Применение методов математической статистики в исследовании производственно-экономической деятельности организаций Рязанской обл

     

в) анализ характера изменения признака в ранжированном ряду по огиве Гальтона (Рис.1.);

Рисунок 1 - Огива ранжированного ряда

По огиве Гальтона видно, что 2 предприятия сильно отличаются по выручке на 100 га с.х. угодий от остальных, поэтому их целесообразно  выделить в отдельную группу и в дальнейшем не учитывать при определении шага интервала.

г) определение  числа групп

При неравномерном  распределении признака следует  формировать группы с неравными  интервалами. Число групп определяется по количеству «скачков», т.е. резких переходов  от одних значений признака к другим.

При равномерном  изменении признака формируются  группы с равными интервалами, и их число  определяется по формуле:

m=или

m=1+3.322 lgN,

где N – число единиц в совокупности

m = корень (30) ≈ 6

д) определение шага интервала (h)

При равномерном  изменении признака шаг рассчитывается по формуле:

h=

_{h = (2166,98 – 166,47) / 5 = 400, 1}

е) определение  границ интервалов

В каждом интервале две границы: нижняя и  верхняя. Разность между верхней  и нижней границей интервала равна  шагу интервала h.

Для первой группы нижняя граница интервала  равна первому значению признака в ранжированном ряду. Прибавляя  к этому значению шаг интервала  h , получаем верхнюю границу первой группы. Верхняя граница первого интервала при непрерывном характере признака является одновременно нижней границей второго интервала. Прибавляя к ней шаг интервала, определяем верхнюю границу второго интервала и т.д.

ж) подсчет  числа единиц (частот встречаемости) в каждом интервале

Подсчет проводится по ранжированному ряду. Если значение признака попадает на границу групп (например, первой и второй групп), то, как правило, единицу учитывают по верхней границе (в первой группе) по принципу «включительно».

Результаты  подсчета записаны в таблице (таблица 5).

 

Таблица 5 –  Интервальный ряд распределения  хозяйств по выручке на 100 га с.х. угодий

Интервальный ряд распределения
№  группы	Интервал	Число хозяйств
1	166,47-566,57	6
2	566,57-966,67	10
3	966,67-1366,77	7
4	1366,77-1766,87	2
5	1766,87-2166,98	3
6	2166,98-6316,71	2

 

 

2.4 Проверка статистических гипотез распределений и параметров выборочных данных по критериям Хи-квадрат Пирсона как критерия согласия и независимости.

Критерий  Хи-квадрат Пирсона имеет три области применения:

• Как критерий согласия, по которому проверяется согласие фактического выборочного распределения известному теоретическому распределению.
• Как критерий независимости, по которому проверяется независимость распределения частот совокупности по одному признаку от распределения частот этой совокупности по другому признаку.
• Как критерий однородности, по которому проверяется, однородны ли по структуре частот две совокупности, распределенные по одному признаку.

Критерия Хи-квадрат Пирсона как критерий согласия

Проверка  статистической гипотезы в соответствии с общей схемой начинается с формулировки гипотез.

Н_о: эмпирическое распределение соответствует нормальному распределению.

Н_а: эмпирическое распределение не соответствует нормальному распределению.

1. Исходя из предположения о соответствии эмпирического распределения нормальному, определим для каждого интервала ожидаемые (гипотетические) частоты. С этой целью:

• определим серединные значения интервалов;

• найдем отклонения средних значений интервалов от средней величины;
• вычислим для каждого интервала нормированное отклонение ;

Расчеты представлены в таблице 6.

 

Таблица 6 – Расчетные данные

№ группы	Интервал	ni	Серединное значение  интервала Xi	Xi*ni	Отклонение от средней (Xi-Xср)	(Xi-Xср)^2*ni	Нормированное отклонение ti=(Xi-X ср)/S
1	166,47-566,57	6	366,52	2199,12	-600,15	2161083,99	-1,24
2	566,57-966,67	10	766,62	7666,20	-200,05	400202,17	-0,41
3	966,67-1366,77	7	1166,72	8167,04	200,05	280138,52	0,41
4	1366,77-1766,87	2	1566,82	3133,64	600,15	720358,76	1,24
5	1766,87-2166,98	3	1966,93	5900,78	1000,25	3001526,98	2,07
Итого		28		27066,78		6563310,42

 

• используя данные приложения 1, найдем для нормального отклонения каждого интервала значение функции плотности нормального распределения;
• рассчитаем произведение числа единиц в совокупности на длину интервала, выраженную в долях среднего квадратичного отклонения C = N*;

С= 28*(400,1/484,15) = 23,14

• вычислим гипотетические частоты по формуле = С*F(t);
• округлим гипотетические частоты до целых чисел.

2. Определим разность фактических и гипотетических частот.

3. Вычислим для каждого интервала квадрат разностей частот.
4. Определим в каждой группе отношение квадрата разности частот к соответствующей гипотетической частоте, получим из них сумму, соответствующую фактическому значению критерия. Фактическое значение критерия равно 0,76.   Расчеты представлены в таблице 7.

 

Таблица 7 –  Расчетные данные

Значение функции плотности нормального распределения F(t)	Гипотетическая частота  нормального распределения		ni-ṅi	(ni-ṅi)^2	(ni-ṅi)^2/ṅi
	Расчетная ṅi	С  округлением ṅi
0,1849	4,28	5	1	1	0,20
0,3668	8,49	9	1	1	0,11
0,3668	8,49	9	-2	4	0,44
0,1849	4,28	5	0	0	0,00
0,0468	1,08
		28	0		0,76

 

5. Определим число степеней свободы по формуле V=L-k-m,

где L-число интервалов

K-число независимых линейных ограничивающих связей

M – число параметром, используемых при определении гипотетических частот

V=4-1-2 = 1

Используя данные приложения В, найдем критическое значение. Критическое значение равно 3,84.

Сопоставим  фактическое и табличное значение. Фактическое значение критерия 0,76 меньше его критического значения 3,84, следовательно, находится в области допустимых значений критерия. Следует принять нулевую гипотезу о соответствии фактического распределения нормальному закону распределения с вероятностью ошибки в 5 случаях из 100.

Критерий Хи-квадрат Пирсона как критерий независимости

Статистическая  оценка достоверной  связи  выручки  с обеспеченностью работниками проводится на основе критерия как критерия независимости.

Для проведения анализа необходимо построить двумерный  ряд распределения одновременно по двум признакам: по выручке на 100 га с.х. угодий (выделить 3 группы) и численности работников на 100 га с.х. угодий (выделить 2 подгруппы). Ряд целесообразно оформить в таблицу 8.

 

Таблица 8 –  Распределение хозяйств по выручке и обеспеченности работниками

Группы по выручке на 100 га	Подгруппы по работникам		Итого	% к итогу
	до 1,5	свыше 1,5
до 700	7	2	9	30,00
700-1000	2	6	8	26,67
свыше 1000	3	10	13	43,33
Итого	12	18	30	100,00
Процент к итогу	40	60	100	х

 

Проверка  статистической гипотезы о независимости эмпирических распределений в генеральной совокупности в соответствии с общей схемой начинается с формулировки гипотез.

Н_о: эмпирические распределения независимы;

Н_а: эмпирические распределения зависимы (обеспеченность работниками оказывает положительное влияние на экономический результат).

Фактическое значение критерия рассчитывается по формуле

_факт.=

где -фактические численности в группах и подгруппах

  - ожидаемые (гипотетические) численности при верной нулевой гипотезе.

Для расчета  ожидаемых численностей необходимы суммы частот в каждом интервале и общее число единиц в совокупности: ,и  . Далее определяется удельный вес каждой группы в общей численности единиц (процентное отношение частот каждого интервала к общему числу единиц в совокупности - последняя графа табл.8).  Результаты расчетов ожидаемых численностей с округлением до целых (число предприятий - дискретная величина) целесообразно оформить в таблицу 9.

 

Таблица 9 - Ожидаемые (гипотетические) распределения хозяйств по обеспеченности работников  и размеру выручки

Группы по выручке на 100 га	Подгруппы по работникам		Итого	% к итогу
	до 2	свыше 2
до 700	3,6	5,4	9	30,00
700-1000	3,2	4,8	8	26,67
свыше 1000	5,2	7,8	13	43,33
Итого	12	18	30	100,00

 

Суммы  гипотетических частот должны быть равны  суммам фактических частот (итоги строк и граф таб.8 и 9). Соответственно общее число единиц гипотетических и эмпирических распределений должно быть равным  .

Для расчета  фактического значения критерия по формуле  далее определяются разности между фактическими и гипотетическими численностями. Результаты записываются в таблицу 10. Поскольку суммы фактических и гипотетических частот по интервалам равны, суммы разностей должны равняться нулю.

Таблица 10 -  Разности между фактическими и гипотетическими численностями

Группы по выручке на 100 га	Подгруппы по работникам		Итого
	до 2	свыше 2
до 700	3,4	-3,4	0
700-1000	-1,2	1,2	0
свыше 1000	-2,2	2,2	0
Итого	0	0	0