х+…=180;

б) 180…=6х;

в) …9х=….

Заметим, что задания к задачам не требуют  решения исходных задач. Причем четко  выделяются две группы заданий: первая группа (задачи 1 и 2) направлена на формирование умения видеть всевозможные зависимости  между величинами, входящими в  задачу; вторая группа (задачи 3 и 4) формируют  умение видеть в математическом выражении  или формуле определенное содержание, т.е. математическую модель.

Изложенная  система пропедевтической работы учителя  по обучению решению текстовых задач  показывают, что эти задачи выступают  не только как цель и средство, но и как предмет изучения. Это  соответствует той важной роли, которая  отводится им в курсе математики.

В 5 – 6 классах учащиеся решают также текстовые  задачи на все действия с натуральными и дробными числами, на зависимость  между компонентами и результатами действий. Эти задачи и методы их решения имеют важное методическое значение. Прочное усвоение методов  решения «чисто арифметических»  задач позволяет подготовить  учащихся к осознанному решению  задач методом составления уравнений. Тем самым, этот вид задач можно  рассмотреть в связи с прикладной направленностью курса школьной математики (пропедевтика представления  о математическом моделировании).

§5. Этапы решения  задач с помощью  уравнений

Деятельность  по решению задачи включает следующие  этапы независимо от выбранного метода решения:

1)  анализ содержания задачи;

2)  поиск пути решения задачи и составление плана её решения;

3)  осуществление плана решения задачи;

4)  проверка решения задачи.

Поясним это на конкретных примерах, выделяя  отдельно каждый из названных этапов.

Пример. Расстояние от пункта А до пункта В равно 116 км. Из А в В одновременно отправляются велосипедист и мотоциклист. Скорость велосипедиста 12 км/ч, скорость мотоциклиста – 32 км/ч. Через сколько часов велосипедисту останется проехать в четыре раза больший путь, чем мотоциклисту?

Решение.

1.  Анализ задачи.

В задаче идет речь о велосипедисте и мотоциклисте, которые отправляются одновременно в одном направлении из пункта А в В. Известно, что расстояние от А до В равно 116 км, скорость велосипедиста – 12 км/ч, скорость мотоциклиста – 32 км/ч. Требуется узнать, через сколько часов велосипедисту останется проехать в четыре раза больший путь, чем мотоциклисту.

Краткая запись задачи (в виде схематического чертежа) показана на рисунке 1а.

2.  Поиск пути решения задачи и составление плана ее решения.

Обозначим искомое число часов через  х. Зная скорость мотоциклиста, можем  узнать, какое расстояние он проедет  за х ч, а затем, зная расстояние между пунктами А и В, найдем, какое расстояние останется проехать мотоциклисту до пункта В.

Зная  скорость велосипедиста, можем узнать, какое расстояние он проедет за х ч, а затем найдем, какое расстояние ему останется проехать до пункта В.

По условию  велосипедисту останется проделать  путь, в четыре раза больший, чем  мотоциклисту. Следовательно, мы можем  составить уравнение, приравняв  между собой путь, в четыре раза больший пути, который осталось проехать мотоциклисту.

Решив этот уравнение, найдем, через сколько часов велосипедисту останется проделать путь, в четыре раза больший, чем мотоциклисту.

3.  Осуществление плана решения задачи.

Пусть через х ч велосипедисту останется проделать в четыре раза больший путь, чем мотоциклисту. За это время мотоциклист проедет 32х км, значит, ему останется проехать до пункта В (116 – 32х) км. Велосипедист за х ч проедет 12х км, значит, ему останется проехать до пункта В (116 – 12х) км (рис. б). По условию это расстояние в четыре раза больше, чем расстояние, которое останется проехать мотоциклисту. Следовательно, получаем уравнение

(116 –  32х) · 4 = 116 – 12х.

После несложных преобразований будем  иметь:

464 – 128х = 116 – 12х 116х         = 348 х         = 3.

Итак, искомое  решение равно 3 ч.

4.  Проверка решения задачи.

Через 3 ч мотоциклист проедет 32 · 3 = 96 (км), останется 116 – 96 = 20 (км). Через 3 ч велосипедист проедет 12 · 3 = 36 (км), останется до конца 116 – 36 = 80 (км). Найдем, во сколько раз  велосипедисту останется сделать  больший путь, чем мотоциклисту: 80 : 20 = 4 (раза). Расхождения с условием задачи нет. Задача решена правильно.

Ответ: через 3 ч велосипедисту останется  сделать в четыре раза больший  путь, чем мотоциклисту.

Выделенные  этапы представляют норму деятельности человека по решению задач. В реальном процессе решения задачи этапы не имеют четких границ, и человек, решающий задачу, не всегда выделяет их в явном  виде, переходя от одного к другому  незаметно для себя. Вместе с тем  решение каждой отдельно взятой задачи обязательно должно содержать все  указанные этапы, осмысленное прохождение  которых (вместе со знанием приемов  их выполнения) делает процесс решения  любой задачи осознанным и целенаправленным, а значит, более успешным. Игнорирование  одних этапов (например, поиска пути решения) может привести к решению  методом «проб и ошибок», игнорирование  других (например, проверки решения  задачи) – к получение неверного ответа и т.д.

Выделенные  этапы процесса решения задачи служит той ориентировочной основой, опираясь на которую учитель управляет  действиями учащихся по формированию способов решения задач. Каждый этап имеет свои признаки (ориентиры), руководствуясь которыми учитель формирует у  учащихся компоненты общего умения решать задачи.

Рассмотрим  более подробно каждый этап решения  задачи.

На первом этапе (анализ текста задачи) учитель  должен добиться того, чтобы учащиеся «приняли» задачу, т.е. поняли ее смысл, сделав целью своей деятельности. В этом случае задача становится объектом мышления.

Поэтому усвоение текста задачи учащимися будет  первой важной целью учителя. Исходным здесь является выделение в задаче условия, т.е. данных и отношений  между ними, и требования задачи, т.е. искомого (искомых) и отношений  между ними. Дальнейшее соотнесение  условия и требования позволяет  выявить в задаче основное отношение, направляющее процесс поиска ее решения. Как правило, это отношение имеет  вид функциональной зависимости. Важное значение имеют краткая запись текста задачи, составление схем, рисунков.

Схемы и рисунки выступают в роли наглядного представления содержания задачи и зависимостей величин, входящих в нее. Еще большее значение приобретает  схема в роли модели, выявляющей скрытые зависимости между величинами. Поэтому составлению кратких  записей и схем по тексту задачи необходимо специально обучать.

Сопоставление условия и требования задачи позволяет  выяснить, достаточно ли данных для  ответа на вопрос задачи, нет ли среди  них противоречивых или лишних данных.