Построение однофакторных уравнений регрессии

 

 

 

t _табл =2,0687.

Тогда для коэффициентов  регрессии и корреляции нулевая  гипотеза не отклоняется и признается случайная природа  формирования параметров a ,b и r.

 

 

 

5. Вычислить средний коэффициент эластичности.

 

Средний  коэффициент эластичности  Э показывает, на сколько процентов по совокупности изменится в среднем результат у от своей средней величины, если фактор изменится на 1 % от своего среднего значения. Коэффициент эластичности Э вычисляется по формуле

                                                                  

где f'(x) — первая производная функции.

Э=	0,279592082

 

 

_{Полученное  значение} =0,28-коэффициент эластичности показывает, что при увеличении из фактора Х на 1 %  от своего среднего уровня результативный признак У увеличивается на 28% от своего среднего  уровня.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАДАНИЕ 3.

ПОСТРОЕНИЕ  НЕЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ

1. Построить  уравнение парной регрессии в  нелинейной форме – степенной,  если наблюдаемые значения фактора  и результативный показатель принимают  табличные  (по вариантам) значения:

2.Провести дисперсионный  анализ.

3. Оценить статистическую  значимость уравнения.

     4. Оценить статистическую значимость  параметров регрессии.

     5. Вычислить  средний коэффициент Эластичности.

 

 

1. Построить  уравнение парной регрессии.

 Для расчета параметров  a и b линейной регрессии y=a+bx решаем систему нормальных уравнений относительно a и b :

Приведём линеаризацию степенной модели:

     

Расчеты параметров  представлены в таблице:

 

у	х	lny	lnx
1130	1100	7,029972912	7,003065459
1133	1115	7,032624261	7,016609684
1150	1112	7,047517221	7,013915475
1142	1101	7,04053639	7,003974137
1142	1100	7,04053639	7,003065459
1133	1100	7,032624261	7,003065459
1150	1114	7,047517221	7,01571242
1147	1110	7,044905117	7,012115294
1140	1103	7,038783541	7,005789019
1144	1113	7,042286172	7,014814351
1150	1130	7,047517221	7,029972912
1143	1110	7,041411664	7,012115294
1146	1121	7,044032897	7,021976423
1145	1120	7,043159916	7,021083964
1140	1116	7,038783541	7,017506143
1135	1112	7,03438793	7,013915475
1148	1110	7,045776577	7,012115294
1149	1100	7,046647278	7,003065459
1133	1111	7,032624261	7,01301579
1150	1123	7,047517221	7,023758955
1145	1110	7,043159916	7,012115294
1143	1126	7,041411664	7,026426809
1133	1118	7,032624261	7,019296654
1150	1117	7,047517221	7,018401799
1122	1110	7,022868086	7,012115294

 

C помощью пакета Анализ данных проведем регрессионный анализ:

Y-пересечение	545,9820594
Переменная X 1	0,332073054

 

 

Уравнение регрессии  имеет вид:  .

Значение коэффициента регрессии  b= 0,332 показывает, что при увеличении фактора Х на 1 единицу от своего среднего уровня результативный признак У увеличивается на 0,332 единицу от своего среднего  уровня.

Тесноту связи  изучаемых явлений оценивает  линейный коэффициент парной корреляции для линейной регрессии :   .

Рассчитаем  линейный коэффициент парной корреляции:

-связь прямая, то есть увеличение  одной из переменных ведет  к увеличению условной средней  другой и достаточно тесная.

Подставляя  в уравнение регрессии фактические значения x, определим теоретические значения  . Найдем величину средней ошибки аппроксимации _.

Расчеты  представлены в таблице:

y^	y^-y	(y^-y)^2
911,254	-218,746	47849,812
916,249	-216,751	46980,978
915,253	-234,747	55106,035
911,588	-230,412	53089,568
911,254	-230,746	53243,716
911,254	-221,746	49171,288
915,917	-234,083	54794,715
914,589	-232,411	54015,103
912,256	-227,744	51867,218
915,585	-228,415	52173,247
921,204	-228,796	52347,535
914,589	-228,411	52171,811
918,236	-227,764	51876,516
917,905	-227,095	51572,075
916,581	-223,419	49916,222
915,253	-219,747	48288,632
914,589	-233,411	54480,926
911,254	-237,746	56523,160
914,921	-218,079	47558,464
918,897	-231,103	53408,742
914,589	-230,411	53089,457
919,887	-223,113	49779,566
917,243	-215,757	46550,983
916,912	-233,088	54330,010
914,589	-207,411	43019,528

 

Средняя ошибка аппроксимации А равна:

Чем меньше рассеяние  эмпирических точек от теоретических, тем меньше средняя ошибка аппроксимации. Ошибка аппроксимации меньше 15% свидетельствует о хорошем качестве модели.

A=

0,198308163

19,83081629

 

 

2. Провести  дисперсионный анализ полученных  результатов.

 

Задача дисперсионного анализа состоит в проверке нулевой гипотезы H(0), о статистической незначимости уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи.

Анализ выполняется  при сравнении фактического и  табличного (критического) значений  F-критерий Фишера  Fтабл  и  Fфакт. Fфакт определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы:

Находим общую, остаточную и факторную дисперсию :

, где

  — общая дисперсия результативного признака ;

  — остаточная дисперсия, определяемая из уравнения регрессии .

Так как  -фактическое дисперсия результативного признака.

Расчеты дисперсионного анализа представлены в таблице:

ABS(y^-y)	ABS(y^-y)/y	y-ycp	(y-ycp)^2	(у-y^)^2
218,746	0,194	-11,72	137,3584	47849,812
216,751	0,191	-8,72	76,0384	46980,978
234,747	0,204	8,28	68,5584	55106,035
230,412	0,202	0,28	0,0784	53089,568
230,746	0,202	0,28	0,0784	53243,716
221,746	0,196	-8,72	76,0384	49171,288
234,083	0,204	8,28	68,5584	54794,715
232,411	0,203	5,28	27,8784	54015,103
227,744	0,200	-1,72	2,9584	51867,218
228,415	0,200	2,28	5,1984	52173,247
228,796	0,199	8,28	68,5584	52347,535
228,411	0,200	1,28	1,6384	52171,811
227,764	0,199	4,28	18,3184	51876,516
227,095	0,198	3,28	10,7584	51572,075
223,419	0,196	-1,72	2,9584	49916,222
219,747	0,194	-6,72	45,1584	48288,632
233,411	0,203	6,28	39,4384	54480,926
237,746	0,207	7,28	52,9984	56523,160
218,079	0,192	-8,72	76,0384	47558,464
231,103	0,201	8,28	68,5584	53408,742
230,411	0,201	3,28	10,7584	53089,457
223,113	0,195	1,28	1,6384	49779,566
215,757	0,190	-8,72	76,0384	46550,983
233,088	0,203	8,28	68,5584	54330,010
207,411	0,185	-19,72	388,8784	43019,528

 

 

 

δ^2=	58,04333333
δ^2ост=	55791,5351
δ^2факт=	1283205,307

 

 

3. Оценить  статистическую значимость уравнения.

Для проверки основной гипотезы используют F-критерий со статистикой

где — число наблюдений; m— число оцениваемых параметров.

Указанная статистика имеет распределение Фишера —  Снедекора. По таблицам распределения  Фишера — Снедекора находят критическое  значение для F-критерия в зависимости от уровня значимости α и двух степеней свободы   и . Значение F-критерия _., рассчитанное по данным выборки, сравнивают с критическим значением . Если то принимают гипотезу о незначимости уравнения регрессии. Если же , то гипотезу о незначимости уравнения регрессии отвергают и принимают альтернативную гипотезу о статистической значимости уравнения регрессии.

Рассчитаем F-критерий:

F=	22,97503134

 

 

 

Fфакт> Fтабл=0,127.

Т.к. Fтабл  меньше Fфакт, то гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик  не принимается и  признается их статистическая значимость и надежность.

 

4.  Оценить статистическую значимость параметров регрессии.

Для оценки статистической значимости  коэффициента регрессии и корреляции рассчитываются t-критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Выдвигается гипотеза H 0  о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля.

 

t табл для числа степеней свободы n-2=20   и a=0,05 составит 2,067.

Определим случайные  ошибки m(a) и m(b),  m(r). Расчеты параметров  представлены в таблице:

 

y	x	y^	y^-y	(y^-y)^2
1130	1100	911,254	-218,746	47849,812
1133	1115	916,249	-216,751	46980,978
1150	1112	915,253	-234,747	55106,035
1142	1101	911,588	-230,412	53089,568
1142	1100	911,254	-230,746	53243,716
1133	1100	911,254	-221,746	49171,288
1150	1114	915,917	-234,083	54794,715
1147	1110	914,589	-232,411	54015,103
1140	1103	912,256	-227,744	51867,218
1144	1113	915,585	-228,415	52173,247
1150	1130	921,204	-228,796	52347,535
1143	1110	914,589	-228,411	52171,811
1146	1121	918,236	-227,764	51876,516
1145	1120	917,905	-227,095	51572,075
1140	1116	916,581	-223,419	49916,222
1135	1112	915,253	-219,747	48288,632
1148	1110	914,589	-233,411	54480,926
1149	1100	911,254	-237,746	56523,160
1133	1111	914,921	-218,079	47558,464
1150	1123	918,897	-231,103	53408,742
1145	1110	914,589	-230,411	53089,457
1143	1126	919,887	-223,113	49779,566
1133	1118	917,243	-215,757	46550,983
1150	1117	916,912	-233,088	54330,010
1122	1110	914,589	-207,411	43019,528

 

 

 

t _табл =2,0687.

Тогда для коэффициентов  регрессии и корреляции нулевая  гипотеза не отклоняется и признается случайная природа  формирования параметров a ,b и r.

 

5. Вычислить средний коэффициент эластичности.

 

Средний  коэффициент эластичности  Э показывает, на сколько процентов по совокупности изменится в среднем результат у от своей средней величины, если фактор изменится на 1 % от своего среднего значения. Коэффициент эластичности Э вычисляется по формуле

                                                                  

где f'(x) — первая производная функции.

Э=	0,323452162

 

 

_{Полученное значение} =0,32-коэффициент эластичности показывает, что при увеличении из фактора Х на 1 %  от своего среднего уровня результативный признак У увеличивается на 32% от своего среднего  уровня.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАДАНИЕ 4.

ПОСТРОЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ

1. Построить  уравнение парной регрессии в  нелинейной форме - гиперболической,    если наблюдаемые значения фактора  и результативный показатель  принимают  табличные  (по вариантам)  значения:

2.Провести дисперсионный  анализ.

3. Оценить статистическую значимость уравнения.

     4. Оценить статистическую значимость  параметров регрессии.

     5. Вычислить средний коэффициент  Эластичности.

РЕШЕНИЕ

 

1. Построить  уравнение парной регрессии.

Для расчета  параметров a и b линейной регрессии y=a+bx решаем систему нормальных уравнений относительно a и b :

 

    n*a + b*∑x=∑y;

    a*∑x + b∑x²=∑y*x;

 

Приведём линеаризацию гиперболической модели:

.

Обозначим z=

 

Расчеты параметров  представлены в таблице:

x	y	z	у^
1100	1130	0,000909091	506,3970198
1115	1133	0,000896861	506,3970146
1112	1150	0,000899281	506,3970156
1101	1142	0,000908265	506,3970195
1100	1142	0,000909091	506,3970198
1100	1133	0,000909091	506,3970198
1114	1150	0,000897666	506,3970149
1110	1147	0,000900901	506,3970163
1103	1140	0,000906618	506,3970188
1113	1144	0,000898473	506,3970153
1130	1150	0,000884956	506,3970095
1110	1143	0,000900901	506,3970163
1121	1146	0,000892061	506,3970125
1120	1145	0,000892857	506,3970129
1116	1140	0,000896057	506,3970142
1112	1135	0,000899281	506,3970156
1110	1148	0,000900901	506,3970163
1100	1149	0,000909091	506,3970198
1111	1133	0,00090009	506,397016
1123	1150	0,000890472	506,3970118
1110	1145	0,000900901	506,3970163
1126	1143	0,000888099	506,3970108
1118	1133	0,000894454	506,3970135
1117	1150	0,000895255	506,3970139
1110	1122	0,000900901	506,3970163