x _j    0 ( j  = 1, ..., n  ).

Также считается справедливым и более  точное соотношение 

если  x y и x y , то x > y .

     Это означает, что для ненасыщаемого  потребителя всякий набор x , который содержит любого продукта столько же либо (хотя бы по одной позиции) несколько больше, чем набор y , оказывается более предпочтительным. Предположение о ненасыщении при помощи функции полезности выражается следующим образом:

если  x y , то u  ( x ) u  ( y ),

если  x y и x y , то u  ( x ) > u  ( y ).

Таким образом, функция полезности является монотонно возрастающей по каждому  аргументу x _j .

     Если  функция полезности имеет производные  по своим аргументам, то из предположения о ненасыщаемости (и монотонности u  ( x )) следует, что все первые частные производные функции полезности являются положительными, т.е.

( j = 1, ..., n )

для любого набора потребительских благ. Величина частной производной 

имеет следующий экономический смысл: она показывает, на сколько увеличится полезность набора, если количество потребляемого блага увеличится на малую единицу. В связи с этим указанная производная носит название предельной (маргинальной, дифференциальной) полезности.

 
 
 

Рис. 3.13. Кривые безразличия для логарифмической функции полезности

      В экономических исследованиях, как  правило, используются некоторые конкретные виды выпуклых функций полезности, причем подбор вида функции и оценка числовых значений параметров производятся на основе наблюдений и анализа поведения потребителей. Чаще всего применяются линейная, квадратическая и логарифмическая функции вида

     В пространстве двухэлементных наборов x  = ( x ₁ , x ₂ ) поверхности безразличия (т.е. линии u  ( x ₁ , x ₂ ) = const) обычно называются кривыми безразличия.

Например, для логарифмической функции 

u  ( x ₁ , x ₂ ) = log x ₁ + log x ₂

кривые  безразличия имеют вид 

log x ₁ + log x ₂ = log ( x ₁ x ₂ ) = const,

т.е. являются просто гиперболами в положительном  ортанте, удовлетворяющими уравнению ( x ₁ Ч x ₂ ) = const.

На рис. 3.13 C ₂  >  C ₁ , т.е. более высокая кривая безразличия соответствует большему уровню полезности тех наборов, которые составляют кривую безразличия.

     Рассмотрим  задачу оптимального выбора потребителя  для ненасыщаемого потребителя.

Нетрудно  заметить, что оптимальный набор  ( ..., ) необходимо должен удовлетворять бюджетному ограничению как точному равенству. В самом деле, если бы оптимальный набор достигался бы при условии

то потребитель  мог бы купить на оставшиеся деньги некоторое количество любого блага  и тем самым получить новый  набор с большей полезностью. Это означает, что внутренняя точка  множества не может быть оптимальным  набором.

Таким образом, задача об оптимальном наборе имеет вид

u  ( x  ) = u  ( x ₁ , ..., x _j , ..., x _n )max,

     Решение этой задачи на условный экстремум  находится при помощи метода множителей. Оптимальный набор определяется путем решения следующей системы из ( n  + 1) уравнения

относительно ( n  + 1)-го неизвестного, а именно  элементов оптимального набора ( ..., ) и множителя Лагранжа .

Таким образом, при заданной системе цен  потребитель должен выбрать такой  набор, в котором все предельные полезности пропорциональны ценам. При этом оптимальное значение множителя Лагранжа часто называют предельной полезностью денег и трактуют как прирост максимальной полезности при увеличении дохода I на малую единицу. Заметим, что соотношения оптимальности могут быть представлены в виде

который допускает любопытную интерпретацию: в оптимальной точке величина дополнительной полезности в расчете  на одну денежную единицу должна быть одинакова для всех товаров и  услуг. Необходимо также отметить, что  для некоторых товаров могут быть выполнены соотношения

 и

которые означают, что такие товары сравнительно мало полезны и относительно дороги, а поэтому и не должны быть включены в оптимальный набор потребителя, максимизирующего свою полезность при  ограниченном доходе.

     2.2 Обоснование выбора  модели поведения потребителя

     Пусть n  = 2, функция полезности

u ( x ₁ , x ₂ ) = ln x ₁ + ln x ₂ ,

бюджетное ограничение 

p ₁ x ₁ + p ₂ x ₂ = I .

Решение задачи оптимального выбора

отсюда 

Используя бюджетное ограничение, имеем 

     Как видно из приведенного решения, оптимальный  выбор потребителя имеет очень  естественный вид: количество потребляемого  блага прямо пропорционально  доходу ( I  ) и обратно пропорционально его цене. Геометрическая интерпретация решения задачи оптимального выбора приведена на рис. 3.12.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Глава 3. Метод и алгоритм решения модели

     Дано:

     Функция полезности:

     Цены  на блага: Р₁=8, Р₂=16

     Доходы  потребителя : М=600

     Требуется:

1. Сформулировать модель поведения потребителя
2. Найти решение данной модели, то есть построить функцию спроса на блага

     

     

3. Вычислить оптимальные значения спроса на блага  y₁, y₂ для исходных данных
4. Определить реакцию потребителя на изменение дохода, если М=200

     Решение:

     1.

     Модель  поведения потребителя должна учитывать  предпочтения потребителя и бюджетные  ограничения.

     Формально модель поведения потребителя на рынке является обычной задачей  отыскания условного максимума. Требуется найти такой вектор благ Y, который бы максимизировал функцию полезности и удовлетворял бы бюджетным ограничениям. 

       (1)

     Так как целевая функция положительна и непрерывна, а допустимое множество  замкнуто, то решение существует, так как условная функция строго вогнута, а допустимое множество наборов выпукло, следовательно решение единственно.

     Решение находим методом Лагранжа. Строим функцию Лагранжа:

     

      (2)

     Таким образом, оптимальный набор задачи (1) должен являться решением системы уравнений (2)

     Итак:

     1.

     

     - в точке оптимального выбора  цены пропорциональны предельным  полезностям благ.

     2.

     

 

      - отношение предельных полезностей благ равно отношению цен.

     3.

     

     -предельная  полезность, приходящаяся на денежную  единицу, должна быть одинаковой  для всех благ.

     Как мы уже знаем, при любых положительных  ценах и доходе решение задачи поведения потребителя существует и единственно. Выбор потребителя зависит от конкретных значений переменных Р и М, то есть является функцией спроса Y=Y(P,M) или Y=(y₁(P,M) , y₂(P,M)) - в нашем случае.

     Надо  учитывать, что при пропорциональном изменении цен и дохода спрос  не изменится, то есть для любого положительного числа

     

     то  есть функция спроса является однородной в нулевой степени однородности.

     Итак, в общем виде функция спроса в  нашей задачи есть

     

     Так как функция полезности определяется с точностью до положительных монотонных преобразований, то мы имеем право записать:

     

 

      Используя вывод №2 можно сказать:

       

     Таким образом оптимальный спрос на первое благо равен ,

     а на второе благо - , то есть можно сказать, что функция спроса будет

     

     при оптимальном выборе потребителя.

     Ну  а теперь вычислим оптимальные значения спроса на блага y₁, y₂, для исходных данных.

     Так как М=600, р₁=8, р₂=16, то имеем

     

     Реакция потребителя на изменение дохода.

     Сначала графически представим изменение спроса при изменении дохода. Пусть изменится  доход М. Тогда произойдет параллельное смещение бюджетной прямой. С изменением дохода изменится и спрос. На каждой бюджетной прямой существуют такие точки, в которых максимизируется функция полезности (точки А, B, C, D). Линия AD - кривая доход-потребление, или кривая Энгеля. Она показывает, как при фиксированных ценах меняется объем потребления каждого из благ в зависимости от дохода. Рисунок 1 применим к случаю, когда ни один из товаров не является товаром Гиффина. Если же один из товаров - товар Гиффина, то кривая сместится в сторону качественного товара, а спрос на Гиффинский товар - упадет. 

       

     Итак, если изменения в размере дохода незначительны, то закономерности изменения  спроса изучаются при помощи частных  производных от функции спроса по доходу. Решение системы (2) можно  рассматривать как неявную функцию от М.

     Итак, мы должны определить

     

     Для этого построим матрицу Гессе, «окаймленную»  ценами:

     

     где

     Итак:

     

     Итак, определитель системы

       равен 

      ,

     где - алгебраические дополнения соответствующих элементов.