Решение задач как основная функция предмета "математика"

На первом этапе решения необходимо также  актуализировать «базис» решения  задачи, т.е. теоретическую и практическую основу, необходимую для обоснования  решения. Здесь выясняется также, не принадлежит ли задача к известному типу задач.

Итак, основные назначения этапа – осмыслить ситуацию, отраженную в задаче; выделить условия и требования, назвать данные и искомые, выделить величины и зависимости между ними (явные и неявные). На этом этапе решения задачи можно использовать такие приемы:

а) представление  той жизненной ситуации, которая  описана в задаче;

б) постановка специальных вопросов и поиск  ответов на них;

в) «переформулировка» задачи;

г) моделирование  ситуации, описанной в задаче, с  помощью реальных предметов, предметных или графических моделей и  др.

Первый  прием – представление той  жизненной ситуации, которая описана  в задаче, - выполняется фактически при чтении или слушании задачи. Вместе с тем мысленное воспроизведение  всех объектов задачи и связей между  ними может проводиться и позже. Цель такого воспроизведения – выявление  основных количественных и качественных характеристик ситуации, представленной в задаче.

Второй  прием – постановка специальных  вопросов и поиск ответов на них  – включает следующий «стандартный»  набор вопросов, ответы на которые  позволяют детально разобраться  в содержании задачи:

1.  О чем говорится в задаче?

2.  Что известно в задаче?

3.  Что требуется найти в задаче?

4.  Что в задаче неизвестно? и др.

Третий  прием – переформулировка текста задачи – состоит в замене данного в задаче описания некоторой ситуации другим описанием, сохраняющим все отношения, связи, качественные характеристики, но более явно их выражающим. Вся лишняя, несущественная информация при этом отбрасывается, текст задачи преобразуется в форму, облегчающую поиск пути решения. В ходе переформулировки выделяются основные ситуации, о которых идет речь в задаче, при необходимости строится вспомогательная модель задачи: краткая запись условия, таблица, рисунок, чертеж, диаграмма и т.п.

Моделирование ситуации, описанной в задаче, с  помощью реальных предметов, предметных моделей или графических моделей  является еще одним, четвертым, приемом  анализа задачи.

Рассмотрим  приемы вспомогательных моделей, которые  могут быть представлены в виде схематического чертежа, чертежа, таблицы и краткой  записи.

Пример. В первом бидоне краски в 2 раза больше, чем во втором. Если из первого бидона взять 2 л краски, а во второй добавить 5 л краски, то в обоих бидонах станет поровну. Сколько краски было в каждом бидоне первоначально?

Вспомогательная модель задачи (в виде схематического чертежа) показана на рисунке.  

  

Пример. Одна машинистка тратит на печатание 12 страниц текста столько же времени, сколько вторая машинистка на печатание 16 страниц. Сколько времени первая машинистка тратит на печатание одной страницы, если вторая печатает одну страницу за 12 мин?

Вспомогательная модель задачи (в виде чертежа) показана на рисунке.

Пример. В первую неделю типография получила с фабрики шесть рулонов бумаги одного сорта и заплатила за них 204 р. Сколько рублей должна заплатить типография за месяц, если она получила 10 таких же рулонов бумаги того же сорта?

Вспомогательная модель задачи (в виде таблицы) показана на рисунке.

 

На втором этапе процесса решения задачи важным моментом является выяснение стратегии  решения задачи:

1)  устанавливается, будет ли неизвестным, относительно которого составляется уравнение, искомая величина или же промежуточная величина. Если принято решение найти сначала промежуточную величину, то искомая величина выражается через нее;

2)  по какому компоненту составлено уравнение или оно будет составлено с использованием всех его компонентов (другими словами, для каких величин соответствующие выражения будут приравниваться).

Далее осуществляется поиск способа решения  задачи на основе построения модели поиска. Аналитико-синтетический поиск решения  заканчивается получением уравнения. Соответствующий план решения обсуждается с учащимися, при этом используется табличная запись поиска решения задачи. В случае необходимости план как способ решения задачи оформляется письменно. В этом он выполняет роль ориентировочной основы деятельности учащегося.

Итак, назначение этапа – завершить установление связей между данными и искомыми величинами и указать последовательность использования этих связей.

Проведя анализ задачи, не всегда просто найти  путь ее решения. Поиск пути решения  задачи является довольно трудным процессом, для которого нет точного предписания. Укажем некоторые приемы, помогающие осуществить этот этап.

Одним их приемов поиска пути решения задачи является анализ задачи по тексту или  по ее вспомогательной модели. Поиск  пути решения задачи можно осуществлять от вопроса задачи к данным (аналитический  путь) или от данных к вопросу (синтетический  путь).

В первом случае (аналитический путь) на основе анализа задачи необходимо уточнить, что требуется найти в задаче и определить, что достаточно знать  для ответа на этот вопрос. Для этого  следует выяснить, какие из нужных данных есть в условии задачи. Если они (или одно из них) отсутствуют, надо определить, что нужно знать, чтобы  найти недостающие данные (или  одно недостающее данное), и т.д., пока для определения очередного неизвестного оба данных будут известны.

Поиск пути решения заканчивается составлением плана решения задачи. Под планом решения будем понимать объяснение того, что узнаем, выполнив то или  иное действие, и указание по порядку  выполнения арифметических действий. Приведем пример поиска решения задачи аналитическим путем.

Пример. В трех школах 1072 ученика, во второй на 16 учеников больше, чем в третьей, и на 14 учеников меньше, чем в первой. Сколько учеников в каждой школе?

Краткая запись задачи показана на рисунке.

Поиск пути решения. Чтобы определить число  учащихся в каждой школе, надо сначала  узнать число учащихся в одной  из школ и разность между этим числом учащихся других школ.

В условии  дана разность числа учащихся второй и третьей школ и разность числа  учащихся первой и второй школ. Поэтому  в первую очередь удобнее определять число учащихся второй школы; для  этого приравниваем число учащихся первой и третьей школ к числу  учащихся второй школы. Чтобы узнать, сколько было бы учащихся в трех школах, если бы в каждой школе было столько, сколько во второй, надо знать  настоящее число учащихся трех школ (дано в условии) и на сколько учеников оно увеличится или уменьшится при  предполагаемом изменении числа  учащихся первой и третьей школ. Последнее число определим, зная, что число учащихся первой школы  надо уменьшить на 14 учеников (чтобы  уравнять со второй школой), а число  учащихся третьей школы увеличить  на 16.

План  решения.

1.  На сколько учеников увеличилось бы общее число трех школ, если бы в каждой школе число учеников было бы таким же, как во второй?

2.  Сколько учеников было бы в трех школах, если бы число учеников в каждой школе было бы таким же, как во второй школе?

3.  Сколько учеников во второй школе?

4.  Сколько учеников в первой школе?

5.  Сколько учеников в третьей школе?

Во втором случае (синтетический путь) решающий выделяет в тексте задачи два каких-либо данных и на основе связи между  ними, установленной при анализе, определяет, какое неизвестное может  быть найдено по этим данным и с  помощью какого действия. Затем, считая полученное число данным, решающий опять выделяет два взаимосвязанных данных и определяет, какое неизвестное может быть найдено по ним и с помощью какого действия, и т.д., пока выполнение очередного действия не приведет к определению искомого.

Пример. У трех братьев была некоторая сумма денег: у первого и второго вместе 600 р., у второго и третьего вместе 500 р., у третьего и первого 700 р. Сколько денег было у каждого брата в отдельности?

Решение. Краткая запись задачи показана на рисунке. 

I и II            -        600 р.

II и  III         -        500 р.

I и III           -        700 р.

Сколько денег было у каждого брата  в отдельности?

Поиск пути решения. Зная, что у первого  и второго братьев вместе 600 р., а у второго и третьего вместе 500 р., можем найти, на сколько денег  у первого брата больше, чем  у третьего.

По сумме  и разности денег первого и  третьего узнаем, чему равно удвоенное  количество денег третьего брата, а  затем, сколько денег имеет каждый из них. После этого можно найти, сколько денег у второго.

План  решения.

1.  На сколько рублей у первого брата больше, чем у третьего?

2.  Чему равно удвоенное количество денег третьего брата?

3.  Сколько денег имел третий брат?

4.  Сколько денег имел первый брат?

5.  Сколько денег имел второй брат?

При решении  задач анализ и синтез в рассуждениях, как правило, переплетаются. Осуществляя  поиск пути решения задачи синтетически, анализ часто производят «про себя». В то же время, каким бы приемом  мы не вели поиск пути решения составной  задачи, ее предварительный анализ (хотя бы подсознательный) неизбежен.

Еще одним  из приемов поиска пути решения задачи является разбиение задачи на смысловые  части. Сущность этой работы заключается  в том, чтобы научиться различать  в данной задаче отдельные, менее  сложные задачи, последовательное решение  которых позволяет получить ответ  на требование данной.

На третьем  этапе процесса решения задачи осуществляется найденный план решения, выполняется  проверка решения и записывается полученный ответ.

Назначение  этапа – найти ответ на требование задачи. Немаловажную роль при решении  задач играет запись найденного решения. Прежде всего остановимся на используемых сокращениях при записи действий с именованными числами. При записи именованных чисел, выраженных в метрических мерах, используются наименования, принятые в международной системе единиц СИ, например, «м» – метр, «км/ч» – километров в час. Названия таких мер, как квадратный метр, кубический метр, употребляемых без чисел, выписываются полностью словами, например: «сколько гектаров земли…», а не «сколько га земли…». Принято название метрических мер выписывать полностью и в случае буквенной символики, например, «а литров», b метров» и т.д. Однако часто этого не делают, а используют более удобную запись «х км/ч», «у м3» и т.д. Что касается других наименований, то здесь нет общеустановленных условных обозначений. Вместе с тем в последнее время, как правило, вместо «руб.» принято писать «р.», вместо «коп.» – «к.» и др.

Четвертый этап – изучение (анализ) найденного решения задачи. Здесь анализ имеет  своей целью выделение главной  идеи решения, существенных его моментов, обобщение решения задач данного  типа. Выясняются недостатки решения, выявляются и закрепляются в памяти учащихся приемы, которые были использованы в процессе решения задачи.

В психолого-дидактических  исследованиях высказывается мнение, что осуществление этого этапа  будет способствовать переносу знаний и служить средством более  эффективного обучения решению задач. Раскроем методику обучения решению текстовых задач на конкретном примере.

Задача. По плану бригада должны была выполнить заказ за 10 дней. Но фактически она перевыполняла норму на 27 деталей в день и за 7 дней работы не только выполнила предусмотренное планом задание, но и изготовила сверх плана 54 детали. Сколько деталей в день должна была изготовить бригада по плану?