Цепи Маркова

Анализ таблицы 3.12 показал, что при сохранении текущей ситуации на протяжении семи лет произойдет ухудшение качественной успеваемости - вероятность сохранения низкой доли неудовлетворительных оценок на первом курсе составляет 0,56. В тоже время вероятность сохранения высокого уровня неудовлетворительных оценок возрастает с 0 до 0,09.

Полученная на пятнадцатом  шаге матрица, элементы которой уже  не подвержены изменениям - это предельное состояние матрицы переходных вероятностей. Для этой матрицы характерно, что  вновь полученные вероятности перехода из одного состояния в другое становятся независимы от исходного начального состояния. Это означает независимость  последующих событий от предшествующих через я итераций. То есть элементы полученной матрицы стационарны, что  дает основание для предсказания поведения изучаемой системы  в будущем.

Чтобы узнать время совершения события t_ij - время появления состояния Sj после состояния необходимо убедиться в независимости появления событий.

Для этого можно воспользоваться  корреляционно-регрессионным методом. Задачи корреляционного анализа  сводятся к измерению тесноты  связи между варьирующими признаками, определению неизвестных причинных  связей (причинный характер которых  должен быть выяснен с помощью  теоретического анализа) и оценки факторов, оказывающих наибольшее влияние  на результативный признак.

При линейной форме уравнения  применяется линейный коэффициент  корреляции:

                                            ,                                    (3.1)

где n- число наблюдений.

Коэффициент корреляции принимает значения в интервале: -1< r < 1.

 

 

 

Оценка линейного коэффициента корреляции может быть произведена  по таблице 3.13

Таблица 3.13-Укрупненные критерии оценки тесноты связи

Величина коэффициента корреляции	Характер связи
до | ±0,3|	Практически отсутствует
|±0,3|-|±0,5|	Слабая
|±0,5|- |±0,7|	Умеренная
|±0,7|-| ±1,0|	Сильная

 

Отрицательные значения указывают  на обратную связь, положительные - на прямую. При r = 0 линейная связь отсутствует. Чем ближе коэффициент корреляции по абсолютной величине к единице, тем теснее связь между признаками. И, наконец, при r = ±1 - связь функциональная.

По направлению выделяют связь прямую и обратную. При прямой связи с увеличением или уменьшением  значений факторного признака происходит увеличение или уменьшение значений результативного. В случае обратной связи значения результативного  признака изменяются под воздействием факторного, но в противоположном  направлении по сравнению с изменением факторного признака.

По аналитическому выражению  выделяют связи прямолинейные и  криволинейные. Если статистическая связь  между явлениями может быть приближенно  выражена уравнением прямой линии, то ее называют линейной связью; если же она  выражается уравнением какой-либо кривой линии (параболы, гиперболы, показательной  и др.), то такую связь называют криволинейной.

Квадрат линейного коэффициента корреляции г² называется линейным коэффициентом детерминации. Из определения коэффициента детерминации очевидно, что его числовое значение всегда заключено в пределах от 0 до 1, то есть 0 ≤ г² ≤1. Степень тесноты связи полностью соответствует теоретическому корреляционному отношению, которое является более универсальным показателем тесноты связи по сравнению с линейным коэффициентом корреляции.

Для того чтобы выявить  взаимосвязь между результатами предыдущей и последующими сессиями, используя данные таблицы 3.2, рассчитаем коэффициенты корреляции. Результаты расчета сведем в таблицу 3.14

Таблица 3.14 – Коэффициенты корреляции между результатами сессий

 

Сессия	1	2	3	4	5	6
1	1	0,465	0,557	0,088	0,229	0,395
2	0,465	1	0,777	0,488	-0,092	0,315
3	0,557	0,777	1	0,267	0,114	0,412
4	0,088	0,488	0,267	1	0,491	0,629
5	0,229	-0,092	0,114	0,491	1	0,57
6	0,395	0,315	0,412	0,629	0,57	1

 

Анализ таблицы 3.14 показал, что между результатами 2 и 3 сессиями наблюдается высокая положительная  связь, то есть рост доли неудовлетворительных оценок во второй сессии неизбежно  повлечет за собой рост неудовлетворительных оценок в следующей сессии. Данный факт обусловлен структурой учебного графика и особенностью организации  учебного процесса.

Рассматривая учебный  процесс, как цепь событий, можно  отметить, что практически отсутствует  связь между результатами третьей  и четвертой сессиями. При этом для последующих сессий наблюдается  умеренная связь.

Кроме того практически отсутствует  связь между первой и шестой сессиями. То есть уровень неудовлетворительных оценок в первую сессию практически  не определяет результаты шестой сессии.

На основании данных, представленных в таблице 3.14, можно утверждать, что  исследуемый процесс изменения  уровня неудовлетворительных оценок для  первого года обучения можно считать  стационарным. Следовательно, можно  рассчитать время появления каждого  уровня неудовлетворительных оценок во второй сессии.

Стабилизация элементов  матрицы переходных вероятностей произошла  на пятнадцатом шаге (таблица 3.12).

На основании вышесказанного можно сделать следующие выводы:

- вероятность появления высокого уровня неудовлетворительных оценок равна 0,09 или один раз в 11 лет;

- вероятность появления среднего уровня неудовлетворительных оценок равна 0,36 или один раз в 3 года;

- вероятность появления низкого уровня неудовлетворительных оценок равна 0,56 или один раз в 2 года.

Аналогично рассчитаем время  появления каждого уровня неудовлетворительных оценок в шестой сессии в зависимости  от результатов первой сессии. Из таблицы 3.14 видно, что исследуемый процесс  изменения уровня неудовлетворительных оценок обладает можно считать стационарным (коэффициент корреляции равен 0,395). На основании данных таблицы 3.11 рассчитаем предельное состоянии матрицы переходных вероятностей. Проведенные расчеты  показали, что стабилизация элементов  матрицы переходных вероятностей произошла  на девятом шаге (таблица 3.15).

Таблица 3.15- Расчет предельного  состояния матрицы переходов 1-6 сессия

Шаг прогноза	От состояния	К состоянию			Шаг прогноза	К состоянию
		B	C	H		В	С	H
2	В	0,35	0,65	0	3	0,305	0,695	0
	С	0,26	0,74	0		0,278	0,722	0
	Н	0,15	0,7875	0,0625		0,2325	0,7519	0,0156
4	В	0,2915	0,7085	0	5	0,2875	0,7126	0
	С	0,2834	0,7166	0		0,2850	0,7150	0
	H	0,2666	0,7295	0,0039		0,2792	0,7198	0,0010
6	B	0,2862	0,7138	0	7	0,2859	0,7141	0
	C	0,2855	0,7145	0		0,2857	0,7143	0
	H	0,2836	0,7162	0,0002		0,2850	0,7149	0,0001
8	B	0,2858	0,7142	0	9	0,2857	0,7143	0
	C	0,2857	0,7143	0		0,2857	0,7143	0
	H	0,2855	0,7145	0		0,2856	0,7144	0

 

Анализ таблицы 3.15 показал, что при сохранении текущей ситуации уже на третьем году произойдет ухудшение качественной успеваемости - вероятность сохранения низкой доли неудовлетворительных оценок стремиться к нулю. В тоже время вероятность сохранения высокого уровня неудовлетворительных оценок падает с 0,5 до 0,29.

Таким образом, уже через  четыре года успеваемость студентов  после шестого семестра с вероятностью 0,71оказывается на стабильном среднем  уровне.

На основании проведенных  расчетов можно сделать следующие  выводы:

- вероятность появления высокого уровня неудовлетворительных оценок равна 0,29 или один раз в 4 года;

- вероятность появления среднего уровня неудовлетворительных оценок равна 0,71 или один раз в 2 года;

- вероятность появления низкого уровня неудовлетворительных оценок стремится к нулю.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задачи.

№1

Теория для  решения задачи:

Процессы, у которых интенсивности  переходов λ_ij существуют и конечны для любых i,j. Эквивалентная запись этого требования   удовлетворяют следующим условиям:

     (2.9)  

Для Марковского процесса с конечным числом состояний при  выполнении условий (2.9) справедливы  дифференциальные уравнения:

  

 

 

Следствие

          (2.10) 

Начальные данные для систем уравнений задаются равенствами:

     

 

Дано:

Некто купил радиоприёмник с  двумя запасными предохранителями. В процессе работы приёмника используется один предохранитель, когда он перегорает  его заменяют на новый. Вероятность того, что предохранитель сгорит в промежутке времени  равна  при  час^-1. Найти вероятность того, что этих предохранителей не хватит на 400 часов работы?

Решение:

Для упрощения  решения введем состояния рассматриваемой системы:

0 – все  предохранители исправны;

1 – один  предохранитель сгорел;

2 – и  3 – сгорели два и три предохранители.

По условию задачи интенсивность  перехода из состояния  в равна 0,01 час^-1 при i = 0,1,2, т.е.  . Требуется найти вероятность того, что все предохранители сгорят менее чем за 400 часов работы, т.е. надо найти  . Для этого сначала нарисуем граф переходов рассматриваемой системы (рис. 1):

Рисунок 1

Затем по этому графу составим систему  дифференциальных уравнений вида:

Т.к. в начальный момент все предохранители целые, т. е система, находится в состоянии 0, то для системы уравнений получаем следующие начальные данные:  

Решая первое уравнение, получаем . Подставляя это решение во второе уравнение и решая, его  получаем  , затем, подставляя в третье и четвертое, находим:

Из последней формулы находим: .

 

 

№2

Теория для  решения задачи:

Для стационарных потоков:

            (2.12)

такой поток называется простейшим, или пуассоновским с параметром λ;

λ также называют интенсивностью потока.

Пусть x(t) – случайная  величина, равная числу наступления  события за время t. Её математическое ожидание и дисперсия даются равенствами:

                (2.13)

т.е. x(t) – случайная величина, подчиняющаяся распределению Пуассона с параметром λt.

Рассмотрим теперь время  между наступлением соседних событий  в простейшем потоке с параметром λ. Обозначим эту случайную величину h. Для функции распределения и плотности этой величины справедливы равенствами:

Другими словами, h подчиняется  экспоненциальному распределению  с параметром λ. Заметим, что для математического ожидания и дисперсии справедливы формулы:

  

Поток, образованный объединением двух простейших независимых потоков с параметрами λ1 и λ2, также является простейшим с параметром (λ1+2).

 

 

Дано:

В микрорайоне два таксофона. Поток жителей, идущих к ним можно  считать простейшим с показателями λ = 0,2 и λ = 0,3 (час^–1). Первый таксофон сломался, и все жители стали ходить для разговора ко второму таксофону. Найти среднее время между двумя приходами к этому таксофону?

Решение. Интенсивность нового потока равна 0,2+0,3=0,5. Среднее время между приходами – это мат. ожидание случайной величины h, т.е. оно равно часа.

 

 

№3

Дано:

Имеется две партии станций Wi-Fi по 10 и 9 штук, при этом в каждой партии имеется одно бракованное изделие. Взятое наудачу из первой партии устройство, переложено во вторую. После этого выбирается на удачу устройство из второй партии.   
Найти вероятность извлечения бракованного изделия из второй партии? 
 
Решение: 
Найдем вероятность события А, которое заключается в том, изделие из второй партии бракованное.  
Предположим что В₁-из первой партии взято бракованное изделие.  
В₂- из первой партии взято не бракованное изделие.