Исследование частотных характеристик фильтров верхних частот

Рис. 7 – Другое изображение реактивного сопротивления параллельного контура в зависимости от частоты (по данным рис. 6).

Фильтры нижних частот. Наиболее простейшим типом ФНЧ является интегрирующая цепь. Однако АЧХ интегрирующей цепи имеет довольно пологий и длительный спад в области верхних частот, что часто не обеспечивает заданного ослабления или подавления мешающих сигналов или помех.

Обратимся к  частотному коэффициенту передачи по мощности (частотной характеристике), представляющему собой квадрат модуля частотного коэффициента передачи линейного четырехполюсника . В отличие от комплексного частотного коэффициента передачи функция вещественна, и поэтому удобна при анализе частотных характеристик фильтров.

Частотный коэффициент  передачи по мощности идеального ФНЧ для физических (положительных) частот (рис. 4.49, а) описывается выражением:

В теории фильтров идеальные прямоугольные АЧХ  аппроксимируют (аппроксимация – замена одних функций другими, более простыми и в том или ином смысле близкими к исходным; например кривых линий близкими к ним ломаными; от лат. approximo – приближаюсь) различными функциональными зависимостями. По оси абсцисс откладывают безразмерную (нормированную) частоту , а по оси ординат – коэффициент передачи по мощности .

Для аппроксимации  идеальной частотной характеристики ФНЧ часто используют известную в математике функцию – полином Баттерворта (Стефан Баттерворт; Stephen Butterworth – английский инженер; 1885-1958)

ФНЧ, построенные  на основе этой функции, называются фильтрами с максимально плоской характеристикой, или фильтрами Баттерворта (filtro Butterworth). Целое число n = 1, 2, 3, ... в формуле (2) определяет порядок (в данном случае порядок полинома) фильтра.

Рис. 8 – Частотные  характеристики фильтров:

а – идеального; б – Баттерворта.

На нормированной частоте среза (х=1) ослабление сигнала по мощности, вносимое фильтром любого порядка, равно (по напряжению ). Часто ослабление рассчитывают в логарифмических единицах, тогда на частоте среза оно составит . Чем больше порядок фильтра, тем точнее аппроксимируют идеальную (прямоугольную) форму частотной характеристики ФНЧ. На рис. 8, б показаны графики функций (2), построенные для нескольких значений порядка n. Ослабление оценивают в специфических точках частотной характеристики, где частота превышает частоту среза вдвое (на октаву) и в десять раз (на декаду). Пусть частота входного сигнала существенно превышает частоту среза фильтра (х>>1). Тогда из формулы (1) получим . При этом ослабление [дБ]

Значит, при увеличении частоты входного сигнала вдвое (х=2) ослабление [дБ/октаву], вносимое фильтром Баттерворта, составит

Если же частота  сигнала увеличивается в 10 раз, то ослабление [дБ/декаду]

Точнее идеальная  характеристика ФНЧ для нормированных  частот аппроксимируется полиномом Чебышева (П. Л. Чебышев – великий русский математик; 1821-1894) n-го порядка

В этом случае частотная  характеристика ФНЧ имеет следующий  вид

где параметр – коэффициент неравномерности частотной характеристики.

При аппроксимации полиномами Чебышева необходимо учитывать тот факт, что чем меньше коэффициент , тем точнее аппроксимируется частотная характеристика в полосе пропускания ( ), однако это снижает крутизну спада частотной характеристики в полосе задерживания ( ).

Полиномы Чебышева низших порядков записываются в виде:

Рис. 9 – Частотные  характеристики фильтров Чебышева для n=2, 3 и 4.

На рис. 9 показаны частотные характеристики чебышевских ФНЧ для порядков n=2, 3 и 4. Как следует из графиков, в полосе пропускания частотные характеристики ФНЧ чебышевского типа имеют пульсирующий характер. Амплитуда пульсаций при этом , и тем она ниже, чем меньше коэффициент . Такую аппроксимацию частотных характеристик фильтров в радиоэлектронике и технике связи называют равноволновой.

Вне полосы пропускания (при нормированных частотах среза , или ) частотные характеристики фильтра Чебышева монотонно убывают по закону

При этом полином Чебышева n-го порядка описывается гиперболическим косинусом

Рис. 10 – Схема  пассивного фильтра нижних частот первого порядка.

Простой фильтр, изображенный на рис. 11, обладает недостатком: свойства фильтра зависят от нагрузки. Для устранения этого недостатка фильтр необходимо дополнить преобразователем полного сопротивления. Схема фильтра с преобразователем полного сопротивления показана на рис. 12. Коэффициент передачи постоянного сигнала может быть задан выбором значений резисторов R2 и R3.

Рис. 11 – Схема  активного фильтра нижних частот первого порядка.

Рис. 12 – Схема активного фильтра с преобразователем полного сопротивления.

Рис. 13 – Схема  пассивного ФНЧ второго порядка.

Рис. 14 – Схема  активного ФНЧ второго порядка.

Активный ФНЧ второго порядка может быть построен на основе ОУ с омической отрицательной обратной связью и на основе ОУ с положительной обратной связью. Примеры подобных фильтров показаны на рис. 15 и рис. 16.

Рис. 15 – Схема  активного ФНЧ второго порядка.

Рис. 16 – Схема активного ФНЧ второго порядка.

Для реализации ФНЧ более высокого порядка, чем  второй, можно последовательно соединить  фильтры первого и второго  порядка. В этом случае характеристики звеньев фильтра перемножаются. Однако, чтобы результат перемножения частотных характеристик звеньев фильтра соответствовал желаемому типу фильтра, необходимо задавать соответствующие коэффициенты звеньев фильтра. На рис. 17 приведен пример реализации ФНЧ Бесселя третьего порядка.

Рис. 17 – Схема  ФНЧ Бесселя третьего порядка.

Фильтры верхних частот. Одним из типов ФВЧ является дифференцирующая: RC-цепь, форма АЧХ которой далека от идеальной (т. е. не прямоугольна). Аппроксимацию идеальной частотной характеристики ФВЧ получают на основе полиномов Баттерворта и Чебышева.

Обратимся к  функции (2) и введем новую нормированную частоту

Тогда

Алгебраическую  функцию  можно рассматривать как частотную характеристику ФВЧ Баттерворта, обладающую в нормированной полосе частот такой же неравномерностью ослабления, что и функция фильтра нижних частот в полосе . Аналогичным образом можно получить частотную характеристику ФВЧ Чебышева, заменив аргумент на в соотношении (3) и используя полином гиперболического вида (4)

Полученные  с помощью соотношений (5) и (6) графики частотных характеристик фильтров высоких частот Баттерворта и Чебышева четвертого порядка показаны на рис. 18. Сопоставление графиков показывает, что частотная характеристика фильтра высоких частот Чебышева обладает более крутым скатом переднего фронта, чем частотная характеристика фильтра высоких частот Баттерворта. Однако вершина частотной характеристики фильтра высоких частот Чебышева имеет существенно пульсирующий характер, что относится к его недостаткам.

Рис. 18 – Частотные характеристики ФВЧ 4-го порядка.

Электрические фильтры, рассмотренные выше, называются фильтрами типа К. Они собираются по простой схеме, что является их достоинством. Но они обладают и недостатками: во-первых, затухание в полосе задерживания возрастает медленно; во-вторых, волновое сопротивление фильтра резко изменяется в диапазоне рабочих частот, что, как отмечалось выше, не даёт возможности обеспечить хорошее согласование, в особенности при широком диапазоне рабочих частот.

С целью устранения указанных недостатков фильтров типа К применяют так называемые фильтры типа М и сложные (комбинированные) фильтры.

Схемы Т-образных и П-образных звеньев типа М отличаются от звеньев типа К так, как показано на (рис. 19). Из его рассмотрения видно, что часть индуктивности L₁ Т-образного звена (рис. 19 а) или П-образного (рис. 19 б) звена перенесена в параллельные ветви, образуя тем самым последовательные соединения с конденсаторами этих ветвей (рис. 19 в, г), или часть ёмкости С₂ перенесена из параллельных ветвей и подключена параллельно индуктивностям (рис. 19 д). Эти фильтры называют фильтрами типа М, потому что число М показывает, какая часть индуктивности L₁ остаётся в последовательной цепи звена или какая часть ёмкости С₂ остаётся в параллельных ветвях.

Исследование  свойств указанных фильтров типа М показывает, что полоса прозрачности фильтров типа М и типа К одинакова, если их составить из элементов, индуктивность и ёмкость которых определены формулами, указанными на (рис. 19). Волновое сопротивление Т-образного звена последовательного типа М (рис. 19 в) и П-образного звена параллельного типа М (рис. 19 е) не зависит от величины М и изменяется так же, как и волновое сопротивление соответствующих звеньев типа К. Волновое сопротивление Т-образного звена параллельного типа М (рис. 19 д) и П-образного звена последовательного типа М (рис. 19 г) сильно зависит от выбираемого значения М. При этом, наибольшим постоянством волнового сопротивления в полосе прозрачности обладает звено при М≈0,6. В этом случае обеспечивается наилучшее согласование волнового сопротивления Звена с нагрузочным сопротивлением.

Изменение затухания  фильтров типа М при изменении частоты происходит заметно иначе, чем фильтров типа К. Проиллюстрируем это кривыми (рис. 20), из которых кривая К относится к звену фильтра нижних частот типа К, а кривые М - к звену типа М. Из рассмотрения этих кривых видно, что затухание фильтра типа М на некоторой частоте f_∞ (в полосе задерживания) равно бесконечности. Эта частота называется частотой бесконечно большого затухания. Крутизна кривых М в области частот, заключённых между частотами f_c2 и f_∞, больше крутизны кривой К и тем больше, чем меньше М. В то же время, чем меньше М, тем больше снижается затухание на частотах, больших частоты f_∞.

Причину наличия у кривой для фильтра типа М значения β=∞ легко объяснить. Перебрасывая часть индуктивности L₁ (рис. 19 а) в параллельную ветвь звена (рис. 19 в), мы изменяем её сопротивление, имеющее, как и последовательный контур, свою резонансную частоту, при которой сопротивление идеального последовательного контура становится равным нулю. Происходит закорачивание последовательного контура в точках включения. Поэтому в нагрузке фильтра не будет тока на частоте, равной резонансной частоте контура, что и учитывается значением β, равным бесконечности. Чем меньше М, т. е. чем большая часть индуктивности переносится в ветвь конденсатора и, следовательно, уменьшается резонансная частота параллельной ветви, тем меньше отличается f_∞ от f_c2.

Рис. 19 - Схемы звеньев электрических фильтров, низших частот типов К и М:

а) Т-образное типа К,

б) П-образное типа К,

в) Т-образное последовательного типа М,

г) П-образное последовательного типа М,

д) Т-образное параллельного типа М,

е) П-образное параллельного типа М.

Повышение крутизны кривой в области частот, заключённых между частотой среза и частотой бесконечно большого затухания, является достоинством звена типа М. Но надо иметь в виду, что, начиная с некоторой частоты, большей частоты f_∞, значения β меньше, чем для звена типа К, что, очевидно, является недостатком звена фильтра типа М.

Рис. 20 - Кривые, показывающие изменение β при изменении отношения

для одного звена фильтров нижних частот: кривая К для простого звена, кривые М для звена типа М.

Сложные фильтры  представляют собой комбинации Т-образных и П-образных звеньев типов К и М. Комбинирование звеньев разного типа даёт возможность использовать их достоинства и получить фильтр с относительно выгодной формой кривой затухания в полосе задерживания, и притом, при более хорошем согласовании фильтра с нагрузкой.

Фильтры на ПАВ. К используемым в настоящее время в различных устройствах радиоэлектроники и технике связи видам фильтров следует отнести:

• LC-фильтры;

• монокристаллические  кварцевые и танталато-литиевые фильтры;

• воздушные резонаторные фильтры;

• керамические коаксиальные фильтры;

• полосковые и микрополосковые фильтры;

• программируемые и перестраиваемые фильтры.

Все эти фильтры обладают различными недостатками, которые в той или иной степени не удовлетворяют определенным требованиям фильтрующим устройствам. Поэтому в последние несколько лет широкое применение в приемопередающих устройствах систем связи находят фильтры на поверхностных акустических волнах, свободные от многих недостатков.

Поверхностные акустические волны (ПАВ) – это упругие (необъемные) волны, распространяющиеся с невысокой скоростью вдоль свободной поверхности твердого тела или вдоль границы твердого тела с другими средами и затухающие при удалении от границ. В качестве среды распространения используются различные пьезоэлектрические монокристаллы: кварц, ниобат лития, танталат лития, германат висмута и др.

Поверхностные акустические волны занимают диапазон длин волн от до см, а их частоты соответствуют области ультразвука (от 20 кГц до 1 ГГц; частоты до 100 ГГц – гиперзвук). Замечательным свойством поверхностных акустических волн является их очень невысокая (от 3000 до 4000 м/с, т. е. менее 1/100000 скорости света) в сравнении с электромагнитными волнами скорость распространения, что позволяет применять к ним практически любые математические способы обработки сигнала.