Математическая теория игр

ВВЕДЕНИЕ

Моделирование - это исследование, какого либо объекта или системы объектов путем построения и изучения их моделей

Моделирование представляет собой один из основных методов познания, является формой отражения действительности и заключается  в выяснении или воспроизведении тех или иных свойств реальных объектов, предметов и явлений с помощью других объектов, процессов, явлений, либо с помощью абстрактного описания в виде изображения, плана, карты, совокупности уравнений, алгоритмов и программ.

Замена одного объекта (процесса или явления) другим, но сохраняющим все существенные свойства исходного объекта (процесса или явления), называется моделирование, а сам заменяющий объект называется моделью исходного объекта

Каждый объект имеет большое количество различных свойств. В процессе построения модели выделяются главные, наиболее существенные, свойства. Так, модель самолёта должна иметь геометрическое подобие оригиналу, модель атома - правильно отражать физические взаимодействия, архитектурный макет города - ландшафт и т.д.

Для того, чтобы  некоторое действие считалось моделированием необходимо:

1. наличие цели моделирования (познание, исследование, презентация, проектирование), то есть для чего производится моделирование;
2. наличие моделируемого объекта (мысленного или реального) - ЧТО моделируется;
3. наличие самой модели - другой объект, заменяющий в некотором отношении моделируемый объект (объект-оригинал).

В зависимости  от природы моделируемого объекта  и цели моделирования выделяются моделируемые параметры - те признаки и свойства объекта-оригинала, которыми должна обязательно обладать модель.

Например, на полигоне испытывают автомобиль, положив на заднее сиденье три мешка с  песком. Налицо ситуация моделирования: объект моделирования - пассажиры, моделирующий объект - мешки с песком, цель моделирования - изучение движения автомобиля с пассажирами. Моделируемый параметр пассажира - вес (остальные параметры игнорируются).

Если же с  помощью того же автомобиля исследуются  возможные повреждения, которые  водитель может получить при аварии, то помимо веса необходимо моделировать и форму тела, тогда мешок с песком не подойдет, нужно взять манекен.

В своей деятельности - научной, практической, художественной - человек очень часто использует модели, т.е. создаёт образ того объекта (процесса или явления), с которым ему приходится иметь дело. К созданию моделей прибегают, когда исследуемый объект либо очень велик (модель Солнечной системы), либо очень мал (модель атома), когда процесс очень быстр (модель двигателя внутреннего сгорания) или очень медленен (геологические модели), исследование объекта может привести к его разрушению (модель самолёта) или очень дорого (архитектурный макет города) и т.д.

Модель   это  некий новый объект, который отражает некоторые существенные стороны изучаемого объекта, явления или процесса.

Модель —  по такой материальный или мысленно представляемый объект, который замещает объект-оригинал с целью его исследования, сохраняя некоторые важные для данного  исследования типичные черты и свойства оригинала.

Модель в  широком смысле - это любой образ, аналог мысленный или установленный (изображение. описание, схема, чертеж, карта и т. п. какого либо объема, процесса или явления, используемый в качестве его заменителя или  представителя. Сам объект, процесс или явление называется оригиналом данной модели.

Хорошо построенная  модель, как правило, доступнее для  исследования, чем реальный объект (например, такой, как экономика страны, Солнечная система и т.п.). Другое, не менее важное назначение модели состоит в том, что с ее помощью выявляются наиболее существенные факторы, формирующие те или иные свойства объекта. Модель также позволяет учиться управлять объектом, что важно в тех случаях, когда экспериментировать с объектом бывает неудобно, трудно или невозможно (например, когда эксперимент имеет большую продолжительность или когда существует риск привести объект в нежелательное или необратимое состояние).

Однако разные науки исследуют объекты под  разным углом зрения и строят различные  типы моделей. Возьмём в качестве примера человека, в разных пауках он исследуется в рамках различных моделей. В рамках механики его можно рассматривать как материальную точку, в химии - как объект, состоящий из различных химических веществ, в биологии - как систему, стремящуюся к самосохранению и т.д. С другой стороны, разные объекты могут описываться одной моделью. Так, в механике различные материальные тела могут рассматриваться как материальные точки. Таким образом, можно сделать вывод, что модель необходима для того, чтобы:

1.ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ  ЧАСТЬ

1.1.Математическая теория игр

Математические  науки выделили собственную дисциплину, которая исключительно исследует игровые явления как явления,  поддающиеся обработке  математическим аппаратом. Истоки теоретико-игровых рассуждений восходят с работам Баше де Мезирака (середина 17 века). Сама же идея создания математической теории конфликта - теории игр - формируется с начала 20 века, о чем свидетельствуют труды К. Бутона, Э. Ласкера, Е. Мура, Э. Цермело, Э. Бореля, Г. Штейнгауза.  С этого момента начинаются появляться работы по теории игр, которые начинают применяться в математике, экономике, биологии, кибернетики.

Под игрой можно понимать вообще всякий вид соревнования с  определенной системой правил, условий  и ограничений. в соответствии с  которыми действуют участники игры, добиваясь выигрыша

Теория игр представляет собой раздел математики, занимающейся исследованием вопросов поведения и разработкой оптимальных правил (стратегий) поведения каждого из участников в конфликтной ситуации.

Игра представляется как  модель любого конфликта, то есть такой  ситуации, в которой задействованы  несколько участников с различными интересами, мотивами, установками. Для теории игр безразлично кто или что скрывается за игроками: одушевленные или неодушевленные объекты, природа, элемент социального или  биологического бытия. Для нее основное то, имеется конфликт и игроки или даже один игрок, которым она предлагает  математически точно рассчитанные действия в условиях разной степени неопределенности. Человека же втягивает в игру   стремление улучшить свое состояние и  позицию в игре и через игру. Неопределенность как магнит притягивает к себе не только игрока, но и наблюдателя, зрителя. «Силой, движущей игроков, является надежда на выигрыш. Привлекательность игр состоит в значительной степени в неопределенности результата. Эта неопределенность побуждает людей вступать в конфликтные ситуации, участвовать в игре не только в качестве игроков, но и в качестве болельщиков». По Ж. Паскалеву получается, сами люди сначала вступают в конфликт, чтобы в условиях неопределенности выиграть, то есть признак выигрыша  обязательно присутствует в игре и он является вторичным, производным от самого конфликта. Конфликт должен закончится определенным результатом: чьим-то выигрышем, или проигрышем,  или же ничейным результатом.

Итак, в  теории игр в  качестве базового признака игры принят  признак - конфликт. То, что человеческая жизнь есть череда бесконечных конфликтов можно проследить на следующем факте:  «За 5600  лет летописной истории человечество пережило около 14 600 войн, примерно 2,6 – ежегодно». Далее авторы первого издания книги «Агрессия», Р. Бэрон и Д. Ричардсон указывают, что «только десяти из ста восьмидесяти пяти поколений, живших в этот период, посчастливилось провести свои дни,  не познав  ужасы войны» (    286). Каждый век, каждая эпоха получила свою долю насилия через военные конфликты,  в том числе и  уходящий двадцатый век. Все большее число исследователей склоняется к мысли, что конфликт есть выражение негативного аффекта. Все источники аффекта невозможно устранить из наличествующего физического и социального мира нечто, что само по себе присуще человеческому общежитию. « Конфликт, по мнению А.Г. Здравомыслова, – это важнейшая сторона взаимодействия людей в обществе, своего рода клеточка социального бытия. Это форма отношений между потенциальными или актуальными субъектами социального действия, мотивация которых  обусловлена противостоящими ценностями и нормами, интересами и потребностями». Более того, автор специально отмечает, «... что конфликт есть нормальное явление общественной жизни; выявление  и развитие конфликта в целом – полезное и нужное дело».

Другой известный специалист по конфликтологии  А.Я. Анцупов  отмечая, что понятие конфликт относится  к понятиям «резиновым»,  имеющим  очень большой объем, заключает: «...конфликт в самом широком смысле включает все, начиная с войны и заканчивая выбором между молочным и сливочным мороженым...». Конфликт может разворачиваться на внутриличностном уровне, межличностном,  между социальными группами, государствами и коалициями государств.

Тем самым, логично вытекает вывод о широкой распространенности  конфликтов и последующей необходимости их разрешения, хотя бы в рамках математической теории  игр. Практика же исторического процесса довольно убедительно показывает, что на сегодняшний день  человечество так и не научилось избегать из множества конфликтов те, которые напрямую угрожают самому существованию человека:  политических, религиозных, военных, этнических, расовых, технологических, информационных и других. Б.С. Галимов и А.И. Селиванов      высказываются более однозначно: « Конфликты возникают естественным и искусственным путем. (Интересно, например, что ни один из возникших когда-либо в мире национальных конфликтов не был разрешен.)» Тем самым, акцент делается не на самом конфликте, формирование которого никак нельзя избежать, а на способах выхода из него, перевода его в неопасное состояние, которое может быть контролируемым и, следовательно, изменяемым самим человеком.

Математическая теория игр  накопила значительный познавательный потенциал теоретического разрешения конфликтных ситуаций в рамках своей теории. Дж.фон Нейман – основоположник самой науки, резонно замечает, что «...если теория шахмат была бы уже полностью известна, то в эту игру было  бы неинтересно играть». Однозначно, что создав единожды исчерпывающей алгоритм игры, разрешения конфликта, теория превращает игровую ситуацию в рутинную, механическую деятельность. Игра как бы подготавливает труд, создает для него условия, служит основой. То, что сначала осваивается в игре и как игра, далее переходит в обыденное трудовое действие. В этом игра предшествует труду как подготовка и само условие результативного труда.

Крупнейший  советский математик Н.Н.Воробьев так определяет понятие конфликт: «Содержательно конфликт естественно  понимать как явление, применительно  к которому оказываются осмысленными вопросы о том, кто и как в этом явление участвует, какие у этого явления могут быть исходы, а также кто и как в этих исходах заинтересован.»(  толстый , 19). Теория игр есть теория принятия оптимальных решений в условиях конфликта, причем сознательно оговаривается, что: «...теория игр, имея дело с принятием оптимальных решений, относится к нормативному, а   отнюдь не к дескриптивному аспекту познания конфликтов. Тем более она не касается описаний тех или иных игр в житейском  смысле  этого слова, также являющихся конфликтами или, если угодно, их имитациями. Точно так же теория игр лишь в ограниченной мере затрагивает  конструктивный аспект познания реальных конфликтов ( и в том числе их имитаций  – игр) и не призвана указывать рецепты победы, хотя и может способствовать их выработке.».

С одной стороны, математическая теория игр претендует на всеобщий охват явлений и процессов, в которых наличествует конфликт, а с другой стороны, жестко оговаривает рамки своей деятельности – что ни за что фактически  не отвечает. Теория конфликта – одно явление, практика недопущения опасных последствий конфликта совершенно иное. К тому же можно привести десятки, сотни наименований игр, исследователи которых вообще не выделяют хотя бы даже в качестве просто признака признак конфликтности. Многие игры  просто играются, как нечто само собой разумеющееся, как само собой данное естественным ходом эволюции.. К примеру, детские игры с куклой, со сверстниками, любовные игры молодоженов, брачные игры млекопитающих и птиц. Они  играются и играющие не ставят целью разрешения конфликта, который в этих случаях явно не проявляется.

 В теории  игры совершенно игнорируется  духовная структура  играющего,  играющих. Понятие игрок лишь фиксирует само присутствие этого элемента игры и не более того. Как только какая-то игра математически обрабатывается, и создается безошибочный алгоритм действия игрока, так сразу же она перестает быть игрой, превращаясь в строго определенную последовательность действий, ведущих или к победе, или к ничье или к проигрышу. Так М.З.Грузман указывает, что к примеру,   в игре Р.Гаскела и М.Ванигана «существует простой алгоритм, зная который игрок, имеющий право выбора начинающего игру, всегда обеспечивает себе победу». После выявления такого алгоритма для знающего его игра уже теряет свою привлекательность как нечто иррациональное, духовное, она превращается в строгий набор фиксированных действий.

Однако, даже математическая теория игр не способна стопроцентно предопределить исход некоторых конфликтов. Представляется возможным выделить три основные причины неопределенности исхода игры (конфликта).

Во-первых, это  игры, в которых имеется реальная возможность исследования всех или, по крайней мере, большинства вариантов игрового поведения  из них одного наиболее истинного, ведущего к выигрышу. Неопределенность вызвана значительным числом вариантов, сложностью их ранжирования по признаку истинности. Человеческий ум в ограниченный отрезок времени просто не в состоянии равным образом исследовать абсолютно все варианты (к примеру, японская игра ГО, русские и международные шашки, британские реверси).

Во-вторых, непрогнозируемое игроками случайное влияние факторов на игру. Эти факторы оказывают  решающее воздействие на исход игры и лишь в  малой степени могут быть или вообще не могут быть контролируемыми и определяемыми играющими. Окончательный исход игры лишь в малой, крайне незначительной степени определяется самими действиями игроков. « Игры, исход которых оказывается неопределенным в силу случайных причин, называются  а з а р т н ы м и (от французского  hasard – случай). Исход игры всегда носит лишь вероятностный, предположительный  характер (рулетка, игра в кости, игра в «орлянку»).