Теория Галуа

    g_ab=(g_a)_b

    Если  вместо произвольной подстановки a взять подстановку ,

 то получим  g_e=g

    Пример:            b=         ab= 
 

    (g_a)_b=g_ab.

    (g_a)_b

    g_ab =

    Кроме того, равенство g_a=g тогда и только тогда имеет место для любой подстановки a, когда многочлен g является симметрическим многочленом. Пусть теперь a₁=e, a₂, …, a_n! – все подстановки степени n. Рассмотрим многочлены      

    

        (4)

    где g – произвольный многочлен от n неизвестных x₁, …, x_n. Воздействуя на эти многочлены произвольной подстановкой a степени n, мы получим многочлены

     

       (5)

    Так как подстановки a₁a, a₂a, …, a_n!a, очевидно, исчерпывают все подстановки степени n (их n!, и все они различны), то многочлен (5) с точностью до порядка следования совпадает с многочленами (4). Отсюда вытекает, что любой симметрический многочлен от является симметрическим многочленом и от x₁, …, x_n, т.е. если F(y₁, …, y_n!) – симметрический многочлен от n! переменных y₁, …, y_n!, то подставляя вместо y_i многочлен (x₁, …, x_n), мы получим симметрический многочлен от x₁, …, x_n. В частности, все коэффициенты многочлена

    G(x; x₁, …, x_n)=

(x- (x₁, …, x_n)) (6)

(рассматриваемого  как многочлен от неизвестного  x) являются симметрическими многочленами  от x₁, …, x_n и, следовательно, выражаются в виде многочленов (с коэффициентами из поля Р) от элементарных симметрических многочленов.

    (М.М.  Постников. Теория Галуа) 
 

    Пусть L – конечное расширение поля Р, К – конечное расширение поля L,

    P⊂ L⊂ K,

  – базис поля  L над полем Р и – базис поля К над полем L таким образом, m=[L:P], n=[K:L].

    Оказывается, что mn элементов , i=1,…,m ,j=1,…,n, образуют базис поля К над полем Р.

    Другими словами, любой элемент поля К  является линейной комбинацией элементов  с коэффициентами из поля Р и элементы линейно независимы над полем Р.

    Действительно, любой элемент  поля К является, по определению, линейной комбинацией элементов с коэффициентами из поля L:

    ,

      где ,

то есть (1) -  

   С другой стороны, для каждого j=1,…,n элемент  является линейной комбинацией элементов с коэффициентами из поля Р:

    ,

    где ,…,

то есть 
 

    Подставляя  эти выражения в формулу  (1), получим, что  
 

    Таким образом, любой элемент поля К  является линейной комбинацией элементов  вида  с коэффициентами из поля Р.

    Предположим теперь, что в поле Р существуют такие элементы , что 

    Для любого j=1,…,n положим  

    Элементы принадлежат полю L и удовлетворяют соотношению

    =0.

    Так как элементы образуют базис поля К над полем L, то из этого соотношения вытекает, что

    .

    Таким образом, для любого j=1,…,n  

    Следовательно, поскольку элементы образуют базис поля L над полем Р, то для всех i и j. Тем самым доказано, что система элементов линейно независима.

    Из  доказанного утверждения вытекает, что поле К является конечным расширением поля Р и его степень равна mn то есть

    [K:P]=[K:L][L:P].

    Эту формулу легко обобщить: если

    Р=

    причем для любого i=1,…,s  поле является конечным расширением поля , то поле К будет конечным расширением поля Р и

    [K:P]=[K:L_s-1]…[L_i:L_i-1]…[L₁:P].

    Для доказательства достаточно применить индукцию по s.

    Эта теорема применима в частности, к любому составному алгебраическому расширению, ибо, любое простое алгебраическое расширение является конечным расширением. Таким образом, получаем, что

    любое составное алгебраическое расширение является конечным расширением.

    Так как все элементы конечного расширения поля Р алгебраичны над полем Р, то, в частности, для любого составного алгебраического расширения Р элементы алгебраичны над Р. Поэтому расширение Р() является алгебраически порожденным расширением. Таким образом,

    любое составное алгебраическое расширение является алгебраически порожденным расширением.

    Сопоставляя это замечание с результатами , видим, что класс составных алгебраических расширений совпадает с классом алгебраически порожденных расширений. При этом, если К= Р(), то К= Р

    Далее, как было доказано в § 4, класс  конечных расширений содержится в классе составных алгебраических расширений, то есть и в классе алгебраически  порожденных расширений. Следовательно, класс конечных расширений совпадает с классом составных алгебраических расширений.

    Сопоставляя обе эти теоремы. Получаем, что  следующие три утверждения равносильны:

    а) поле К является конечным расширением поля Р.

    б) поле К является составным  алгебраическим расширением  поля Р.

    в) поле К является алгебраически  порожденным расширением  поля Р.

    (М.М.  Постников. Теория Галуа.) 

§ 7. Теорема о том, что составное алгебраическое расширение является простым

    В этом параграфе мы докажем следующую  теорему.

  Любое составное алгебраическое расширение К бесконечного поля Р, такое что является простым, т. е. существует такое число 0, что 

  Рассмотрим  сначала случай s = 2, когда К = Р. Пусть и — минимальные многочлены (над Р) чисел и соответственно (как мы знаем, эти числа алгебраичны над Р) и пусть

    (1)

— корни многочлена и

     (2)

— корни многочлена . Так как многочлены и  неприводимы, то среди корней (1), так же как и среди корней (2), нет одинаковых.

Рассмотрим элементы

           (3)

где i=1,2,…,n и, a j = 2, . . ., m (таким образом, j 1).

Число этих элементов равно п(т—1) и, следовательно, конечно. Поэтому в поле Р можно найти число с, не равное ни одному из чисел (3). Положим (то есть Так как число с не равно ни одному из чисел (3), то

   (4)

ни для  каких i=1,2,…,n и j =2,…,m.

  Число принадлежит полю K и, следовательно, алгебраично. Порожденное им простое алгебраическое расширение

  Р()⊂ К     (5)

Рассмотрим  многочлен 

    Это — многочлен над полем Р(), имеющий общий корень ₂ с многочленом f₂(х) (который также можно считать многочленом над полем Р()). Из соотношения (4) вытекает, что никаких других общих корней многочлены g₁(x) и g₂(х) не имеют (ибо если g₁() = 0, то число будет корнем многочлена (х), т. е. для некоторого i, что по построению возможно только для i,j=1). Следовательно, наибольшим общим делителем этих многочленов является двучлен х — ₂. Но, как известно, наибольший общий делитель двух многочленов над некоторым полем (в нашем случае над полем Р()) также является многочленом над этим же полем. Поэтому ₂Р() и, следовательно, .

В силу минимальности расширения P() отсюда вытекает, что P() содержит .

Сопоставляя это включение с включением (5) и учитывая, что 

P() = P(₁)(₂), мы получим P(₁)(₂)= .

Таким образом, для s=2 теорема доказана.

  Случай  любого s сводится к случаю s = 2 тривиальным применением метода полной индукции.

  Доказанная  теорема означает, что к приведенному в предыдущем параграфе перечню равносильных свойств расширений мы можем добавить следующее свойство:

  г) поле К является простым алгебраическим расширением поля Р.

Другими словами, конечные (т. е. составные алгебраические, т. е. алгебраически порожденные) расширения исчерпываются простыми алгебраическими расширениями.

(М.М.  Постников. Теория Галуа) 

§ 8. Линейные преобразования, гомоморфизмы.

    Пусть в линейном пространстве V_n задано линейное преобразование j. Если L - любое линейное подпространство пространства V_n, то совокупность Lj образов всех векторов из L при преобразовании j также будет линейным подпространством, как немедленно вытекает из определений линейного подпространства и линейного преобразования. В частности, линейным подпространством будет и совокупность V_nj образов всех векторов пространства V_n она называется областью значений преобразования j.

    Найдем  размерность области значений. Для  этого заметим, что так как  все матрицы, задающие преобразование j в разных базах, подобны между собой, то все они имеют один и тот же ранг. Это число можно назвать, следовательно, рангом линейного преобразования j.

           Размерность области значений линейного преобразования j равна рангу этого преобразования.

    В самом деле, пусть j задается в базе е₁, е₂, ..., е_n матрицей А. Подпространство V_n порождается векторами

    е₁j, е₂j, ..., е_nj     (1)

и поэтому  базой подпространства V_nj будет служить, в частности, любая максимальная линейно независимая подсистема системы (1). Однако максимальное число линейно независимых векторов в системе (1) равно максимальному числу линейно независимых строк матрицы А, т. е. равно рангу этой матрицы. Теорема доказана.

    Мы  знаем, что при линейном преобразовании j нулевой вектор переходит в самого себя. Совокупность N(j) всех векторов пространства V_n отображающихся при j в нулевой вектор, будет, следовательно, непустой и является, очевидно, линейным подпространством. Это подпространство называется ядром преобразования j, а его размерность - дефектом этого преобразования.

    Для любого линейного  преобразования j пространства V_n сумма ранга и дефекта этого преобразования равна размерности n всего пространства.

    Действительно, если r - ранг преобразования j, то подпространство V_nj обладает базой из r векторов

        (2)

    В пространстве V_n можно выбрать такие векторы

       (3)

что

b_ij = a_i, где i=1, 2,…, r

    Выбор векторов (3) не является, понятно, однозначным. Если бы некоторая нетривиальная линейная комбинация векторов (3) отображалась преобразованием j в нуль, в частности, если бы векторы (3) были линейно зависимыми, то векторы (2) оказались бы сами линейно зависимыми против предположения. Поэтому линейное подпространство L, порожденное векторами (3), имеет размерность r, а его пересечение с подпространством N(j) равно нулю.

    С другой стороны, сумма подпространств L и N(j) совпадает со всем пространством V_n. Действительно, если с - любой вектор пространства, то вектор d=cj принадлежит, конечно, к подпространству V_nj. Тогда в подпространстве L найдется такой вектор b, что bj=d. Вектор b записывается через систему (3) с теми же коэффициентами, с какими вектор d записывается через базу (2). Отсюда