Теория Галуа

    Таким образом, в соответствии Галуа нормальным подполям соответствуют нормальные делители, и обратно.

    Теорема: группа Галуа нормального промежуточного поля L над полем Р изоморфна факторгруппе группы Галуа поля К над полем Р по группе Галуа поля К над полем L.

    Рассмотрим  гомоморфизм (1). Пусть G’ – его образ, то есть подгруппа группы G(L,P), состоящая из автоморфизмов вида S’. Согласно теореме о гомоморфизмах (см. гл.1 § 8), гомоморфизм (1) индуцирует изоморфное отображение факторгруппы G(K,P)/ G(К,L) на группу G’. Следовательно, порядок группы G’ индекс равен степени поля L над полем Р, то есть равен порядку группы G(L,P). Таким образом, порядок подгруппы G’ равен порядку всей группы G(L,P), откуда следует, что G’= G(L,P). Тем самым доказано, что отображение (1) эпиморфно. Индуцированный им гомоморфизм является, следовательно, изоморфным отображением факторгруппы G(K,P)/ G(К,L) на группу G(L,P).

    (М.М.  Постников. Теория Галуа) 

§ 6. Группа Галуа композита двух полей

    Пусть нормальное расширение К поля Р является композитом расширений К₁ и К₂. В группе Галуа G(К,Р) подполю К₁ соответствует подгруппа G(К,К₁), а подполю К₂ – подгруппа G(К,К₂). Автоморфизмы из подгруппы G(К,К₁) оставляют на месте все элементы поля К₁, а автоморфизмы из подгруппы G(К, К₂) оставляют на месте все элементы поля К₂. Следовательно, любой автоморфизм из пересечения G(К,К₁)G(К,К₂) оставляет на месте любой элемент вида 

где _1 rK₁, К₂. Но, согласно гл. 1, § 9, элементами вида (1) исчерпываются все элементы композита К (результаты гл. 1, § 9 применимы, так как поля К₁ и К₂ конечны над Р). Следовательно, рассматриваемое пересечение содержит только тождественный автоморфизм. Таким образом, если нормальное расширение К поля Р является композитом расширений К₁ и К₂, то

G(K, K₁)G(K, К₂) = Е. (2)

  Предположим теперь, что поле К₁ нормально над полем Р. Тогда его группа Галуа G(К₁,Р) является гомоморфным образом группы Галуа G(К, Р), причем ядром соответствующего эпиморфизма является группа G (К, К₁) (см. § 6 главы 1). Из формулы (2) непосредственно следует, что этот эпиморфизм на подгруппе G(К, К₂) является мономорфизмом. Другими словами, группа G(К, К₂) изоморфна некоторой подгруппе группы G(К₁, Р).

  Теорема: если нормальное расширение К поля Р является композитом нормального расширения К₁ и (вообще говоря, произвольного) расширения К₂, то группа Галуа G(K, К₂) изоморфна некоторой подгруппе группы G(K₁, Р). 

    (М.М.  Постников. Теория Галуа. Стр  55-56)

§7. Конечные поля.

Пусть а,b – целые числа, m – натуральное число.

Определение 1. Число а сравнимо с числом в по модулю m, если а-b делится на m.

Определение 2. Число а сравнимо с числом в по модулю m, если существует целое число t такое, что а=b+mt.

Определение 3. Число а сравнимо с числом в по модулю m, если числа а и в имеют одинаковые остатки от деления на m, иначе: если существуют целые числа t₁,t₂,r (0≤r <m) такие, что а=mt₁+ r  и b=mt₂+r.

Обозначение:  а≡b(mod m).

      Отношение сравнимости по фиксированному модулю является отношением эквивалентности и порождает разбиение множества целых чисел на классы эквивалентности.

Определение 4. Классом вычетов, порожденным элементом а, по модулю m называется класс эквивалентности [a]_m, состоящий из таких целых чисел b, что а и b имеют одинаковые остатки от деления на m.

      Так как остатков от деления целых  чисел на m может быть ровно m: 0,1,…,m-1, то и классов вычетов по модулю m будет ровно m:

  [0]_m={b є Z| b=mt, t є Z};

  [1]_m={b є Z| b=mt+1, t є Z};

……………………………..

[m-1]_m  ={b є Z| b=mt+(m-1), t є Z}.

      В каждом классе вычетов по модулю m будет бесконечно много целых чисел. Любой представитель из классов вычетов по модулю m называется вычетом по модулю m.

Определение 5. Суммой классов вычетов по модулю m, порожденных элементами а и b называется класс вычетов по модулю m, порожденный суммой элементов а и b. [а]_m+ [b]_m= [a+b]_m.

Определение 6. Произведением классов вычетов по модулю m, порожденных элементами а и в, называется класс вычетов по модулю m, порожденный произведением элементов а и в.   [a]_m[b]_m=[ab]_m.

Предложение 1. Определения 5 и 6 корректны, то есть не зависят от выбора представителей классов вычетов.

Доказательство:

      Рассмотрим  произвольные элементы а₁ и а₂ из класса вычетов [a]_m и элементы b₁ и b₂ из класса вычетов [b]_m. Выясним, будут ли принадлежать суммы элементов а₁+b₁ и а₂+b₂ классу вычетов [a+b]_m.

      По  условию а₁, а₂ [a]_m, следовательно

      а₁

а₂(mod m)         (1)

      Аналогично,

      b₁

b₂(mod m)        (2) 

      Складывая соответственно левые и правые части (1) и (2), мы получаем что а₁+b₁ а₂+b₂ (mod m).

      Таким образом, а₁+b₁, а₂+b₂ [a+b]_m, то есть операция сложение не зависит от выбора элементов класса вычетов.

      Докажем корректность определения 6.

      Выясним, будут ли принадлежать произведения элементов а₁b₁ и а₂b₂ классу вычетов [ab]_m.

      Из (1) и (2) можно сказать, что a₁-a_2m и b₁-b_2m, следовательно               (a₁-a₂)( b₁-b₂)m. Раскрыв скобки можно сказать, что (a₁b₁+a₂b₂-a₁b₂-a₂b₁)m.

      Значит, a₁(b₁-b₂)-a₂(b₁-b₂)m, так как b₁-b_2m. Так как a₁b₁-a₂b_2m (по определению) , то a₁b₁ a₂b₂(mod m). Таким образом а₁b₁, а₂b₂ [ab]_m

      Теорема: О поле классов  вычетов по простому модулю:

        Множество всех классов вычетов по модулю m, где m – простое число, относительно введенных в определениях 5 и 6 бинарных операций сложения и умножения является полем.

Доказательство:

Доказательство  будем вести согласно определению  поля.

1. Операции сложение и умножение, введенные в определениях 5 и 6, замкнуты, так как в результате сложения и умножения двух классов вычетов по модулю m мы вновь получаем класс вычетов по модулю m.
2. Во множестве Z_m выполняется коммутативный закон сложения:                 ( [а]_m,[b]_m є Z_m) [а]_m+[b]_m=[а+b]_m=[b+а]_m=[b]_m+[а]_m.
3. Во множестве Z_m выполняется ассоциативный закон сложения:                  ( [а]_m,[b]_m,[с]_mєZ_m) [а]_m+([b]_m+[с]_m)=[а]_m+[b+с]_m=[а+(b+с)]_m=[а+b+с]_m=  =[(а+b)+с]_m=[а+b]_m+[с]_m=([а]_m+[b]_m)+[с]_m.  
4. Во множестве Z_m выполняется коммутативный закон умножения:              ( [а]_m,[b]_m є Z_m) [а]_m[b]_m=[ab]_m.
5. Во множестве Z_m выполняется ассоциативный закон умножения:               ( [а]_m,[b]_m,[c]_mєZ_m) [а]_m([b]_m[с]_m)=[а]_m[bс]_m=[а(bс)]_m=[аbс]_m=[(аb)с]_m= =[аb]_m[с]_m=([а]_m[b]_m)[с]_m.  
6. Очевидно, роль нуля в данном множестве играет класс вычетов, порожденный нулем. Действительно,( [а]_mєZ_m) [а]_m+[0]_m=[а+0]_m=[а]_m.
7. Роль противоположного элемента к [а]_m, очевидно, играет элемент         

-[а]_m=[m-а]_m. Действительно, 

     [а]_m+[m-а]_m=[а+(m-a)]_m=[a+m-a]_m=[m]_m=[0]_m.

8. Очевидно, роль единицы в данном множестве играет класс вычетов, порожденный единицей. Действительно, ( [а]_m є Z_m) [а]_m [1]_m=[а1]_m=[а]_m.
9. Рассмотрим приведённую систему вычетов по модулю m: x₁,x₂,…,x _(m) и допустим, что HOD(a,m)=1. Тогда система векторов ax₁,ax₂,…,ax _(m) также является приведённой по модулю m. Среди этой системы найдётся такой элемент, что  ax_i 1(mod m). Иначе это можно записать в виде: [a]_m [x_i]_m=[1]_m. Отсюда имеем, что [x_i]_m=[a]_m^-1, то есть для каждого [a]_m [0]_m найдётся обратный элемент.
10. Во множестве Z_m имеет место дистрибутивный закон умножения относительно сложения: ( [а]_m,[b]_m,[с]_mєZ_m) [a]_m([b]_m+[c]_m)= [a]_m[b+c]_m=[a(b+c)]_m=[ab+ac]_m=[ab]_m+[ac]_m=[a]_m[b]_m+[a]_m[c]_m.

Следовательно, Z_m, где m – простое число, поле по определению. 
 

      Отображения, рассмотренные нами в первом параграфе первой главы, могут быть использованы для перенесения некоторой структуры с алгебраической системы на множество без структуры. Например, пусть F –поле, и пусть φ – биекция множества F на множество S. Тогда с помощью отображения φ можно определить на S структуру поля, которая превращает φ в изоморфизм. Подробнее: пусть  s₁,s₂ – элементы множества S, а r₁,r₂ – элементы множества F, однозначно определяемые условиями:

      φ(r₁)=s₁ , φ(r₂)=s₂.

Тогда, определив  сумму s₁+s₂ как φ(r₂+r₂) и произведение s₁s₂  как φ(r₁r₂), обеспечим выполнение всех нужных свойств.

      Полученную  на S структуру можно назвать полевидной структурой, индуцированной отображением φ. При этом множество S обладает всеми свойствами поля F.

Определение 7. Для простого числа р обозначим через F_p множество     {0,1,…,p-1} целых чисел. Пусть отображение φ: Z_p→F_p  определяется условием φ([a]_p)=a для а=0,1,…,р-1. Тогда множество F_p со структурой поля, индуцированной отображением φ, называется конечным полем или полем Галуа порядка р (часто обозначается также символом GF(p)).

  Определение 8. Рассмотрим конечное поле F_p. Простое число р называется порядком поля F_p, если для каждого элемента а поля F_p  выполняется равенство pа=0.

Обозначение: |F_p|=p.

Примеры: 1) Рассмотрим поле F₂. Его порядок равен 2, так как

                                    0_·2=0,

                                    1_·2=0.

                  2) Порядок поля F₅ равен 5.

                  3) Порядок поля F₁₁ равен 11. 

      Отображение φ: Z_p→F_p является изоморфизмом, поэтому

      φ([a]_p+[b]_p)= φ([a]_p)+φ([b]_p),

      φ ([a]_p[b]_p)= φ([a]_p)φ([b]_p).

      Нулем конечного поля F_p является 0, единицей является 1, и его структура совпадает со структурой поля Z_p. Поэтому при вычислениях с элементами поля F_p применяется обычная арифметика целых чисел с приведением по модулю р.

Примеры: 1) Рассмотрим простейшее конечное поле порядка 2: F₂. Покажем применение обычной арифметики целых чисел с приведением по модулю 2 при вычислениях с элементами поля F₂={0,1}.

  Сложение:                                Умножение:

                 0+0=0                                               00=0

   1+0=0                                               10=0

   0+1=1                                               01=0

   1+1=0                                               11=1

Запишем таблицы  Кэли данных операций:

+	0	1
0	0	1
1	1	0

*	0	1
0	0	0
1	0	1