Исследование частотных характеристик фильтров верхних частот

Сравнивая (2.5) и (2.6), устанавливаем, что модуль комплексного сопротивления равен отношению амплитуд иди действующих значений напряжения и тока на зажимах рассматриваемого участка цепи:

А аргумент равен  разности начальных фаз напряжения и тока:

В зависимости  от фазовых соотношений между  напряжением и током величина может быть больше нуля (напряжение опережает ток по фазе), меньше нуля (напряжение отстает по фазе от тока) или равна нулю (ток и напряжение совпадают по фазе).

Комплексное входное  сопротивление может быть представлено в виде вектора, расположенного в  комплексной плоскости, длина которого в определенном масштабе равна , а угол наклона к положительной вещественной полуоси равен . Вещественная и мнимая составляющие входного сопротивления представляют собой проекции на вещественную и мнимую оси соответственно:

Величина, обратная комплексному входному сопротивлению, называется комплексной входной  проводимостью участка цепи

Комплексная входная  проводимость (комплексная проводимость) может быть определена как отношение  комплексных амплитуд или комплексных  действующих значений тока и напряжения на зажимах рассматриваемого участка цепи:

Представляя комплексную  проводимость в показательной форме

находим, что  модуль комплексной входной проводимости , называемый полной входной проводимостью цепи, является величиной, обратной модулю комплексного входного сопротивления:

а аргумент входной  проводимости равен по абсолютному значению  и противоположен по знаку аргументу комплексного входного сопротивления .

Комплексная входная проводимость участка цепи может быть также представлена в алгебраической форме . Здесь и – вещественная (резистивная) и мнимая (реактивная) составляющие входной проводимости, которые можно рассматривать как проекции вектора на вещественную и мнимую оси комплексной плоскости:

Подставляя  в (2.7) и , находим связь между вещественными и мнимыми составляющими комплексного сопротивления и комплексной проводимости участка цепи:

Из выражений (2.8) и (2.9) видно, что резистивные составляющие комплексного входного сопротивления и комплексной входной проводимости имеют одинаковые знаки:

а реактивные составляющие – противоположные:

Отметим, что  каждая из составляющих комплексного сопротивления ( и ) зависит как от резистивной , так и реактивной составляющей комплексной проводимости, а каждая из составляющих комплексной проводимости ( и ) в свою очередь зависит от и .

Комплексные сопротивление  и проводимость пассивного участка  линейной цепи были введены как отношения  комплексных действующих значений или комплексных амплитуд напряжения и тока, приложенных к зажимам этого участка цепи. В то же время комплексные сопротивление и проводимость любого участка линейной цепи, составленного из идеализированных пассивных элементов, не зависят от амплитуд (действующих значений) и начальных фаз токов и напряжений и определяются только параметрами элементов, входящих в рассматриваемый участок цепи, способом их соединения между собой и частотой внешнего гармонического воздействия.

Зная комплексное  сопротивление (комплексную проводимость) участка цепи и одну из приложенных  к данному участку цепи величин: ток или напряжение , то можно, используя формулу комплексного сопротивления (комплексной проводимости), найти неизвестное напряжение или неизвестный ток исследуемого участка

Аналогично  комплексные действующие значения напряжения и тока на зажимах участка цепи

Выражения (2.10) и (2.11) по структуре напоминают соотношения между мгновенными значениями напряжения и тока на зажимах линейного сопротивления и являются математической записью закона Ома в комплексной форме. Уравнения (2.10) и (2.11) являются алгебраическими.

Рис. 24 – Идеализированный двухполюсник (а) и его комплексные схемы замещения (б, в).

Используя закон  Ома в комплексной форме, каждому  участку линейной электрической  цепи, составленному из идеализированных пассивных элементов и имеющему два внешних вывода (рис 24, а), в том числе любому идеализированному пассивному двухполюсному элементу, можно поставить в соответствие комплексную схему замещения, на которой рассматриваемый участок цепи представлен комплексным сопротивлением или проводимостью, а токи и напряжения на его зажимах – комплексными амплитудами (рис. 24, б) или комплексными действующими значениями (рис.24, в).

Представляя все  входящие в моделирующую цепь идеализированные пассивные элементы их комплексными схемами замещения, а токи и э. д. с. всех идеализированных источников – их комплексными амплитудами или комплексными действующими значениями, получаем комплексную схему замещения цепи (эквивалентную схему для комплексных амплитуд или эквивалентную схему для комплексных действующих значений).

Таблица 2.1 –  Комплексная запись уравнений элементов  цепи

Элемент	Напряжение	Ток
Сопротивление
Индуктивность
Емкость

Таблица 2.2 – Выражение комплексных сопротивлений и проводимостей

Цепь	при последовательном  соединении	при параллельном соединении
,
,
, ,

Таким образом, комплексная схема замещения  цепи может быть получена из эквивалентной схемы для мгновенных значений заменой всех идеализированных пассивных двухполюсников их комплексными сопротивлениями (проводимостями) и всех токов и напряжений – их комплексными изображениями.

Мгновенные  значения токов и напряжений различных ветвей электрической цепи связаны между собой линейными алгебраическими уравнениями баланса токов и напряжений, составляемых на основании законов Кирхгофа. Учитывая, что суммированию гармонических функций времени соответствует суммирование их комплексных изображений, перейдем от законов Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений к законам Кирхгофа для комплексных изображений токов и напряжений, называемых обычно законами Кирхгофа в комплексной форме.

Первый  закон Кирхгофа в комплексной форме устанавливает связь между комплексными изображениями токов в каждом из узлов моделирующей цепи: сумма комплексных амплитуд (комплексных действующих значений) токов всех ветвей, подключенных к каждому из узлов электрической цепи, равна нулю:

Здесь - номер ветви, подключенной к рассматриваемому узлу.

Второй  закон Кирхгофа в комплексной  форме определяет связь между комплексными изображениями напряжений ветвей, входящих в произвольный контур электрической цепи: сумма комплексных амплитуд (комплексных действующих значений) напряжений всех ветвей, входящих в любой контур моделирующей цепи, равна нулю:

Здесь – номер ветви, входящей в рассматриваемый контур.

В ряде случаев  удобно использовать другую формулировку второго закона Кирхгофа в комплексной форме: сумма комплексных изображений напряжений на всех элементах любого контура моделирующей цепи равна сумме комплексных изображений э. д. с., всех входящих в контур источников напряжения:

Здесь , – комплексные изображения напряжений всех элементов контура, за исключением источников напряжения; , – комплексные изображения э. д. с. источников напряжения, действующих в рассматриваемом контуре.

Используя выражения  для законов Ома и Кирхгофа в комплексной форме, можно составить систему уравнений электрического равновесия цепи для комплексных изображений токов и напряжений. В отличие от системы уравнений электрического равновесия, составленных для мгновенных значений токов и напряжений, уравнения электрического равновесия для комплексных изображений токов и напряжений являются алгебраическими. Решение таких уравнений намного проще, чем решение дифференциальных уравнений электрического равновесия, составленных для мгновенных значений токов и напряжений. Таким образом, с использованием комплексных схем замещения и составленных на их основании уравнений электрического равновесия цепи в комплексной форме анализ цепи переменного тока становится не сложнее анализа цепи постоянного тока и может производиться с использованием тех же приемов.

Анализ цепей  методом комплексных амплитуд содержит следующие этапы:

1. замена гармонических токов и напряжений всех ветвей их комплексными изображениями, а эквивалентной схемы цепи для мгновенных значений – комплексной схемой замещения;
2. сопоставление уравнений электрического равновесия цепи для комплексных изображений токов и напряжений на основе законов Ома и Кирхгофа в комплексной форме;
3. решение системы уравнений электрического равновесия относительно комплексных изображений интересующих токов и напряжений;
4. переход от комплексных изображений токов и напряжений к их оригиналам.

2.2 Анализ фильтра верхних частот.

В данной главе будет рассмотрен теоретический расчет характеристик RC-фильтра верхних частот (рис. 25) и RL-фильтра верхних частот (рис. 26). Данные цепи состоит из резистора сопротивлением 1 кОм, катушки индуктивности с индуктивностью 100 мГн и конденсатора емкостью 1 мкФ.

Рис. 25 – Принципиальная электрическая схема RC-фильтра верхних частот.

Передаточная  характеристика для RC-фильтра верхних частот в общем виде представляет собой отношение:

 

Где

 

Комплексный коэффициент  передачи напряжения принимает вид:

Где

Подставим (2.14) в (2.13):

Упростим полученное выражение:

Выделим действительную и мнимую части:

Где

Для расчета  АЧХ воспользуемся формулой:

.

Для расчета  ФЧХ воспользуемся формулой:

При угловой частоте среза  АЧХ RC-фильтра примет значение:

 

Преобразуем это  выражение:

 

 

В свою очередь

 

Из двух последних получим частоту среза :

 

 

Рис. 26 – Принципиальная электрическая схема RL-фильтра верхних частот.

Передаточная  характеристика для RL-фильтра верхних частот в общем виде представляет собой отношение:

 

Где

 

Комплексный коэффициент  передачи напряжения принимает вид:

Где

Подставим (2.17) в (2.16):

Упростим полученное выражение:

Выделим действительную и мнимую части

Где

Для расчета  АЧХ воспользуемся формулой:

Для расчета  ФЧХ воспользуемся формулой:

При угловой частоте среза  АЧХ RC-фильтра примет значение:

 

Преобразуем это  выражение:

 

 

 

В свою очередь

 

Из двух последних  получим частоту среза :

 

Полученные  расчетные соотношения позволяют  производить теоретический расчет частотных характеристик простейших фильтров высоких частот на основе R, L, C элементов по их заданным параметрам.

 

3. Практический  расчет частотных характеристик  фильтров верхних частот