Решение задач как основная функция предмета "математика"

1.  Прочитайте задачу и ответьте на вопросы.

Теплоход  за час проходит расстояние, в 4 раза меньше, чем катер. Сколько километров в час проходит каждый из них, если сумма их скоростей равна 90 км/ч?

Вопросы:

1)  Назовите величины, связанные следующими зависимостями:

а) одна больше другой в 4 раза;

б) одна меньше другой в 4 раза;

2)  Если теплоход проходит х км в час, то что могут означать следующие выражения:

4х, 4х  + х?

v  Цель: развитие воображения учащихся, формирование умений читать схематически записи условий.

Задание: по схематической записи составить  задачу.

 
а)

б)

v  Цель заданий: первичное закрепление знаний об этапах решения задач.

Решить  задачу, составив уравнение. На полке  стояло несколько книг. Когда с  нее сняли 10 книг, то на полке стало 25 книг. Сколько книг было на полке?

I.  Анализ задачи.

Переведем задачу на математический язык.

Было несколько книг    х

сняли 10 книг                10

стало 25 книг                          25

Т.к. неизвестно, сколько книг было на полке, то это  и обозначили х.

II.  Составим уравнение.

 х – 10 = 25

было  сняли стало

III.  Решаем уравнение.

х – 10 = 25

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

х = 25 + 10

х = 35

IV.  Ответ: 35 книг было на полке.

Работа  с задачей.

Задача: «В двух книгах 70 страниц. В первой книге  страниц в 6 раз больше, чем во второй. Сколько страниц в каждой книге?»

I.  1) О чем говорится в задаче? (о двух книгах).

2) В  какой книге больше страниц? (в  первой книге).

3)  В какой книге меньше страниц? (во второй книге).

4)  Что известно о количестве страниц в каждой книге? (в первой книге в 6 раз больше)

5)  Наименьшее обозначим за «х». Что такое х в задаче? (х – количество страниц во второй книге).

6)  Как выразить количество страниц в 1-ой книге? (6х)

7)  Сколько всего страниц в двух книгах? (70 страниц).

Схематическая запись.

II.  Основание составления уравнения: 70 страниц.

III.  Составление уравнения:

х + 6х = 70

IV.  Решение уравнения:

х + 6х = 70

х (1 + 6) = 70

7х = 70

х = 70 : 7

х = 10

V.  10 страниц во второй книге.

VI.  В задаче спрашивалось, сколько страниц в каждой книге. Значит, надо найти, сколько страниц в первой книге.

По условию  это: 6х. Найдем значение этого выражения.

10 ·  6 = 60 (с).

VII.  Найдены все величины. Можно записать ответ:

Ответ: 10 страниц во второй книге, 60 страниц  в первой книге.

§2. Решение задач  с помощью составления  уравнений в теме

«Прямая и обратная пропорциональные зависимости»

Рассмотрим  этапы изучения этой темы.

Во-первых, надо научить школьников решать пропорции. Основной способ их решения должен опираться на основное свойство пропорций. Когда эта цель будет достигнута, то можно показать использование  свойств пропорций для упрощения их решения.

Во-вторых, нужно научить школьников выделять в условиях задач две величины, устанавливать вид зависимости  между ними.

В-третьих, нужно научить их по условию задачи составлять пропорцию. При решении  первых задач полезно подчеркнуть, что стоимость покупки определяется по формуле:

стоимость = цена · количество

и проследить, как при увеличении (уменьшении) одной величины в несколько раз  изменяется вторая величина при неизменной третьей.

Аналогичная работа с задачами проводится по формуле:

путь = скорость · время

1.  За несколько одинаковых карандашей заплатили 8 р. Сколько нужно заплатить за такие же карандаши, если их:

а) в 2 раза больше;

б) в 2 раза меньше?

2.  Имеются деньги на покупку 30 карандашей.

а) Сколько  тетрадей можно купить на те же деньги, если тетрадь дешевле карандаша в 2 раза?

б) Сколько  ручек можно купить на те же деньги, если ручка дороже карандаша в 10 раз?

Наблюдения, полученные учащимся при решении  задач 1,2, нужно использовать при  формировании понятий прямой и обратной пропорциональности.

Две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной  из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько  же раз.

Две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении (уменьшении) одной  из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько  же раз.

Дальше, опираясь на опыт решения задач 1,2 т  определения, учащиеся должны ответить на вопросы заданий 3,4,5. Здесь следует  постоянно обращать их внимание на то, какие величины изменяются, а  какие нет.

3.  Какова зависимость между:

1)  ценой одной ручки и стоимостью нескольких ручек при постоянном их количестве?

2)  Количеством ручек и их стоимостью при постоянной их цене?

3)  количеством ручек и их ценой при постоянной их стоимости?

4.  Какова зависимость между:

1)  количеством тракторов и площадью, которую они вспашут за 1 день?

2)  числом дней работы и площадью, которую он вспашет?

3)  количеством тракторов и числом дней, за которые они вспашут поле?

5.  Покупают одинаковые альбомы. Какова зависимость между количеством альбомов и стоимостью покупки?

Работу  над заданиями 2,3 надо обобщить, заметив, что если три величины связаны  равенством а = b · с, то при постоянном произведении множители обратно пропорциональны, а при постоянном множителе другой множитель и произведение прямо пропорциональны. Этот факт нужно рассмотреть применительно к формулам:

стоимость = цена · количество,

путь = скорость · время,

работа = производительность · время.

Перейдем  к решению задач с помощью  пропорций.

6.  Расстояние между двумя городами пассажирский поезд прошел со скоростью

80 км/ч  за 3 ч. За сколько часов товарный  поезд пройдет то же расстояние  со скоростью 60 км/ч?

Скорость (км)               Время (ч)

80  3

40  х

В краткой  записи условия задачи стрелки показывают, что скорость уменьшилась, а время  увеличилось в одно и то же число  раз. Это число находится делением большего числа на меньшее (в направлении стрелок). Чтобы учащиеся лучше освоили прием составления пропорций, надо постоянно задавать вопрос: «Во сколько раз увеличилась (уменьшилась) первая величина?» Тогда число, дающее ответ, будет находиться делением большего значения величины на меньшее (в направлении стрелок). На первых порах это число должно быть целым, позднее – дробным.

7.  5 маляров могли покрасить забор за 8 дней. За сколько дней покрасят тот же забор:

а) 10 маляров; б) 1 маляр?

Чтобы у учащихся не сложилось впечатление, будто зависимость бывает только двух видов – прямой и обратной пропорциональностью, полезно рассмотреть  провокационных задачи, в которых  зависимость имеет другой характер.

8.  За 3 ч поймали 12 карасей. Сколько карасей поймают за 4 ч?

9.  Два петуха разбудили 6 человек. Сколько человек разбудят пять петухов?

10.Трое  пошли – три гвоздя нашли.  Четверо пойдут – много ли  найдут?

До сих  пор мы рассматривали задачи, в  которых отношение двух неизвестных  значений одной величины было целым  числом. В следующих задачах оно  часто выражается дробью. Как и  раньше, здесь следует постоянно  задавать вопрос: «Во сколько раз  увеличилась (уменьшилась) величина?»

11.Из  «Арифметики» А.П. Киселева. 8 аршин  сукна стоят 30 р. Сколько стоят  15 аршин этого сукна?

12.Со  скоростью 80 км/ч товарный поезд  прошел 720 км. Какое расстояние пройдет  за это же время пассажирский  поезд, скорость которого 60 км/ч?

13.За одно и то же время токарь обтачивает 6 деталей, а его ученик – 4 детали.

1)  Сколько деталей обточит ученик за то же время, за которое токарь обточит 27 деталей?

2)  Сколько времени потратит ученик на задании, которое токарь выполняет за 1ч?

После изучения основных понятий в этих темах («Пропорции», «Прямая и обратная пропорциональности»), учащиеся решают соответствующие задачи.

Подготовительные  упражнения

Рассмотрим  некоторые подготовительные упражнения, которые можно давать учащимся, чтобы  сформировать у них навыки и умения устанавливать зависимости между  величинами.

1. Какую  часть одно число составляет  от другого?

а) 4 от 20; б) 7 от 15; в) 10 от 20; г) 13 от 21

2. Найдите  отношения и придумайте отношения,  значения которых равны заданным:

а) 25 к 5; б) 0,25 к 0,55; в) 1,37 к 1,3; г) 6 к 27

3. Что  показывает отношение:

а) пути, пройденного автомобилем, ко времени  его движения;

б) числа  деталей ко времени из изготовления;

в) стоимости  купленных апельсинов к их массе?

4. Дана  пропорция, найти выражение, которое  не является пропорцией, выведенной  из данной:

1) а : 20 = 4 : 8

а)  а : 4 = 20 : 8;