Решение задач как основная функция предмета "математика"

Анализ  текста задачи. После прочтения текста задачи анализ может быть проведен посредством рассмотрения следующих  вопросов (самими учащимися или с  помощью учителя):

За сколько  дней бригада должна выполнить заказ  по плану?

За сколько  дней бригада фактически выполнила  заказ?

Почему  бригада выполнила заказ раньше намеченного срока?

Сколько деталей изготовила бригада сверх  плана?

Какие величины содержатся в задаче?

Как связаны  между собой производительность труда, время и объем выполненной  работы?

Сколько различных ситуаций можно выделить в задаче?

Какие величины, входящие в условие и  вопрос задачи, неизвестны?

Какая величина в задаче является искомой?

Решалась  ли раньше задача, похожая на эту?

В итоге  первого этапа работы над задачей  с учетом основного отношения  выполняется запись текста задачи. Табличная форма записи на первых этапах обучения решению текстовых  задач наиболее эффективна, потому что умение учащегося оформить соответствующую  таблицу говорит о том, принял он задачу или нет.

Для выяснения  связи между значениями одной  и той же величины перед учащимися  ставятся соответствующие вопросы, например: в каком случае производительность труда бригады была выше? На сколько  деталей в день бригада перевыполняла  норму?

Правильный  ответ на первый вопрос позволяет  поставить в таблице соответствующий  знак неравенства между неизвестными значениями одноименной величины.

Ответ на второй вопрос позволяет записать: «На 27». Полученная запись позволяет  учащимся актуализировать часть  условия задачи: производительность бригады, предусмотренная планом, на 27 деталей в день меньше фактической. Аналогично поступают при выяснении  связи между неизвестными значениями другой величины. В данном случае сравнивается плановый и фактический объем  выполненной работы.

Поиск способа решения задачи.

На этом этапе обсуждается стратегия  решения задачи. Затем вводится обозначение  искомой или другой неизвестной  величины в зависимости от выбранной  учителем совместно с учащимися  стратегии. Далее, пользуясь установленными зависимостями между значениями одноименных величин и основным отношением, реализованным в задаче (т.е. зависимостью между величинами), на основе табличной записи текста задачи выполняется таблица поиска решения задачи:

Исходя  из модели поиска решения, выписывается неравенство

10х<(х+27)·7  на 54, с помощью которого составляется уравнение 10х+54 = (х+27)·7 или уравнение 10х=(х+27)·7-54.

Осуществление плана решения задачи. Отсюда естественно  вытекает план решения задачи, который  включает в себя поиск решения (способ получения уравнения) и решение  полученного уравнения. Заметим, что  табличная форма записи деятельности учащихся по составлению уравнения  не требует повторного ее описания. Поэтому на третьем этапе процесса решения текстовой задачи остается решить полученное уравнение, выполнить  проверку решения и записать ответ.

Имеем уравнение: 10х+54 = (х+27)·7

Решим его:

10х+54 = 7х+189,

3х = 135,

х = 45.

Данное  уравнение имеет один корень –  число 45.

Однако  решение задачи не может заканчиваться  решением уравнения: необходимо проверить, удовлетворяет ли полученный корень уравнения условию и требованию задачи. В связи с этим необходимо сделать проверку корня уравнения  по смыслу задачи.

По найденному значению х по порядку вычисляются значения входящих в задачу величин. При этом проверяется, удовлетворяют ли эти величины смысловым ограничениям. Если все найденные значения величин им удовлетворяют, то корень уравнения дает решение задачи.

С этой целью воспользуемся моделью  поиска решения задачи. По смыслу найденной  задачи все входящие в нее величины должны принимать положительные  значения. Проверим, выполняется ли это для найденного значения х = 45:

х = 45                                                Положительное число.

х+27 = 45+27 = 72                 Положительное число.

(х+27)·7 = 72·7 = 504              Положительное число.

504-450 = 54                           Положительное число, являющееся данным.

Следовательно, значение х = 45 удовлетворяет условию задачи, т.е. является ее решением.

Ответ: бригада должна изготовить в день по плану 45 деталей.

Изучение (анализ) найденного решения. Перед  учащимися в соответствии с содержанием  этого этапа процесса решения  задачи ставятся вопросы следующего типа:

Какова  главная идея решения данной задачи?

Нельзя  ли указать другие способы решения  данной задачи?

Почему  рассмотренный способ решения является рациональным?

В заключение отметим, что предложенная методика обучения решению текстовых задач  на процессы эффективна также и в  случае решения задач, приводящих к  решению уравнений более сложного вида, чем линейные, например, квадратные. Естественно, что при последовательном формировании умений решать текстовые  задачи методика обучения претерпевает определенные изменения: отпадает необходимость  применять табличную форму записи текста задачи и поиска ее решения, сократится число выявленных этапов процесса ее решения, сам этот процесс  станет более свернутым. 

Глава 3. Практическая реализация этапов решения текстовых  задач  

§1. Решение задач  с помощью составления  уравнений

в теме «Уравнения»

Регулярное  применение алгебраического метода решения текстовых задач начинается с 7 класса. К этому момента часть учащихся уже достигнет на достаточно хорошем уровне умения решать методом составления уравнения несложные текстовые задачи.

В 6 классе в связи с появлением новых  видов уравнений и методов  их решения текстовые задачи становятся разнообразнее как по содержанию, так и по своей информационной структуре. Эти задачи таковы, что  они позволяют действительно  показать преимущество алгебраического  способа решения по сравнению  с арифметическим. В 1 – 6 классах зачастую алгебраическим способом решались такие текстовые задачи, которые поддавались простому, иногда устному выполнению.

К началу систематического использования алгебраического  способа у учащихся должны быть сформированы на хорошем уровне следующие умения:

-  проводить анализ текста задачи с целью усвоения ситуации, заданной в задаче, выявление ее предметной области и связей между объектами;

-  распознавать величины, участвующие в задаче;

-  сравнивать значения – величины, входящих в задачи;

-  записывать одну задачу через другую;

-  выявлять равные величины (на основе этого и составляется уравнение);

-  кратко записывать условие задачи.

Полезной  окажется работа, в результате которой  ученики проследят за тем, как  перевод условия задачи с естественного (русского) языка на язык алгебры  позволяет составить уравнение.

Рассмотрим  следующую задачу: «Сын моложе отца в 7 раз, а через 10 лет отец станет старше сына в 3 раза. Сколько лет  сыну в настоящее время?»

Оформим решение в следующем виде:

Несмотря  на то, что в 5 – 6 классах уже шло  формирование у учащихся умение выбирать неизвестное, следует этому вопросу  уделить пристальное внимание и  в 7 классе, т.к. у многих школьников это умение не сформировалось на нужном уровне. При этом акцент нужно сделать  на оптимальный выбор неизвестного. Прежде, почти всегда, за неизвестное  принималась одна или несколько  величин. Школьникам на конкретных примерах следует показать, что в ряде случаев  за неизвестное целесообразно выбирать величину, не относящуюся к искомой.

Главное внимание при обучении учащихся способу  решения текстовых задач методом  составления уравнений должно быть обращено на сознательную отработку  этапности решения. Полная схема включает такие этапы:

1)  объяснение к составлению уравнения;

2)  составление уравнения;

3)  решение уравнения;

4)  проверка;

5)  запись ответа;

6)  анализ решения задачи;

На первом этапе проводится анализ задачи, выделяются объекты и процессы, подлежащие рассмотрению, выделяются величины, характеризующие эти процессы, выбирается неизвестная величина, через которую выражаются остальные.

Далее выявляются основания для составления  уравнения и составляется само уравнение. Целью последнего этапа является выявление рациональных путей решения, уяснения и уточнения идеи и метода решения, уяснение общих правил для решения подобных задач.

Подготовительные  упражнения

Подготовительные  упражнения предназначены для подготовки учащихся к решению задач, с которыми они ранее не встречались. Важное значение для составления уравнений  по условию задачи имеют навыки в  записи алгебраических выражений, равенств с целью уяснения основных понятий  и соотношений: равно, больше на столько-то, больше во столько-то раз, отношение и др..

Для отработки  этих понятий и соотношений между  ними необходимы систематические упражнения в записи алгебраических выражений.

v  Большое значение имеет запись формул, выражающих функциональную зависимость между величинами. Приведем упражнения, которые целесообразно давать систематически, повторяя их время от времени.

1.  Скорость движения тела V, время движения t , путь S. Запишите формулы для определения S, V, t.

2.  Цена товара k, количество m, стоимость с. Запишите формулы зависимости между c, k и m.

3.  Производительность – p деталей в час, время работы – t часов, объем произведенной продукции – n деталей. Запишите формулы для определения p, t, n

v  Цель следующих заданий: формирование умений анализировать условие, исследовать корни, соотносить их с условием задачи.

При решении  задач с помощью уравнений  могут возникнуть затруднения, связанные  с выделением из условия задачи величин, связанным какими-либо зависимостями.

Можно предложить учащимся следующие упражнения: