Теория Галуа

    Умножение автоморфизмов обладает единицей – ею служит тождественный автоморфизм Е, оставляющий все элементы поля К на месте: α^Е =α. По определению (см. формулу (2))

    S^-1S=E  (3)

    Рассмотрим  теперь автоморфизм (S^-1)^-1, обратный автоморфизму (S^-1). По определению                                          

    (S^-1)^-1 S^-1=Е   (4)

    Умножая это равенство справа на S и пользуясь формулой (3), мы получим, что (S^-1)^-1=S. Подставляя это выражение в формулу (4), получаем SS^-1=E. Итак,

    S^-1S= SS^-1=E.

    Таким образом, видно, что относительно операции умножения автоморфизмов множество всех автоморфизмов является группой. Эта группа называется группой автоморфизмов поля К.

    Определение 3: Пусть Р - некоторое подполе поля К. Автоморфизм S поля К называется автоморфизмом над полем Р, если он все элементы поля Р оставляет на месте, т.е. если для любого элемента с принадлежащего Р: с^s=c.

    Докажем, что совокупность всех автоморфизмов над полем Р является подгруппой группы автоморфизмов поля К.

    Определение 4: если поле К является нормальным расширением поля Р, то подгруппа всех автоморфизмов над Р называется группой Галуа поля К над полем Р и обозначается символом G(K, P).

    Теорема 1: любой автоморфизм из группы Галуа G(K,P) переводит каждый корень произвольного многочлена над полем Р снова в корень этого же многочлена.

    Пусть f(x)=c₀+c₁α+…+c_nxⁿ – произвольный многочлен над полем Р, имеющий в К хотя бы один корень α:

    c₀+c₁α+…+c_nαⁿ=0     (5)

    Применяя  к равенству (5) автоморфизм S  из группы Галуа G(K,P), получаем, что c₀+c₁α^s+…+c_n(α^s)ⁿ=0 (т.к. с_i^s=c_i для любого i=0, 1, …, n), т.е. что f(α^s)=0.

    Следствие: для любого числа α принадлежащего К и любого автоморфизма S принадлежащего G(K,P) число α^s сопряжено над полем Р с числом α.

    Замечание: любое отображение s конечного расширения К в себя, обладающее свойством (1) и оставляющее на месте все элементы поля Р, взаимно однозначно, т.е. является автоморфизмом поля К над полем Р.

    Если  с принадлежит полю Р, а α принадлежит  конечному расширению К, то (сα)^s=c^sα^s=cα^s. Кроме того, для любых элементов α и β поля К (α+β)^s= α^s+ β^s.

    Это означает, что отображение s представляет собой линейное преобразование поля К, рассматриваемого как линейное пространство над полем Р. Поэтому в силу отмеченного выше факта из теории линейных преобразований, для доказательства сформулированного утверждения достаточно показать, что если α≠0, то и α^s≠0. Но если α≠0, то в поле К существует такой элемент β, что αβ=1 и, следовательно, α^sβ^s=1. Таким образом,  действительно, α^s≠0.

    (М.М.  Постников. Теория Галуа) 

    § 3. Порядок группы Галуа

    Пусть К – произвольное нормальное расширение поля Р. Расширение К является простым алгебраическим расширением, то есть в К существует такой элемент θ, что К=Р(θ) (согласно теореме о том, что составное алгебраическое расширение является простым из гл. 1, § 7) Степень n минимального многочлена f(x) элемента θ равна степени [К:Р] поля К над полем Р. Любой элемент поля К имеет однозначную запись вида

    α=c₀+c₁θ+…+c_n-1θ^n-1 (1)

где с₀, с₁,…, с_n-1 Р.

    Как доказано в предыдущем пункте, любой  автоморфизм S из группы Галуа G(К, Р) переводит корень θ снова в корень многочлена f(x). Другими словами, каждому автоморфизму S G(К, Р) соответствует корень многочлена f(x) (при выбранном корне θ). Изучим это соответствие поподробнее.

    Пусть θ^’ – произвольный корень многочлена f(x). Так как поле К нормально и θ К, то θ^’ К. определим преобразование S поля К в себя, положив для любого элемента (1) из этого поля

    α^s=c₀+c₁θ^’+…+c_n-1θ’^n-1 (2).

    Так как запись элемента α в виде (1) однозначна, то формула (2) определяет элемент α^s единственным образом.

    Определение преобразования S можно сформулировать следующим образом: если α= g(θ) , где g(x) – многочлен над полем Р, имеющий степень, меньшую n, то α^s=g (θ^’).

    Рассмотрим  теперь над полем Р многочлен  g(x) произвольной степени, и пусть α= g(θ). Разделим (с остатком) многочлен g(x) на многочлен f(x):

    g(x)= f(x)q(x)+r(x)  (3)

    Полагая в этом равенстве x=θ, мы получим, поскольку f(θ)=0, что α= r(θ).

    Так как степень многочлена r(x) меньше n, то отсюда вытекает, что

α^s=r (θ^’).

    С другой стороны, полагая в формуле (3) x=θ^’, мы получим, что g (θ^’)= r(θ^’). Следовательно, α^s=g (θ^’).

    Таким образом, g(θ)^s= g (θ^’) независимо от того, какова степень многочлена g(x).

    Пусть теперь α₁=g₁(θ), α₂=g₂(θ) – произвольные элементы поля К.  Тогда

α₁+α₂= g₁(θ)+g₂(θ), α₁α₂= g₁(θ)g₂(θ) и, следовательно,

(α₁+α₂)^s= g₁(θ^’)+ g₂(θ^’)= α₁^s+α₂^s,

(α₁α₂)^s= g₁(θ^’)g₂(θ^’)= α₁^sα₂^s.

    Таким образом, преобразование S сохраняет сумму и произведение, то есть обладает свойствами (1) § 2. Кроме того, это преобразование, оставляет все элементы поля Р на месте. Поэтому (см. замечание к § 2) преобразование S является автоморфизмом поля К над полем Р, то есть принадлежит группе Галуа G(K,P).

    Тот факт, что преобразование S является автоморфизмом, то есть, кроме свойства (1) § 2, обладает также и свойством взаимной однозначности, можно доказать и не пользуясь замечанием к § 2. Действительно, рассмотрим поле Р(θ^’). Так как θ^’ К, то Р(θ^’) К.

    С другой стороны, степень поля Р(θ^’) над полем Р равна степени многочлена f(x), то есть равна степени поля К. Следовательно, Р(θ^’)=К. Отсюда следует, что наряду с записью (1) любой элемент α поля К имеет однозначную запись вида

    

=с₀^’+c₁^’θ^’+…+c^’_n-1θ^’, (4)

где с₀^’ , c₁^’ ,…, c^’_n-1 Р.

    Определим теперь преобразование S^’ поля К в себя, положив для любого элемента (4) из этого поля =с₀^’+c₁^’θ^’+…+c^’_n-1θ^’.

    Так как S^’S=SS^’=E (из § 2, где S’=S^-1), то преобразование S является, как и утверждалось, взаимно однозначным преобразованием поля К на себя (ибо из α^s=β^s следует, что , то есть что α=β, и для любого элемента α К существует такой элемент β, именно = , что ), то есть является автоморфизмом.

    Построенный автоморфизм S переводит корень θ в корень  θ^’: θ^S =θ’, то есть этот автоморфизм соответствует корню θ^’ в указанном выше смысле. Таким образом, доказано, что для любого корня многочлена f(x) существует в группе Галуа G(K,P) автоморфизм, которому этот корень соответствует. Оказывается, что автоморфизм однозначно определяется соответствующем корнем, то есть, если θ^S=θ^T, то S=T.

    Действительно, если θ^S=θ^T, то , то есть автоморфизм ST^-1 оставляет корень θ на месте и, следовательно, оставляет на месте любое выражение вида

    с₀+c₁θ+…+c_n-1θ^n-1, где с₀ , c₁ ,…, c_n-1

Р,

то есть оставляет на месте любой элемент  поля К. Таким образом, ST^-1=Е и потому S=T.

    Итак, элементы группы Галуа G(K,P) (то есть автоморфизмы поля К над полем Р) находятся во взаимно однозначном соответствии с корнями многочлена f(x), и, следовательно, их число, то есть порядок группы G(K,P), равно числу корней многочлена f(x), то есть равно n (все корни многочлена f(x) различны, так как многочлен неприводим). Тем самым мы доказали теорему.

    Порядок группы Галуа G(K,P) равен степени поля К над полем Р.

    (М.М.  Постников. Теория Галуа)

    § 4. Теорема о сопряженных элементах

    Пусть α – произвольный элемент нормального  поля К. Рассмотрим элементы

           (1)

где S₁=Е, S₂, … ,S_n – все автоморфизмы из группы Галуа G(K,P) поля К над полем Р. При любом автоморфизме поля К над полем Р числа (1) переходит в числа , то есть подвергаются лишь некоторой подстановке. Поэтому все коэффициенты многочлена остаются на месте при любом автоморфизме S, то есть принадлежат полю P.

    Поскольку , многочлен g(x) и минимальный многочлен f(x) элемента имеют общий корень и, следовательно, многочлен g(x) делится на многочлен f(x) (ибо многочлен f(x) неприводим). С другой стороны, мы знаем (см. § 2), что все числа (среди этих чисел, вообще говоря, могут быть одинаковые) сопряжены с числом , то есть являются корнями многочлена f(x). Таким образом, каждый корень многочлена g(x) является корнем многочлена f(x). Пусть

- разложение многочлена g(x) в произведение степеней различных неприводимых многочленов (имеющих старшие коэффициенты, равные единице). Так как многочлен g(x) делится на многочлен f(x) и многочлен f(x) неприводим, то многочлен f(x) должен совпадать с одним из многочленов (пусть старший коэффициент многочлена f(x) равен единице). Пусть для определенности f(x)=p₁(x), так что .

    Так как все корни многочлена g(x) являются корнями многочлена f(x), а ни один из корней многочлена не может быть (в силу неприводимости этих многочленов) корнем многочлена f(x), то многочлены не могут иметь корней, то есть Таким образом,

    Отсюда, в частности, следует, что числа  исчерпывают все числа, сопряженные с числом . Тем самым доказана теорема.

    Элементы поля К тогда и только тогда сопряжены (над полем Р), когда существует автоморфизм поля К над полем Р, переводящий один элемент в другой.

    (М.М.  Постников. Теория Галуа) 

§ 5. Группа Галуа нормального подполя

    Пусть промежуточное поле L является нормальным расширением основного поля P. Тогда для любого элемента L и любого автоморфизма S G(K,P) элемент также принадлежит полю L (ибо он сопряжен с α; см. § 2). Поэтому формула , , определяет некоторое преобразование S^’ поля L в себя. Легко видеть, что преобразование S^’ является автоморфизмом поля L над полем P, то есть элементом группы Галуа G(L,P) поля L над полем P. (Автоморфизмы S и S^’ действуют в поле L одинаково; различие между ними состоит в том, что автоморфизм S определен во всем поле К, а автоморфизм S^' – только в поле L)

    Очевидно, что (ST)^’=S^’T^’ , то есть что соответствие S→S^’  (1) является гомоморфным отображением группы G(K,P) в группу G(L,P). Ядро этого отображения состоит из автоморфизмов S, оставляющих на месте каждый элемент поля L, то есть ядром является группа Галуа G(К,L) поля К над полем L. Так как ядро любого гомоморфизма является нормальным делителем, то можно вывести следующую теорему.

    Теорема: подгруппа группы Галуа G(K,P), соответствующая нормальному промежуточному полю L (то есть группа Галуа G(К,L) поля К над полем L), является нормальным делителем группы  G(K,P).

    Теорема: подполе К(G,Н) нормального поля К, соответствующее нормальному делителю Н группы Галуа G(K,P) поля К над полем Р является нормальным расширением поля Р. Пусть теперь L – промежуточное поле, соответствующее произвольному нормальному делителю Н группы G(K,P), то есть L=K(G,H). Так как для любого автоморфизма и любого автоморфизма S G(K,P) автоморфизм STS^-1 принадлежит Н, то для любого числа

    

то есть .

    Так как Т – произвольный автоморфизм  из Н, то отсюда следует, что  . Таким образом, все элементы,  сопряженные каждому элементу , принадлежат L, то есть L нормально над Р.