Число, як основне поняття математики

file:///C:/109D8F9E/file1374.htm

Attachment: Attachment 
Attachment: Attachment 
Attachment: Attachment 

Введення

 

Число розуміється і приймається (багатьма) античними мислителями як перший сутність, що визначає всі різноманітні внутрікосміческіе зв'язку світу, заснованого на мірі і числі, розмірного (симетричного) і гармонічного. Яким же мислителям властивий такий погляд? Серед грецьких мислителів насамперед піфагорійці, а слідом за ними й академіки звертали особливу увагу на роль числа в пізнанні й конституюванні світу: «Числу всі речі подібні», - стверджує Піфагор. Не слід, однак, розуміти це твердження так, як тлумачить його Аристотель, а саме, що всі речі складаються з числа, оскільки число припустиме лише мислити, але не можна шукати серед речей. Як пояснює освічена Теано, «і багато елліни, як мені відомо, думають, ніби Піфагор говорив, що все народжується з числа. Але це вчення викликає подив: яким чином те, що навіть не існує, мислиться породжує? Між тим, він говорив, що все виникає не з числа, а згідно з числом, оскільки в числі - перший порядок, за причетністю якому і в зчисленому речах встановлюється щось перше, друге і т. д. » Таким чином, число виступає як принцип пізнання і породження, бо дозволяє щось розрізняти, мислити як певне, вносити межу в світ і думка. Тому число - перше з сущого, чисте буття, - як таке воно є щось божественне: «... Природа числа, - говорить Філолай, - пізнавальна, предводітельна і учительна для всіх у всьому незрозумілому і невідомому. У самому справі, нікому не була б зрозуміла жодна з речей - ні в їх відношенні до самих себе, ні в їх відношенні до іншого, якщо б не було числа і його сутності ». Число є чисте ідеальне буття, перший образ потворного Блага і перший прообраз всього існуючого. Тому число - найбільш достовірне і дійсне, перше у всій ієрархії сущого, початок космосу.

 

Число відіграє провідну роль і в так званому неписаними, або езотеричному, вченні Платона, незафіксованому в текстах самого Платона і дійшов до нас лише в реконструйованому вигляді з окремих свідчень його учнів і послідовників. Згідно з цим вченням, сліди якого ми знаходимо в Аристотеля, його найближчого учня Теофраста і пізньоантичних неоплатоніків, в основі всього лежить одиниця - початок тотожності, принцип форми і невизначена двійця - принцип інакшості, або матерії, якими і породжується вся ієрархія сущого - ейдоси і числа , душі і геометричні об'єкти, фізичні тіла. Принцип числа виявляється тим підгрунтям, на якому спочиває (пізніша) античне світогляд з його загостреним переживанням буття, присутнього в космосі, але не змішаного з ним.

 

1.      Число, як основне поняття математики

 

Число є одним з основних понять математики. Поняття числа розвивалося в тісному зв'язку з вивченням величин; цей зв'язок зберігається і тепер. У всіх розділах сучасної математики доводиться розглядати різні величини і користуватися числами. Існує велика кількість визначень поняття «число». Перше наукове визначення числа дав Евклід у своїх «Початки», яке він, очевидно, успадкував від свого співвітчизника Евдокса Книдской (близько 408 - близько 355 рр.. До н. Е..): «Одиниця є те, відповідно до чого кожна з існуючих речей називається одній. Число є безліч, складене з одиниць ». Так визначав поняття числа і російський математик Магніцький у своїй «Арифметиці» (1703 р.). Ще раніше Евкліда Аристотель дав таке визначення: «Число є безліч, яке вимірюється за допомогою одиниць». Зі слів грецького філософа Ямвліха, ще Фалес Мілетський - родоначальник грецької стихійно-матеріалістичної філософії - вчив, що «число є система одиниць». Це визначення було відомо і Піфагору. У своїй «Загальної арифметики» (1707 р) великий англійський фізик, механік, астроном і математик Ісаак Ньютон пише: «Під числом ми подра-зумеваем не стільки безліч одиниць, скільки абстрактне ставлення який-небудь величини до іншої величини такого ж роду, взятої за одиницю. Число буває трьох видів: ціле, дробове і ірраціональне. Ціле число є те, що вимірюється одиницею; дробове - кратної частиною одиниці, ірраціональне - число, не сумірне з одиницею ».

 

2.      Натуральні числа

 

Вважається, що термін «натуральне число» вперше застосував римський державний діяч, філософ, автор праць з математики та теорії музики Боецій (480 - 524 рр..), Але ще грецький математик Нікомах з Герази говорив про натуральний, тобто природному ряді чисел.

 

Поняттям «натуральне число» в сучасному його розумінні послідовно користувався видатний французький математик, філософ-просвітитель Даламбер (1717-1783 рр.)..

 

Початкові уявлення про число з'явилися в епоху кам'яного віку, при переході від простого збирання їжі до її активного виробництва, приблизно 100 століть до н. е.. Числові терміни важко зароджувалися і повільно входили у вжиток. Стародавній людині було далеко до абстрактного мислення, вистачило того, що він придумав числа: «один» і «два». Решта кількості для нього залишалися невизначеними і об'єднувалися в понятті «багато».

 

Зростало виробництво їжі, додавалися об'єкти, які потрібно враховувати у повсякденному житті, у зв'язку з чим придумувалися нові числа: «три», «чотири» ... Довгий час межею пізнання було число «сім».

 

Про незрозумілому говорили, що ця книжка «за сімома печатками», знахарки в казках давали хворому «сім вузликів з лікарськими травами, які треба було наполягти на семи водах протягом семи днів і приймати щодня по сім ложок».

 

Пізнаваний світ ускладнювався, були потрібні нові числа. Так дійшли до нової межі. Їм стало число 40. Позамежні кількості моделювалися величезним на ті часи числом «сорок сороків», рівним 1600.

 

Пізніше, коли число «сорок» вже перестало бути граничним, воно стало відігравати велику роль у російській метрології як основа системи заходів: пуд мав 40 фунтів, бочка-сороковка - сорок відер і т.д.

 

Великий інтерес викликає історія числа «шістдесят», яке часто фігурує у вавилонських, перських і грецьких легендах як синонім великого числа. Вавілоняни вважали його Божим числом: шістдесят ліктів у висоту мав золотий ідол з храму вавилонського царя Навуходоносора. Пізніше з тим же самим значенням (незліченна безліч) виникли числа, кратні 60: 300, 360. З часом число 60 у Вавилоні лягло в основу шестидесятеричной системи обчислення, сліди якої збереглися до наших днів при вимірі часу і кутів.

 

Наступним межею у слов'янського народу було число «тьма», (у древніх греків - міріади), що дорівнює 10 000, а Запределье - «тьма тьмуща», рівне 100 мільйонів. У слов'ян застосовували також і іншу систему числення (так зване «велике число» або «великий рахунок»). У цій системі «тьма» дорівнювала 10 6, «легіон» - 10 12, «леодр» - 10 24, «ворон» - 10 48, «колода» - 10 96, після чого додавали, що більшого числа не існує.

 

У античному світі далі всіх просунулися Архімед (III ст. До н.е.) в «обчисленні піщинок» - до числа 10, зведеного в ступінь 8х10 16, і Зенон Елейський (IV ст. До н. Е..) У своїх парадокси - до нескінченності ∞.

 

2.1. Функції натуральних чисел

 

Натуральні числа мають дві основні функції:

 

q характеристика кількості предметів;

 

q характеристика порядку предметів, розміщених в ряд.

 

Відповідно до цих функцій виникли поняття порядкового числа (перший, другий і т.д.) та кількісного числа (один, два і т.д.).

 

Довго і важко людство добирався до 1-го рівня узагальнення чисел. Сто століть знадобилося, щоб вибудувати ряд найкоротших натуральних чисел від одиниці до нескінченості: 1, 2, ... ∞. Натуральних тому, що ними позначалися (моделювалися) реальні неподільні об'єкти: люди, тварини, речі ...

 

2.2. Прості Числа Мерсенна, вчинені числа.

 

Серед простих чисел особливу роль грають прості числа Мерсенна - числа виду 1) М р = 2 р -1, де р - просте число. Вони називаються простими числами Мерсенна на ім'я французького ченця Мерена Мерсенна (1588-1648), одного з засновників Паризької Академії наук, друга Декарта і Ферма. Так як М 2 = 3, М 3 = 7, М 5 = 31, М 7 = 127, то це - прості числа Мерсенна. Однак, число 2) М 11 = 2047 = 23. 89    простим не є. До 1750 року було знайдено всього 8 простих чисел Мерсенна: М 2, М 3, М 5, М 7, М 13, М 17, М 19, М 31. Те, що М 31 - Просте число, довів у 1750 році Л. Ейлер. У 1876 році французький математик Едуард Люка

 

встановив, що число

 

3) М 127 = 170141183460469231731687303715884105727

 

- Просте. У 1883 р. Сільський священик Пермської губернії І. М. Первушин без всяких обчислювальних приладів довів, що число М 61 = 2305843009213693951 є простим. Пізніше було встановлено, що числа М 89 і М 107 - прості. Використання ЕОМ дозволило в 1952-1964 роках довести, що числа М 521, М 607, М 1279, М 2203, М 2281, М 3217, М 4253, М 4423, М 2689, М 9941, М 11213 - прості. До теперішнього часу відомо вже більше 30 простих чисел Мерсенна, одне з яких М 216091 має 65050 цифр. Великий інтерес до простих чисел Мерсенна викликаний їх тісним зв'язком з досконалими числами.

 

Натуральне число Р називається досконалим, якщо воно дорівнює сумі всіх своїх дільників крім Р.

 

Евклід довів, що якщо р і 2 р -1 - прості числа, то число 4) Р р = 2 р-1 (2 р -1) = 2 р-1 М р є досконалим.

 

Дійсно, дільниками такого числа, включаючи саме це число, є 5) 1,2, ... , 2 р.-1, М р, 2М р, ... , 2 р.-1 М р.

 

Їх сума S p = (1 +2 + ... +2 р-1) (М р +1) = (2 р -1). 2 р = 2. 2 р-1 М р. Віднімаючи з S саме число Р р, переконуємося, що сума всіх дільників числа Р р дорівнює цього числа, отже Р р - досконале число.

 

Числа Р 2 = 6 і Р 3 = 28 були відомі ще піфагорійцям. Числа Р 5 = 496 та Р 7 = 8128 знайшов Евклід. Використовуючи інші прості числа Мерсенна і формулу 4, знаходимо такі досконалі числа:

 

6) Р 13 = 33550336, Р 17 = 8589869056, Р 19 = 137 438 691 328, Р 31 = 2305843008139952128.

 

Для всіх інших чисел Мерсенна числа Р р мають дуже багато цифр.

 

До цих пір залишається загадкою, як Мерсенн зміг висловити правильне твердження, що числа Р 17, Р 19, Р 31 є досконалими. Пізніше було виявлено, що майже за сто років до Мерсенна числа Р 17, Р 19 знайшов італійський математик Катальді - професор університетів Флоренції та Болоньї. Вважалося, що божественне провидіння передбачило своїм обранцям правильні значення цих досконалих чисел. Якщо врахувати, що ще піфагорійці вважали першим вчинене число 6 символом душі, що друге вчинене число 28 відповідало числу членів багатьох вчених товариств, що навіть у дванадцятому столітті церква вчила: для порятунку душі достатньо вивчати скоєні числа і тому, хто знайде нове божественне досконале число , уготоване вічне блаженство, то стає зрозумілим винятковий інтерес до цих чисел.

 

Проте і з математичної точки зору парні досконалі числа по-своєму унікальні. Всі вони - трикутні. Сума величин, зворотних всім ділітелям числа, включаючи саме число, завжди дорівнює двом. Залишок від ділення досконалого числа, крім 6, на 9 дорівнює 1. У двійковій системі досконале число Р р починається р одиницями, потім слідують р-1 нулів. Наприклад:

 

7) Р 2 = 110, Р 3 = 11100, Р 5 = 111 110 000, Р 7 = 1111111000000 і т.д.

 

Остання цифра парного досконалого числа або 6, або 8, причому, якщо 8, то їй передує 2.

 

Леонард Ейлер довів, що всі парні досконалі числа мають вигляд 2 р-1. М р, де М р-просте число Мерсенна. Проте до цих пір не знайдено жодного непарного досконалого числа. Висловлено припущення (Брайен Такхерман, США), що якщо таке число існує, то воно повинно мати не менше 36 знаків.

 

3. Раціональні числа

 

3.1. Дробові числа

 

3.1.1. Про походження дробів

 

З виникненням уявлень про цілих числах виникали уявлення і про частини одиниці, точніше, про частини цілого конкретного предмета. З появою натурального числа n виникло уявлення про дробу виду 1 / n, яка називається зараз аліквотній, родової чи основний.

 

Щоб з'ясувати питання про походження дробу, треба зупинитися не на рахунку, а на іншому процесі, який виник із стародавніх часів, - на вимірі. Історично дробу виникли в процесі вимірювання.

 

В основі будь-якого вимірювання завжди лежить якась величина (довжина, обсяг, вага і т.д.). Потреба у більш точних вимірах призвела до того, що початкові одиниці міри почали дробити на 2, 3 і більше частин. Більш дрібної одиниці заходи, яку отримували як наслідок роздроблення, давали індивідуальне назву, і величини вимірювали вже цієї більш дрібної одиницею.

 

Так виникали перші конкретні дробу як певні частини якихось певних заходів. Тільки набагато пізніше назвами цих конкретних дробів почали позначати такі ж самі частини інших величин, а потім і абстрактні дробу.

 

3.1.2. Дроби в Давньому Єгипті

 

Перша дріб, з якою познайомилися люди, була, напевно, половина. За нею послідували 1 / 4, 1 / 8 ..., потім 1 / 3, 1 / 6 і т.д., тобто найпростіші дробу, частки цілого, звані одиничними або основними дробами. У них чисельник завжди одиниця. Деякі народи старовини і, в першу чергу, єгиптяни висловлювали будь-яку дріб у вигляді суми тільки основних дробів. Лише значно пізніше у греків, потім в індійців та інших народів стали входити у вживання і дробу загального вигляду, звані звичайними, у яких чисельник і знаменник можуть бути будь-якими натуральними числами.

 

У Стародавньому Єгипті архітектура досягла високого розвитку. Для того, щоб будувати грандіозні піраміди і храми, щоб обчислювати довжини, площі та обсяги фігур, необхідно було знати арифметику.

 

З розшифрованих відомостей на папірусах вчені дізналися, що єгиптяни 4 000 років тому мали десяткову (але не позиційну) систему числення, вміли вирішувати багато завдання, пов'язані з потребами будівництва, торгівлі і військової справи.