Уравнения, выражения, неравенства

2. В любой части уравнения можно привести подобные слагаемые.

3. Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, заменив его знак на противоположный.

4. К обеим частям уравнения можно прибавить одно и то же выражение.

5. Из обеих частей уравнения можно вычесть одно и то же выражение.

6. Обе части уравнения можно умножать или делить на одно и то же число, отличное от нуля.

      Уравнения, которые являются результатом  этих операций, являются эквивалентными  начальному уравнению. Однако для  свойств 4 и 5 существует ограничение: в случае прибавления к обеим  частям уравнения одного и  того же выражения (или в случае  вычитания из обеих частей  уравнения одного и того же  выражения), содержащего неизвестное  и теряющего смысл при неизвестном, принимающем значения корней  данного уравнения, получится уравнение, неэквивалентное исходному (начальному). Но если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же выражение (или из обеих частей уравнения вычесть одно и то же выражение), содержащее неизвестное и теряющее смысл лишь при значениях неизвестного, не являющихся корнями данного уравнения, то получится уравнение, эквивалентное начальному.

     Умножение  или деление обеих частей уравнения  на выражение, содержащее неизвестное, может привести, соответственно, к  появлению посторонних корней  или к потере корней.

      Возведение  обеих частей уравнения в квадрат  может привести к появлению  посторонних корней.

2.1 Линейные уравнения

Понятие многочлена.

       Многочленом называется сумма одночленов.  
       Одночлены, из которых составлен многочлен, называют членами многочлена. Так членами многочлена4x2y - 5xy + 3x -1 являются 4x2y, -5xy, 3x и -1 .  
        Если многочлен состоит из двух членов, то его называют двучленом, если из трех - трехчленом . Одночлен считают многочленом, состоящим из одного члена.  
         В многочлене 7x3y2 - 12 + 4x2y - 2y2x3 + 6 члены 7x3y2 и - 2y2x3 являются подобными слагаемыми, так как имеют одну и ту же буквенную часть. Подобными являются и слагаемые -12 и 6, не имеющие буквенной части. Подобные слагаемые в многочлене называют подобными членами многочлена, а приведение подобных слагаемых в многочлене - приведением подобных членов многочлена.  
         Приведем для примера подобные члены в многочлене 7x3y2 - 12 + 4x2y - 2y2x3 + 6 = 5x3y2 + 4x2y - 6 .  
         Многочлен называется многочленом стандартного вида, если каждый его член является одночленом стандартного вида и этот многочлен не содержит подобных слагаемых.  
          Любой многочлен можно привести к стандартному виду. Для этого нужно каждый его член представить в стандартном виде и привести подобные слагаемые.  
 
         Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней входящих в него одночленов.  
          Степенью произвольного многочлена называют степень тождественно равного ему многочлена стандартного вида.  
          Для примера найдем степень многочлена 

8x4y2 - 12 + 4x2y - 3y2x4 + 6 - 5y2x4 :  
8x4y2 - 12 + 4x2y - 3y2x4 + 6 - 5y2x4 = 4x2y -6.  
           Заметим, что в исходный многочлен входят одночлены шестой степени, но при приведении подобных членов все они сократились, и получился многочлен третьей степени, значит и исходный многочлен имеет степень 3. 

          Сложение и вычитание многочленов

Сложим многочлены 5y2 + 2y - 3 и 7y2 - 3y + 7.  
          Для этого составим их сумму, затем раскроем скобки и приведем подобные члены:  
( 5y2 + 2y - 3 ) + ( 7y2 - 3y + 7 ) = 5y2 + 2y - 3 + 7y2 - 3y + 7 = 12y2 - y + 4  
          Сумму многочленов 5y2 + 2y - 3 и 7y2 - 3y + 7 мы представили в виде многочлена 12y2 - y + 4. Вообще сумму любых многочленов можно представить и виде многочлена.  
           Вычтем из многочлена 8y2 + 5y + 3 многочлен 5y2 - 3y + 7.  
           Для этого составим их разность, затем раскроем скобки и приведем подобные члены:  
( 8y2 + 5y + 3 ) - ( 5y2 - 3y + 7 ) = 8y2 + 5y + 3 - 5y2 + 3y - 7 = 3y2 + 8y - 4  
              Разность многочленов 8y2 + 5y + 3 и 5y2 - 3y + 7 мы представили в виде многочлена 3y2 + 8y - 4. Вообщеразность любых многочленов можно представить и виде многочлена.  
        При сложении и вычитании многочленов снова получается многочлен.  
        Иногда требуется решить обратную задачу- представить многочлен в виде суммы или разности многочленов. При этом пользуются правилом:  
если перед скобками ставится знак «плюс », то члены, которые заключают в скобки, записывают с теми же знаками;  
если перед скобками ставится знак «минус », то члены, которые заключают в скобки, записывают с противоположными знаками. [14] 
 
Например  
4x + 3y - 2 = 4x + ( 3y - 2 )  
4x + 3y - 2 = 4x - ( -3y + 2 ) 

     

           Линейное уравнение — это алгебраическое уравнение, у которого полная степень составляющих его многочленов равна 1. Линейное уравнение можно представить:

• в общей форме: 

• в канонической форме: 

Линейное уравнение одной переменной

Линейное уравнение от одной переменной можно привести к виду:

.

Количество решений зависит от параметров a и b.

Если  , то уравнение имеет бесконечное множество решений, поскольку 

Если  , то уравнение не имеет решений, поскольку  . Если  , то уравнение имеет единственное решение (рис.1)  

Линейное уравнение двух переменных

Геометрическое место точек линейного уравнения от двух переменных вида: 
y = ax + b.

Линейное уравнение двух переменных можно представить

• в общей форме: 

• в канонической форме: 

• в форме линейной функции:  , где 

Решением или корнями такого уравнения называют такую пару значений переменных  , которая обращает его в тождество. Таких решений (корней) линейное уравнение с двумя переменными имеет бесконечное множество. Геометрической моделью (графиком) такого уравнения является прямая  .[1]

Решение линейных уравнений

Уравнение вида ax=b - линейное, где a и b - числа, а x - неизвестное.

Для того, чтобы найти решение линейного уравнения, необходимо разделить обе части уравнения на коэффициент a - числовой коэффициент возле переменной x. (рис.2)

      Линейное уравнение может быть задано неявно. В этом случае необходимо раскрыть скобки, умножив многочлен на одночлен, применить действия над уравнениями, в результате которых получим уравнение равносильное данному, привести подобные.

       Если изначально задано уравнение, содержащее переменную в знаменателе, то перед решением необходимо указать область определения, исключить из ответа корни, при которых выражение не имеет смысла. [14]

 

 

График линейной функции

Линейная функция задается уравнением  . График линейной функций представляет собой прямую. Для того, чтобы построить прямую достаточно знать две точки. [4]

Пример 1

Построить график функции  . Найдем две точки. В качестве одной из точек выгодно выбрать ноль.

Если  , то 

Берем еще какую-нибудь точку, например, 1.

Если  , то 

При оформлении заданий координаты точек обычно сводятся в таблицу:

  
А сами значения рассчитываются устно или на черновике, калькуляторе.

Две точки найдены, выполним чертеж: (рис.3)

 
При оформлении чертежа всегда подписываем графики. (рис.4)

2.2 Кубические уравнения

Куби́ческое уравне́ние — алгебраическое уравнение третьей степени, общий вид которого имеет вид:

Для графического анализа кубического уравнения в декартовой системе координат используется кубическая парабола. [5]

Кубическое уравнение общего вида может быть приведено к каноническому виду при 

где

Кубическая парабола

Кубическая парабола задается функцией  . Вот знакомый со школы чертеж: (рис.5)

 

2.3 Квадратные уравнения

      Квадратное уравнение — уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где a, b, c — некоторые числа (a ≠ 0), x — неизвестное.

Числа   называются коэффициентами квадратного уравнения.

•  называется первым коэффициентом;

•  называется вторым коэффициентом;

•  — свободным членом.

      Приведенное квадратное уравнение — уравнение вида  , первый коэффициент которого равен единице ( ).

       Если в квадратном  уравнении коэффициенты   и   не равны нулю, то уравнение называется полным квадратным уравнением. Например, уравнение  . Если один из коэффициентов   или   равен нулю или оба коэффициента равны нулю, то квадратное уравнение называется неполным. Например,  .[13]

Значение неизвестного  , при котором квадратное уравнение обращается в верное числовое равенство, называется корнем этого уравнения. Например, значение   является корнем квадратного уравнения  , потому что   или   — это верное числовое равенство. [6]

       Решить квадратное уравнение — это значит найти множество его корней.

       Решение неполных  квадратных  уравнений

ax2 + bx = 0, a≠0, b≠0

        Пусть неполное  квадратное уравнение имеет вид  , где a ≠ 0; b≠ 0. В левой части этого уравнения есть общий множитель  .

1. Вынесем общий множитель   за скобки.

         Мы получим  . Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому получаем   или  . Таким образом, данное уравнение эквивалентно двум уравнениям:

    2. Решаем получившуюся  систему уравнений.

    Решив эту систему, мы  получим   и  . Следовательно, данное квадратное уравнение имеет два корня   и  .

Пример 1.

      Разложим левую  часть уравнения на множители  и найдем корни:

Ответ: 0; 4.

ax2 + c = 0, a≠0, с≠0

      Для решения данного  неполного квадратного уравнения выразим  .

      При решении последнего  уравнения возможны два случая:

если  , то получаем два корня: 

если  , то уравнение во множестве действительных числе не имеет решений.

Пример 2.

    Таким образом, данное  квадратное уравнение имеет два  корня   и 

ax2 = 0, a≠0

      Разделим обе части  уравнения на  , мы получим  ,  . Таким образом, данное квадратное уравнение имеет один корень  . В этому случае говорят, что квадратное уравнение имеет двукратный корень  .

      Решение неполного  квадратного уравнения

Найдем решение полного квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0.

      Решение с помощью  дискриминанта

Дискриминантом квадратного уравнения   называется выражение b2 — 4ac.

       При решении  уравнения с помощью дискриминанта  возможны три случая:

1. D > 0. Тогда корни уравнения равны:

2. D = 0. В данном случае решение даёт два двукратных корня: 

3. D < 0. В этом случае уравнение не имеет решения.

      Теорема Виета

      Теорема Виета — сумма корней приведенного квадратного уравнения x2 + px + q = 0 равна -p, а произведение корней равно q.

      Обратная теорема — если сумма двух чисел x1 и x2 равна p, а произведение этих числе равно q, то числа x1 и x2являются корнями приведенного квадратного уравнения x2 + px + q = 0.

      Разложение квадратного  трехчлена на множители

Квадратный трехчлен — многочлен вида ax2 + bx + c = 0, где x — переменная, a,b,c — некоторые числа. [7]

     Значения переменной  , которые обращают квадратный трехчлен в нуль, называются корнями трехчлена. Следовательно, корни трехчлена — это корни квадратного уравнения  .

     Теорема. Если квадратное  уравнение   имеет корни  , то его можно записать в виде: x2 + bx + c = a (x — x1)(x — x2).

Пример 3.

Разложим на множители квадратный трехчлен: 

Сначала решим квадратное уравнение:

Получим:   и  .

      Вывод: Появление компьютеров внесло свои корректировки в способы решения уравнений и значительно их облегчило. Знание самых главных способов решения уравнений необходимо знать. Использование уравнений в повседневной жизни – редкость. Они нашли свое применение во многих отраслях хозяйства и практически во всех новейших технологиях. В данной работе были представлены далеко не все, способы решения уравнений и даже не все их виды, а только самые основные.