Производственные функции

     Частным случаем двухфакторной ПФ является функция Кобба-Дугласа

,

где -константа, , , .

        Покажем, что для функции Кобба-Дугласа  выполняются формальные свойства 1-4.

1) Из экономического смысла следует, что ПФ Кобба –Дугласа определена при неотрицательных значениях независимых неизвестных    и принимает неотрицательные значения ;

2) если хотя бы одна из компонент ,  то значение ПФ равно нулю

-при  отсутствии одного из ресурсов  производство невозможно;

3) первые частные производные положительны

                                       , т.к.

, т.к. 

-с ростом  ресурсов выпуск растет.

4) чистые вторые частные производные неположительны

, т.к. 

, т.к. 

-с увеличением  ресурсов скорость роста выпуска  замедляется; 

   смешанные вторые частные производные неотрицательны

, т.к.  ;

5) ПФ Кобба – Дугласа является  однородной функцией 

                                       ,

со степенью однородности .

     Таким образом, показано, что ПФ Кобба-Дугласа является неоклассической.

Рассмотрим  основные экономико-математические характеристики ПФ Кобба-Дугласа.

Частные производные выпуска  по факторам называются предельными продуктами или предельными (маржинальными) эффективностями факторов и представляют собой прирост выпуска на малую единицу прироста фактора:

= , так как , - предельный продукт фондов, предельная фондоотдача (предельная эффективность фондов);

= , так как - предельный продукт труда, предельная производительность труда (предельная эффективность труда).

Для мультипликативной  функции  вытекает, что предельная фондоотдача пропорциональна средней фондоотдаче = с коэффициентом ,  т.е.  

а предельная производительность труда - средней  производительности труда  с коэффициентом :       

.

Следовательно,  при  предельные отдачи факторов меньше средних.

      Перейдём  теперь к экономической интерпретации  параметров мультипликативной производственной функции.

      Параметр  обычно интерпретируется как параметр нейтрального технического прогресса: при тех же , выпуск в точке тем больше, чем больше .

      Для интерпретации  , необходимо ввести понятие эластичностей как логарифмических производных факторов:

        

Следовательно, - эластичность выпуска по основным фондам, а - эластичность выпуска по труду.

      Коэффициент эластичности фактора показывает, на сколько процентов увеличится выпуск, если соответствующий фактор возрастет на 1%.

      Если  , то имеет место трудосберегающий (интенсивный) рост, в противном случае - фондосберегающий (экстенсивный) рост.

Рассмотрим  темп роста выпуска 

Если  возвести обе части в степень  получим соотношение

в котором  справа - взвешенное среднее геометрическое темпов роста затрат ресурсов, при  этом в качестве весов выступают  относительные эластичности факторов

     

При выпуск растет быстрее, чем в среднем растут факторы, а при - медленнее. В самом деле, если факторы растут (т.е. то согласно (7) растет и выпуск (т.е. ), следовательно, при

т.е. действительно, темп роста выпуска больше среднего темпа роста факторов. Таким образом, при  производственная функция описывает растущую экономику.

      Для мультипликативной производственной функции изокванта имеет вид

 или  ,

т.е. является степенной гиперболой, асимптотами  которой служат оси координат.

Для разных , лежащих на конкретной изокванте, выпуск равен одному и тому же значению , что эквивалентно утверждению о взаимозаменяемости ресурсов.

Поскольку на изокванте  , то

В этом соотношении  поэтому и имеют разные знаки: если , что означает сокращение объёма труда, то , т.е. выбывший в объёме   труд замещается фондами в объеме .

Поэтому естественно следующее определение.

Предельной  нормой замены труда фондами называется отношение модулей дифференциалов основных фондов и труда:

соответственно, предельная норма замены фондов трудом

 при этом 

Для мультипликативной  функции норма замещения труда  фондами пропорциональна фондовооруженности:

,       .

Однако  проблема соизмерения настоящего и  прошлого труда до сих пор не решена удовлетворительным образом. Поэтому  воспользуемся переходом к относительным (безмерным) показателям.

В относительных  показателях мультипликативная  производственная функция записывается следующим образом:

,

где значения выпуска и затрат фондов и труда в базовый год.

Безразмерная  форма  легко приводится к первоначальному  виду

.

Таким образом, коэффициент получает естественную интерпретацию - это коэффициент, который соизмеряет ресурсы с выпуском.

Если  обозначить выпуск и ресурсы в  относительных (безразмерных) единицах измерения через   , , , то производственная функция в форме запишется так:

.

Найдем  теперь эффективность экономики, представленной производственной функции. Напомним, что  эффективность - это отношение результата к затратам. В нашем случае два вида затрат: затраты прошлого труда в виде фондов и настоящего труда . Поэтому имеются два частных показателя эффективности: - фондоотдача, - производительность труда.

      Поскольку частные показатели эффективности  имеют одинаковую размерность (точнее, одинаково безразмерны), то можно  находить любые средние из них. Так  как производственная функция выражена в мультипликативной форме, то и среднее значение естественно взять в такой же форме, т.е. среднегеометрическое значение.

Итак, обобщённый показатель экономической эффективности  есть взвешенное среднее геометрическое частных показателей экономической  эффективности:

,

в котором  роль весов выполняют относительные  эластичности , , т.е. частные эффективности участвуют в образовании обобщенной эффективности с такими же приоритетами, с какими входят в производственную функцию соответствующие ресурсы.

      Вытекает, что с помощью коэффициента экономической  эффективности производственная функция  преобразуется в форму, внешне совпадающую  с функцией Кобба-Дугласа:

,

но в  соотношении  - не постоянный коэффициент, а функция от  .

Поскольку масштаб производства М проявляется в объеме затраченных ресурсов, то по тем же соображениям, которые были приведены при расчете обобщенного показателя экономической эффективности, средний размер использованных ресурсов (т.е. масштаб производства)

.

Вытекает, что выпуск есть произведение экономической эффективности и масштаба производства:

. 

1.7. Иллюстративная задача.

      Экономическая постановка.  Заданы статистические данные за 1981-1995 г., отражающие затраты  капитала и труда на  выпуск  продукции в США

Таблица  1

Год	1981	1982	1983	1984	1985	1986	1987	1988		1989	1990	1991	1992		1993		1994	1995
К	21.1	23.6	24.43	24.8	27	28.6	31		33.1	33.7	34	35.2		36.4		37.2	39.3	41.2
L	52.1	52.1	60.7	65.7	69.9	74.6	77.8		78	83	86.9	89.2		94.6		97	100.4	103.7
Y	184.2	192.7	221.01	236.9	257.7	277.95	297.0		305.6	323.57	336.93	356.1		370.78		381.65	367.12	419.64

Требуется

1. построить мультипликативную производственную функцию валового внутреннего продукта США;

2. установить адекватность построенной модели заданным статистическим данным;
3. сделать прогноз на 1996 г. при условии, что в 1966 г. прогнозируемые объемы затрат капитала и труда составят , оценить надежность прогноза с уровнем значимости 5%;
4. на основе построенной производственной функции  проанализировать производственную систему США.

Решение.

      1.  Будем предполагать, что ПФ мультипликативна, т.е. имеет вид:  

             ,       

где - коэффициент нейтрального технического прогресса; -  коэффициенты эластичности по  фондам и труду.

Мультипликативная производственная функция определяется по временному ряду выпусков и затрат ресурсов , , где - длина временного ряда, при этом предполагается, что имеет место соотношений

,

где - корректировочный случайный коэффициент, который приводит в соответствие фактический и расчетный выпуск и отражает флюктуацию результата под воздействием других факторов, .

Поскольку в логарифмах эта функция линейна

  , где  , ,

получаем  модель линейной множественной регрессии

где ,  , .

Преобразования  реальных статистических данных в модельную  информацию, т.е. расчет численных значений ПФ на базе статистических данных называется параметризацией ПФ. Оценку параметров ПФ произведем с помощью метода наименьших квадратов.

Для рассматриваемой  линейной модели система нормальных уравнений для определения коэффициентов  , , имеет вид:

                                                                        (1)

      Для вычисления коэффициентов системы  составим расчетную таблицу 2.

Таблица  2.

			z1=	z2=	y=	Z12	Z1*Z2	Z22	y*Z1	y*Z2
21.1	52.1	184.25	3.04	3.95	5.21	9.298066	12.0542	15.62751	15.9060	20.6210
23.6	52.1	192.78	3.16	3.95	5.26	9.993481	12.4969	15.62751	16.6331	20.7998
24.43	60.7	221.01	3.19	4.10	5.39	10.21321	13.1218	16.85877	17.2517	22.1647
24.8	65.7	236.95	3.21	4.18	5.46	10.30952	13.4377	17.51505	17.5564	22.8835
27	69.9	257.74	3.29	4.24	5.55	10.86254	13.9976	18.03757	18.2983	23.5795
28.6	74.6	277.95	3.35	4.31	5.62	11.24534	14.4603	18.59456	18.8711	24.2664
31	77.8	297.00	3.43	4.35	5.69	11.79227	14.9520	18.95855	19.5522	24.7913
33.1	78	305.60	3.49	4.35	5.72	12.24673	15.2464	18.98091	20.0253	24.9303
33.7	83	323.57	3.51	4.41	5.77	12.37279	15.5432	19.52615	20.3291	25.5384
34	86.9	336.93	3.52	4.46	5.81	12.43522	15.7443	19.93406	20.5230	25.9844
35.2	89.2	348.93	3.56	4.49	5.85	12.68105	15.9922	20.16801	20.8495	26.2935
36.4	94.6	370.78	3.59	4.54	5.91	12.92092	16.3540	20.69938	21.2641	26.9140
37.2	97	381.65	3.61	4.57	5.94	13.07769	16.5435	20.92798	21.4972	27.1944
39.3	100.4	401.16	3.67	4.61	5.99	13.47789	16.9212	21.24438	22.0066	27.6290
41.2	103.7	419.64	3.71	4.64	6.03	13.82678	17.2591	21.54354	22.4572	28.0319
	Всего		51.41	65.22	85.28	176.7535	224.125	284.2439	293.021	371.622