Контрольная работа по "Статистике"

 

Контрольная работа ВАРИАНТ № 6

 

Содержание

 

 

 

Задача 1

Исследование  возрастной структуры работников коммерческих предприятий дало следующие результаты:

18 24 20 26 28 25

22 19 25 25 19 21

23 27 24 26 23 20

26 24 24 22 28 28

25 27 21 24 27 29

 

1. Систематизируйте  исходную информацию в виде групповой таблицы, образовав 4 группы с равными интервалами
2. Построенный в п.1 вариационный ряд изобразите на графике в виде гистограммы распределения и сделайте выводы о характере распределения работников по возрастным группам.

Решение

Размер интервала d находится по формуле:

                                               

                                            (1)

Xmax, Xmin – соответственно значения максимального и минимального признака;

n – количество интервалов.

d = (29 - 18) / 4 = 2,75 года.

Для отграничения групп в случае закрытых интервалов нижние границы последующих интервалов следует увеличить на 0,1 пункт по сравнению с верхними границами предыдущих интервалов.

Определим границы групп  для нашей задачи. Нижняя граница  первой группы равна минимальному значению факторного признака (количеству лет) в совокупности 18 лет (Xmin).

Верхняя граница первой группы будет равна (Xmin + d = 18 + 2,75 = 20,75 лет); второй группы соответственно – 23,5 лет (20,75 + 2,75); третьей – 26,25 лет (23,5+2,75); четвертой – 29 лет (26,25+2,75).

Нижняя граница  второй группы будет равна 20,85 лет (20,75+0,1); третьей группы – 23,6 лет (23,5+0,1); четвертой группы – 26,35 лет (26,25+0,31).

Отграничим  каждую группу работников по возрасту, обозначив нижнюю границу каждого следующего интервала числом, на 0,1 большим верхней границы предшествующего интервала (табл. 1).

Таблица 1

Группы работников по возрасту

Группы работников по возрасту, лет.	Шифр группы
18-20,75	А
20,85-23,5	Б
23,6-26,25	В
26,35-29	Г

 

В соответствии с шифрами перенесем сведения о каждом предприятии по группам в разработочную таблицу 2, где отведем графы: номер группы, группы предприятий по числу рабочих, номер предприятия по порядку из таблицы с данными, объем произведенной продукции за год, объем основных средств.

В разработочную  таблицу сначала вписывают данные первой графы с шифром А. В нее войдут группы предприятий с числом рабочих от 43 чел. до 78,5 чел. Затем введем итоговую строку, в которой в графе «Номер по порядку» подсчитывают число предприятий первой группы. Остальные группы предприятий по числу рабочих в разработочной таблице формируют аналогично первой, подводя итоги по каждой из них.

 

Таблица 2

Разработочная таблица

Шифр группы	Группы рабочих  по возрасту	Номер работника п/п из данных	Возраст, лет
1	2	3	4
А	18 – 20,75	1	18
		3	20
		8	19
		11	19
		18	20
Итого по группе А	-	5	96
Б	20,85 – 23,5	7	22
		12	21
		13	23
		17	23
		22	22
		27	21
Итого по группе Б	-	6	132
В	23,6-26,25	2	24
		4	26
		6	25
		9	25
		10	25
		15	24
		16	26
		19	26
		20	24
		21	24
		25	25
		28	24
Итого по группе В	-	12	298
Г	26,35-29	5	28
		14	27
		23	28
		24	28
		26	27
		29	27
		30	29
Итого по группе Г	-	7	194
Всего	-	30	720

 

 Итоговые  данные по каждой группе из  таблицы 2 переносим в конечную таблицу 3, графа 3 и 4.

Таблица 3

Группировка рабочих по возрасту

Шифр группы	Группы рабочих по возрасту, лет	Количество работников	Возраст работников, лет
			всего	Средний возраст  на 1 работника
1	2	3	4	5=4/3
А	18-20,75	5	96	19,2
Б	20,85-23,5	6	132	22,0
В	23,6-26,25	12	298	24,8
Г	26,35-29	7	194	27,7
-	Итого	30	720	24,0

Выводы: общее число рабочих составило 30 чел.  При этом средний возраст работника был равен 24 года. Колебался он в пределах от 18 лет до 29 лет. С ростом численности рабочих до 12 чел. в группе средний возраст повышался, в последней группе численность работников снизилась до 7 чел., а средний возраст повысился до 27,7 лет.

На рисунке 1 представим гистограмму распределения  работников по возрасту.

Рис. 1. Гистограмма  распределения работников по возрасту

 

Задача 2

 

Используя исходные данные задачи 1,  определите:

1. Средний возраст работников:

А) на основе  индивидуальных данных;

Б) на основе построенного вариационного ряда распределения.

2. Моду и медиану.

Сделайте выводы по результатам расчетов и объясните причину несовпадения вычисленных в п.2а и 2б значений средних величин.

Решение

На основе индивидуальных данных можно определить средний  возраст работников с помощью  средней арифметической простой, так  как некоторые значения возраста встречаются по одному разу:

                                                    

,                                                 (2)

где x_i – осредняемый признак;

n – количество признаков.

= 24 года.

На основе построенного вариационного ряда можно вычислить средний возраст по формуле средней арифметической взвешенной:

                                                  

,                                                  (3)

где f_i – вес, количество осредняемого признака.

Рассчитаем  на основе рассчитанных средних по группам:

                  

 

 

               

= 22,7 года.

Расхождение между  полученными показателями получились из-за округления в расчетах средних величин по группам.

Мода ( ) – это значение изучаемого признака, повторяющееся с наибольшей частотой:

                      

                          (4)

где - нижняя граница модального интервала (модальный – это интервал, имеющий наибольшую частоту; в нашем случае – это интервал 23,6-26,25 лет, так как у него наибольшая частота (количество работников), равное 12);

h – ширина модального интервала (в нашем случае – 2,75 лет);

- частота модального интервала (в нашем случае – 12);

- частота интервала, предшествующего  модальному (в нашем случае – 6);

- частота интервала, следующего  за модальным (в нашем случае  – 7).

 года.

Медианой ( ) называется варианта, которая делит ранжированный ряд на 2 равные части, находится по формуле:

                                       

,                                  (5)

где - нижняя граница медианного интервала (медианным называется первый интервал, накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот);

- ширина медианного интервала;

- накопленная частота интервала, предшествующего медианному;

- частота i-го интервала, I = 1,2, …, K;

- частота медианного интервала.

Для определения  медианного интервала необходимо рассчитывать накопленную частоту каждого последующего интервала до тех пор, пока она не превысит ½ суммы накопленных частот (в нашем случае – 30/2 = 15 работников):

Таблица 4

Интервал	Накопленная частота
18-20,75	5
20,85-23,5	6+5=11
23,6-26,25	12+11=23

 

Таким образом, медианным является интервал с границами 23,6-26,25 лет. Тогда медиана равна:

23,6 + 2,75*(1/2*(30-6)/12) = 26,35 лет.

Вывод: На основе полученных данных можно заключить, что наиболее распространенным, типичным является возраст работников в размере 25,1 года. В то же время более половины работников имеет возраст свыше 26,35 лет при средней его величине 24 года.

 

 

 

 

 

Задача 3

 

В результате 3-процентного  выборочного обследования лиц, совершивших разбои в регионе, получены следующие данные о возрасте преступников:

Возраст преступников, лет	До 18	18-23	23-28	28-33	Итого
Число совершенных  преступлений	11	54	42	23	130

Определите:

1. С вероятностью 0,997 пределы среднего возраста преступников
2. С вероятностью 0,954 пределы доли преступлений, совершенных в возрасте до 18 лет.

Примечание. При  проведении  выборочного обследования использовался механический способ отбора.

Решение

Чтобы найти средний возраст  преступников, воспользуемся формулой средней арифметической взвешенной (формула 3). Для расчета по этой формуле нужно найти середины интервалов сложением верхней и нижней границы и делением на 2. В случае 1 интервала нижняя граница будет равна разнице между верхней границей и размера последующего интервала (5):

- 1 интервал: ((18-5)+18)/2 = 15,5 лет;

- 2 интервал: (18+23)/2 = 20,5 лет;

- 3 интервал: (23+28)/2 = 25,5 лет;

- 4 интервал: (28+33)/2 = 30,5 лет.

Средний возраст преступников:

(15,5*11+20,5*54+25,5*42+30,5*23)/130 = 23,5 года.

Определим с  вероятностью 0,954 предельную ошибку выборки  и границы, в которых находится доля преступлений, совершенных в возрасте до 18 лет, состоящих из 11 человек. При заданной вероятности коэффициент доверия t = 2. Из условия определим удельный вес таких преступлений в общем количестве (частость W):