Теория Галуа

 

*	0	1	2	3	4
0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4
2	0	2	4	1	3
3	0	3	1	4	2
4	0	4	3	2	1

2) Составим таблицы  Кэли бинарных операций сложение  и умножение для элементов поля F ={0,1,2,3,4}:

+	0	1	2	3	4
0	0	1	2	3	4
1	1	2	3	4	0
2	2	3	4	0	1
3	3	4	0	1	2
4	4	0	1	2	3

 
 

    
 
 
 

Предложение.

      Порядком  конечного поля является простое число.

 Доказательство:

      Поскольку поле F_p по определению содержит хотя бы один ненулевой элемент, то его порядок р не меньше двух.

      Пусть р – составное число, то есть р=mk, где k,m є Z, 1<k,m<p. Тогда для любого a є F_p выполняются равенства

      0=pa=(km)a=(ka)(ma)=0.

      Следовательно, либо ka=0, либо ma=0, а это противоречит определению порядка поля. Получили противоречие с тем, что р – составное число. Следовательно р – простое число.

(Лидл Р. Конечные поля.) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

§ 8. Основные свойства конечных полей,                                                                        связанные с числом их элементов

1. Пусть F_q – конечное поле, содержащее подполе H из h элементов. Тогда F_q состоит из h^m элементов, где m=[F:H].

  Доказательство:

Поле  F_q можно рассматривать как векторное пространство над полем H. В силу конечности F_q это пространство конечномерно. Если m=[F:H], то F_q имеет базис над полем H, состоящий из m элементов, скажем b_1,b₂,…,b_m. Таким образом, каждый элемент поля F_q может быть однозначно представлен в виде линейной комбинации а₁b₁+а₂b₂ +…+а_mb_m, где а₁,а₂,…,а_m є H. Так как каждый элемент а_i, где i=1,2,…,m может принимать q значений (по условию H состоит из q элементов), то поле F_q состоит в точности из h^m  элементов.

    Определение: Пусть R – произвольное поле. Если существует такое натуральное число n, что для каждого r выполняется равенство nr=0, то наименьшее из таких чисел n (скажем, n₀) называется характеристикой поля R, а само R называется кольцом (положительной) характеристики n₀. Если же таких натуральных чисел n не существует, то R называется кольцом характеристики 0.

    Предложение: если кольцо R c единицей е и без делителей нуля имеет положительную характеристику n, то n – простое число.

    Доказательство: поскольку кольцо R содержит ненулевой элемент, характеристика n этого кольца  больше или равна 2. Если n – составное число, то n=km, где k, m, 1, m Тогда 0=ne=(km)e=(ke)(me), так что либо ke=0, либо me=0 (поскольку в R нет делителей 0). Значит, либо mr=(me)r=0 для всех r, что противоречит определению характеристики n.

2. Характеристикой конечного поля является простое число.

    Доказательство:  учитывая предложение, достаточно показать, что любое конечное поле F имеет положительную характеристику. Рассмотрим в поле F элементы e, 2e, 3e, …, кратные единице e. Так как F содержит конечное число различных элементов, то существуют натуральные числа k и m, 1, такие, что ke=me, так что (m-k)e=0, и потому F имеет положительную характеристику. 

    Определение: поле, не содержащее собственных полей называется простым. (Например, поле рациональных чисел).

3. Пусть F_p– конечное поле. Тогда оно состоит из qⁿ элементов, где простое число q является характеристикой поля F_p, а натуральное число n является степенью расширения поля F_p над его простым подполем.

Доказательство:

Так как  поле F_p конечно, то его характеристика некоторое простое число q. Поэтому простое подполе К поля F_p изоморфно F_p, (согласно теореме, о том, что простое подполе поля F изоморфно либо полю F_p при некотором простом числе p, либо полю Q, и в соответствии с этим характеристика поля F является либо р, либо 0) и, значит, содержит q элементов. Если степень расширения поля  F_p над его подполем К равна n, то по первому свойству поле F состоит из qⁿ  элементов.

4. Если F_q – конечное поле, состоящее из q элементов, то каждый элемент а из поля F_q удовлетворяет равенству а^q=а.

Доказательство:

Для а=0 равенство а^q=а тривиально. Что же касается ненулевых элементов поля F_q, то они образуют мультипликативную группу порядка q-1, так что для каждого ненулевого элемента а поля F_q выполняется равенство а^q-1=1, умножение которого на а приводит к требуемому результату.

5. Если F_q – конечное поле из q элементов, и К – подполе поля F_q, то  многочлен х^q-х из К[x] разлагается следующим образом в F_q[x]:

 

Доказательство:

Многочлен х^q-х степени q имеет не более q корней в поле F_q. В силу свойства 3 такими корнями являются все элементы поля F_q. Таким образом, многочлен х^q–х разлагается в поле F_q указанным в формулировке образом.

6. Пусть F_p – конечное поле характеристики р. Тогда для любых элементов а и в из поля Р_p и любого натурального числа n имеют место следующие равенства:  

  

                                                     
 

Доказательство:

         Доказательство проведем методом  математической индукции:

1. По  формуле бинома:

                          (а+в)^p =а^p+(^p₁)а^p-1в+…+(^p_p-1)ав^p-1+в^p=а^p+в^p.

Пусть k є N, 1≤k≤р-1, тогда

                          

Так как р – простое число, то на р в числителе сократить нельзя, поэтому биномиальный коэффициент  представим в виде: 

   Так как р – порядок поля F,

 

Поэтому 

2. Предположим,  что для некоторого к є   N, имеет место равенство:

                                                         

3. Докажем,  что при этом имеет место  следующее равенство: 
 
 

Аналогично  доказывается второе тождество.

(Лидл Р. Конечные поля.) 

§ 9. Существование и единственность конечных полей. Критерий конечного подполя

Теорема 1. О существовании  и единственности конечных полей.

                     Для каждого простого числа р и натурального числа n существует конечное поле из рⁿ элементов. Любое конечное поле из q=рⁿ  элементов изоморфно полю разложения многочлена х^q-х над полем F_q.

Доказательство: Существование:

      Для q=pⁿ рассмотрим многочлен x^q-x из  F_q[x], и пусть F будет его полем разложения над F_q. Указанный многочлен имеет q различных корней в поле F, так как его производная является постоянным многочленом qx^q-1-1=-1≠0 из F_q[x] и в силу этого не может иметь с х^q-х общих корней.

      Положим

                                  S={a F| a^q-a=0}

      Тогда S является подполем поля F, так как:

1. S содержит 0 и 1;
2. если а,b S, то согласно шестому свойству предыдущего параграфа

(а-b)^q=а^q-b^q=а-b,

а значит, а-b S.

          3) для а,b S, b≠0, имеем

(аb^-1)^q=а^qb^-q=аb^-1,

следовательно аb^-1 S.

      С другой стороны, многочлен х^q–х должен вполне разлагаться в S, так как S содержит все его корни. Таким образом, S=F, а поскольку S состоит из q элементов, то F является конечным полем из q элементов.

      Единственность:

      Пусть F_q – конечное поле из q=рⁿ элементов. Тогда F_q имеет конечную характеристику р и содержит в качестве подполя поле F_p. Из свойства 3 предыдущего параграфа следует, что F_q является полем разложения многочлена х^q-х над полем F_p. Требуемый результат вытекает из единственности с точностью до изоморфизма поля разложения.

    Доказанная  в данной теореме единственность позволяет говорить о вполне определенном конечном поле заданного порядка  q, то есть о поле Галуа из q элементов. Будем обозначать его через F_q, где под q понимается степень некоторого простого числа р, являющегося характеристикой поля F_q.

      Теорема 2. Критерий подполя.

      Пусть F_q – конечное поле из q=рⁿ  элементов (р – простое число). Тогда каждое подполе поля F_q имеет порядок р^m, где m является положительным делителем числа n. Обратно, если m положительный делитель числа n, то существует ровно одно подполе поля F_q из р^m  элементов.

Доказательство:

      Любое подполе К поля F_q должно иметь порядок р^m, где m – натуральное число, не превосходящее n. По свойству 1. §8 следует, что число q=pⁿ должно быть степенью числа p^m, так что m обязательно делит число n.

      Обратно, если m – положительный делитель числа n, то р^m-1 делит   рⁿ-1, поэтому многочлен х^pm-1-1 делит многочлен x^pn-1-1 в F_q. Следовательно, многочлен х^pm-х делит многочлен х^pn-х=х^q-х. Таким образом, каждый корень многочлена х^pm-х является корнем многочлена х^q-х и, значит, принадлежит полю F_q.

      Поэтому поле F_q должно содержать в качестве подполя поле разложения многочлена х^pm-х над полем F_q, а из доказательства теоремы 1 следует, что такое поле разложения имеет порядок р^m. Если бы поле  F  содержало два различных подполя порядка р , то эти подполя содержали бы в совокупности больше, чем р^m корней многочлена х^pm-х в поле F_q, а это невозможно.