Шпаргалка по "Математическому моделированию"

  ;

, 0<k<R;

, R<=k<N;

  .

Решая данную систему, находим вероятность k-го состояния:

, 1<=k<R,

, R<=k<=N.

Величина  определяется из условия .

Определим следующие вероятностные  характеристики СМО:

1) среднее число требований в  очереди на обслуживание:

2) среднее число требований, находящихся  в системе (на обслуживании  и в очереди)

3) среднее число каналов, простаивающих из-за отсутствия работы

4) коэффициент простоя обслуживаемо  объекта в очереди 

5) коэффициент использования объектов 

6) коэффициент простоя обслуживающих  каналов 

7) среднее время ожидания обслуживания (время ожидания обслуживания в очереди)

28. Распределение Эрланга. Искусственное сведение  немарковского  процесса  к  марковскому. Поток Эрланга.

 

Реальные процессы часто обладают последствием и поэтому  не являются марковскими. Иногда при  исследовании таких процессов удается воспользоваться методами, разработанными для марковских процессов. Наиболее распространены два способа:

1. Метод разложения случайного процесса на фазы (метод псевдосостояний)
2. Метод вложенных цепей Маркова

Метод псевдосостояний

Суть метода состоит  в том, что состояния системы, потоки переходов из которых являются немарковскими, заменяются эквивалентной группой фиктивных состояний, потоки переходов из которых являются марковскими.

Условие статистической эквивалентности реального состояния  и соответствующих ему фиктивных состояний в каждом конкретном случае выбирается по-разному. В качестве одного из критериев эквивалентности можно принять следующее условие:

 

 

, где l_{i экв}(t) – эквивалентная интенсивность перехода в i-той группе переходов, заменяемой реальный переход обладающей интенсивностью l_i(t).

За счет расширения числа  состояний системы, некоторые процессы удается точно свести к марковским. Созданная таким образом новая  система по своим характеристикам  статистически эквивалентна или близка реальной системе, но она должна быть обязательно подвергнута обычному исследованию на адекватность, с помощью хорошо проработанного математического аппарата с использованием уравнений Колмогорова.

К числу процессов, которые  введением фиктивных состояний можно точно свести к марковским, относятся процессы, происходящие в системе под воздействием потока Эрланга.

В случае потока Эрланга k-го порядка интервал времени между сообщениями представляет собой сумму k независимых случайных интервалов распределенных по показательному закону. Поэтому сведение потока Эрланга k-го порядка к Пуассоновскому осуществляется введением k псевдосостояний. Интенсивности перехода между псевдосостояниями равны соответствующему параметру потока Эрланга.

Полученная таким образом эквивалентный случайный процесс является марковским, т.к. интервалы времени нахождения его в различных состояниях подчинены показательному закону распределения.

 

29. Метод этапов (метод  псевдосостояний)

Сущность метода заключается  в том, что состояние системы, потоки переходов из которых являются немарковскими, заменяются эквивалентной группой фиктивных состояний, потом переходы, из которых уже являются Марковскими.

Условие статистической эквивалентности реального и  фиктивного состояния могут в  каждом конкретном случае выбираться по-разному. Очень часто может использоваться следующее: , где - эквивалентная интенсивность перехода в i-ой группе переходов, заменяющей реальный переход, обладающий интенсивностью .

За счет расширения числа состояний системы некоторые процессы удается точно свести к Марковским. Созданная таким образом система статистически эквивалентна или близка к реальной системе, и она подвергается обычному исследованию с помощью аппарата Марковских цепей.

К числу процессов, которые введением фиктивных состояний можно точно свести к Марковских относятся процессы под воздействием потоков Эрланга. В случае потока Эрланга k-ого порядка интервал времени между соседними событиями представляет собой сумму k независимых случайных интервалов, распределенных по показательному закону. Поэтому с введением потока Эрланга k-го порядка к Пуассоновскому осуществляется введением k псевдо состояний. Интенсивности переходов между псевдо состояниями равны соответствующему параметру потока Эрланга. Полученный таким образом эквивалентный случайный процесс является Марковским, т.к. интервалы времени нахождения его в различных состояниях подчиняются показательному закону.

Пример. Устройство S выходит из строя с интенсивностью , причем поток отказов Пуассоновский. После отказа устройство восстанавливается. Время восстановления распределено по закону Эрланга 3 порядка с функцией плотности .

Найти предельные вероятности возможных  состояний системы.

Решение.

Пусть система может  принимать 2 возможных состояния:

  - устройство исправно;

  - устройство отказало и восстанавливается

Переход из в осуществляется под воздействием пуассоновского потока, а из в - потока Эрланга.

Представим случайное  время восстановления в виде суммы 3х случайных временных интервалов, распределенных по показательному закону с интенсивностью .

 

Ответ: ,   

 

 

30. Исследование  СМО  вида M/Еr/1/∞ c помощью  метода  этапов.
31. Исследование  СМО  вида  Еr/M/1/∞ c помощью  метода этапов.
32. Немарковские  СМО. Система  М/G/n/0 с  отказами. Система M/G/1/∞. Формулы Полячека – Хинчина.
33. Немарковские  СМО. Системы G/G/1/∞  и G/G/n/∞.

Раздел 3. Имитационное моделирование

34. Имитационное  моделирование.  Отличительные особенности. Математические  основы. Достоинства и недостатки.

Множество математических моделей можно разбить на три  подмножества: аналитические, имитационные и комбинированные (аналитико-имитационные) модели. Приведем сравнительный анализ двух первых видов моделей (комбинированные модели соединяют в себе черты моделей первых двух видов).

Аналитической моделью (AM) называется совокупность функциональных соотношений или логических условий, описывающих связи между параметрами, переменными и показателями эффективности системы S.

Область применения AM:

1) сравнительно простые  системы;

2) системы, получаемые  в результате упрощения (абстрагирования)  реальных систем с целью изучения  некоторых свойств системы.

Достоинства AM:

1) универсальность, высокая  степень общности и значимости  результатов;

Недостатки AM:

1) чувствительность к  степени сложности системы;

2) ряд допущений, приводящих  к неадекватности модели реальной  системе:

− замена реальных потоков  событий при моделировании систем простейшими;

− использование в  качестве дисциплины обслуживания заявок из очереди дисциплины FIFO.

3) при моделировании  сетей создание АМ становится  практически невозможным при  числе узлов в сети больше  трех;

4) при использовании  АМ невозможно исследование поведения  системы при изменении со временем  характера и скорости протекания процессов.

Имитационной  моделью (ИМ) системы называются машинные программы (или алгоритмы), позволяющие имитировать на ЭВМ поведение отдельных элементов системы и связей между ними в течение заданного времени моделирования. Иначе говоря, — это формальное (то есть выполненное на некотором формальном языке) описание логики функционирования исследуемой системы и взаимодействия отдельных ее элементов во времени, учитывающее наиболее существенные причинно-следственные связи, присущие системе, и обеспечивающее проведение статистических экспериментов.

Эксперименты на ЭВМ  с имитационной моделью называются имитационными (вычислительными) экспериментами.

Отличительные особенности  ИМ:

— при создании ИМ законы функционирования всей системы в  целом могут быть неизвестны (достаточно знания алгоритмов, описывающих поведение отдельных элементов системы и связей между ними);

— в имитационной модели связи между параметрами и  характеристиками системы выявляются, а значения исследуемых характеристик  определяются в ходе имитационного эксперимента на ЭВМ.

Применение имитационного  моделирования целесообразно в  следующих случаях:

1)если не существует  законченной постановки задачи  на исследование и идет процесс  познания объекта моделирования;

2)если характер протекающих в системе процессов не позволяет описать эти процессы в аналитической форме;

3)если необходимо наблюдать  за поведением системы (или  отдельных ее компонентов) в  течение определенного периода,  в том числе с изменением  скорости протекания процессов;

4)при изучении новых ситуаций в системе либо при оценке функционирования ее в новых условиях;

5)если исследуемая  система является элементом более  сложной системы, другие элементы  которой имеют реальное воплощение;

6)когда необходимо  исследовать поведение системы при введении в нее новых компонентов;

7)при подготовке специалистов  и освоении новой техники (в  качестве тренажеров).

Область применения ИМ:

—широкий класс систем практически любой сложности.

Достоинства ИМ:

— часто единственно  возможный метод исследования систем;

— возможность исследования системы на различных уровнях  ее детализации, определяемых целью  исследования;

— возможность исследования динамики взаимодействия элементов  системы во времени и пространстве параметров системы;

— возможность оценивания характеристик системы в определенные моменты времени.

Недостатки  ИМ:

— дороговизна: разработка хорошей ИМ часто обходится дороже создания AM и требует больших  временных затрат;

— результаты имитационного  моделирования обладают меньшей  степенью общности по сравнению с AM и не позволяют выявить общие закономерности функционирования классов систем;

— не существует надежных методов оценки адекватности ИМ.

На этапе исследования и проектирования систем при построении и реализации машинных моделей (аналитических и имитационных) широко используется метод статистических испытаний (Монте-Карло), который базируется на использовании случайных чисел, т. е. возможных значений некоторой случайной величины с заданным распределением вероятностей.

Статистическое моделирование представляет собой метод получения с помощью ЭВМ статистических данных о процессах, происходящих в моделируемой системе. Для получения представляющих интерес оценок характеристик моделируемой системы с учетом воздействий внешней среды статистические данные обрабатываются и классифицируются с использованием методов математической статистики.

Таким образом, сущность метода статистического (имитационного) моделирования сводится к построению для процесса функционирования исследуемой  системы некоторого моделирующего алгоритма, имитирующего поведение и взаимодействие элементов системы с учетом случайных входных воздействий и воздействий внешней среды, и реализации этого алгоритма с использованием программно-технических средств ЭВМ.

В результате статистического моделирования системы получается серия частных значений искомых величин или функций, статистическая обработка которых позволяет получить сведения о поведении реального объекта или процесса в произвольные моменты времени. Если количество реализаций N достаточно велико, та полученные результаты моделирования системы приобретают статистическую устойчивость и с достаточной точностью могут быть приняты в качестве оценок искомых характеристик процесса функционирования системы .

Теоретической основой  метода статистического моделирования систем на ЭВМ являются предельные теоремы теории вероятностей. Множества случайных явлений (событий, величин) подчиняются определенным закономерностям, позволяющим не только прогнозировать их поведение, но и количественно оценивать некоторые средние их характеристики, проявляющие определенную устойчивость. Характерные закономерности наблюдаются также в распределениях случайных величин, которые образуются при сложении множества воздействий. Выражением этих закономерностей и устойчивости средних показателей являются так называемые предельные теоремы теории вероятностей, часть из которых приводится ниже в пригодной для практического использования при статистическом моделировании формулировке. Принципиальное значение предельных теорем состоит в том, что они гарантируют высокое качество статистических оценок при весьма большом числе испытаний (реализаций) N. Практически приемлемые при статистическом моделировании количественные, оценки характеристик систем часто могут быть получены уже при сравнительно небольших (при использовании ЭВМ) N.