Автор работы: Пользователь скрыл имя, 15 Ноября 2011 в 00:45, курс лекций
Конспект лекций составлен на основе государственных образовательных стандартов по дисциплинам «Системный анализ» и «Теория систем и системный анализ», а также рабочих программ соответствующих специальностей, утвер-жденных в 2004 г.
ВВЕДЕНИЕ......................................................................................................................5
ГЛАВА 1 ОСНОВЫ СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА.......................................................6
1.1. Основные понятия системного анализа..............................................................6
1.1.1. Задачи системного анализа.............................................................................6
1.1.2. Система.............................................................................................................7
1.1.3 Классификация систем.....................................................................................8
1.1.4. Основные определения системного анализа..............................................13
1.2. Модели сложных систем....................................................................................18
1.2.1. Понятие модели.............................................................................................18
1.2.2. Классификация видов моделирования систем...........................................19
1.2.3. Принципы и подходы к построению математических моделей...............26
1.2.4. Этапы построения математической модели...............................................28
1.3. Принципы и структура системного анализа.....................................................30
1.3.1. Принципы системного анализа....................................................................30
1.3.2. Структура системного анализа.....................................................................32
1.4. Управление...........................................................................................................39
1.4.1. Сущность автоматизации управления в сложных системах.....................39
1.4.2. Структура системы с управлением..............................................................40
1.4.3. Обратная связь...............................................................................................41
1.4.4. Система без обратной связи.........................................................................41
1.4.5. Резюме............................................................................................................42
ГЛАВА 2. ОСНОВЫ ОЦЕНКИ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ...........................................43
2.1. Основные типы шкал измерения.......................................................................43
2.1.1. Понятие шкалы..............................................................................................43
2.1.2. Шкалы номинального типа...........................................................................44
2.1.3. Шкалы порядка..............................................................................................45
2.1.4. Шкалы интервалов........................................................................................46
2.1.5. Шкалы отношений.........................................................................................47
2.1.6. Шкалы разностей...........................................................................................47
2.1.7. Абсолютные шкалы.......................................................................................48
2.2. Обработка характеристик, измеренных в разных шкалах..............................49
2.3 Показатели и критерии оценки систем..............................................................52
2.3.1. Шкала уровней качества систем с управлением........................................53
2.3.2. Показатели и критерии эффективности функционирования систем.......54
2.4. Методы качественного оценивания систем......................................................58
2.4.1. Методы типа «мозговая атака» или «коллективная генерация идей».....59
2.4.2. Методы типа сценариев................................................................................60
2.4.3. Методы экспертных оценок.........................................................................61
2.4.4. Методы типа Дельфи.....................................................................................68
2.4.5. Методы типа дерева целей...........................................................................69
2.4.6. Морфологические методы............................................................................70
ГЛАВА 3. МЕТОД АНАЛИЗА ИЕРАРХИЙ (Т.Саати, К.Кернс)............................71
3.1. Введение...............................................................................................................71
4
3.2. Принцип идентичности и декомпозиции..........................................................71
3.3. Принцип дискриминации и сравнительных суждений...................................73
3.4. Синтез приоритетов............................................................................................80
3.5. Дополнительные приложения МАИ..................................................................87
3.6. Краткое изложение этапов МАИ.......................................................................88
3.7. Иерархии как воспроизведение сложности......................................................90
3.8. Групповые и изменяющиеся суждения.............................................................93
3.9. Измерение качества.............................................................................................94
ГЛАВА 4 ЭКОНОМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА КАК ОБЪЕКТ УПРАВЛЕНИЯ........95
4.1. Наиболее существенные характеристики.........................................................95
4.2. Структуризация экономических задач..............................................................96
4.3. Построение оптимизационных моделей линейного программирования (простейшие экономические модели)......................................................................96
4.3.1. Общая характеристика..................................................................................96
4.3.2. Потенциальные возможности линейного программирования..................97
4.3.3. Некоторые экономические задачи линейного программирования..........98
ГЛАВА 5 МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ И АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ НА ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ........................................................................................99
5.1. Теория многокритериальной оптимизации по Парето....................................99
5.2. Анализ модели после нахождения оптимального решения..........................102
5.3 Упражнения на построение моделей................................................................104
ГЛАВА 6 ПРИНЦИПЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ЭКОНОМИЧЕСКОГО МЕХАНИЗМА.....................................................................106
6.1. Определение и составляющие экономического механизма.........................106
6.2. Классический подход к анализу экономических механизмов......................108
6.2.1. Простая модель............................................................................................108
6.2.2. Условия сохранения единых цен...............................................................111
6.3. Исследования реальных систем стимулирования производства..................113
6.3.1. Анализ стандартной системы производственных единиц......................113
6.3.2. Воздействие хозяйственного механизма на показатели работы предприятия............................................................................................................114
6.4. Системный анализ и машинная имитация экономического механизма......116
ГЛАВА 7 ПОНЯТИЕ ЦЕЛИ. ЗАКОНОМЕРНОСТИ ЦЕЛЕОБР
Из группы матриц парных сравнений мы формируем набор локальных при-оритетов, которые выражают относительное влияние множества элементов на элемент примыкающего сверху уровня. Находим относительную силу, величину, ценность, желательность или вероятность каждого отдельного объекта через «ре-шение» матриц, каждая из которых обладает обратносимметричными свойствами. Для этого нужно вычислить множество собственных векторов для каждой матри-
81
цы, а затем нормализовать результат к единице, получая тем самым вектор при-оритетов.
Вычисление собственных векторов — не очень сложная задача, однако мо-жет потребовать довольно много времени. К счастью, имеются несложные пути получения хорошего приближения к приоритетам. Одним из наилучших путей является геометрическое среднее. Это можно сделать, перемножая элементы в каждой строке и извлекая корни п -й степени, где п — число элементов. Получен-ный таким образом столбец чисел нормализуется делением каждого числа на сумму всех чисел. Иной способ заключается в нормализации элементов каждого столбца матрицы и затем в усреднении каждой строки. Таким образом, мы можем определить не только порядок приоритетов каждого отдельного элемента, но и величину его приоритета.
При использовании любого метода аппроксимации существует опасность изменения порядка ранжирования и поэтому получения нежелательных результа-тов. Подход, основанный на собственном векторе, использует информацию, кото-рая содержится в любой, даже несогласованной матрице, и позволяет получать приоритеты, основанные на имеющейся информации, не производя арифметиче-ских преобразований данных. Для индивидуума или группы лиц идея заключается в том, чтобы решить, хотят они или нет изменить суждения.
Таким образом, компонента собственного вектора первой строки равна ()()()()411121314wwwwwwww×××
Компонента собственного вектора третьей строки равна ()()()()431323334wwwwwwww×××
После того, как компоненты собственного вектора получены для всех n строк, становится возможным их использование для дальнейших вычислений.
82
Далее выполняется умножение матрицы суждений на вектор приоритетов:
Когда матрица имеет такой вид, получается, что в действительности х1, х2, х3 и х4 есть не что иное, как w1, w2, w3 и w4 соответственно. Из отношений wi/wj мож-но определить каждую компоненту w. Важно отметить, что в матрице суждений нет отношения в виде wi/wj, а имеются только целые числа или их обратные вели-чины из шкалы. Эта матрица в общем случае несогласованна.
Алгебраически задача в случае согласованности заключается в решении уравнения Aw = nw, А = (wi/wj), а общая задача с обратносимметричными сужде-ниями заключается в решении уравнения А' w' = λmaxw', А' = (аij), где λmax — наи-большее собственное значение матрицы суждений А.
Б. СОГЛАСОВАННОСТЬ ЛОКАЛЬНЫХ ПРИОРИТЕТОВ '
Весьма полезным побочным продуктом теории является так называемый ин-декс согласованности (ИС), который дает информацию о степени нарушения чис-ленной (кардинальной, аijаjk = аik) и транзитивной (порядковой) согласованности. Для улучшения согласованности можно рекомендовать поиск дополнительной информации и пересмотр данных, использованных при построении шкалы. В дру-гих процедурах построения шкал отношения нет структурно порожденного ин-декса.
83
Все измерения, включая те, в которых используются приборы, подвержены погрешностям измерений, а также погрешностям из-за неточностей в самом изме-рительном приборе. Эти погрешности могут привести к несогласованным выво-дам. Например, при взвешивании предметов измерения могут показать, что А тя-желее, чем Б, Б тяжелее, чем В, однако В тяжелее, чем А. В частности, это может случиться, когда веса предметов А, Б и В близки, а прибор недостаточно точен, чтобы их различить. Отсутствие согласованности может быть серьезным ограни-чивающим фактором для исследования некоторых проблем, но не быть таковым для других. Например, если объекты — два химиката, которые должны быть смешаны в точных пропорциях при изготовлении лекарства, то несогласованность может означать, что в пропорции применяется один химикат в большем, чем не-обходимо, количестве, что, возможно, приведет к вредным последствиям при употреблении лекарства.
Однако совершенной согласованности при измерениях даже с наиболее точ-ными инструментами трудно достичь на практике. Нужен способ оценки степени согласованности при решении конкретной задачи.
Вместе с матрицей парных сравнений мы имеем меру оценки степени откло-нения от согласованности. Когда такие отклонения превышают установленные пределы, тому, кто проводит суждения, следует перепроверить их в матрице.
Индекс согласованности в каждой матрице и для всей иерархии может быть приближенно получен вычислениями вручную. Сначала суммируется каждый столбец суждений, затем сумма первого столбца умножается на величину первой компоненты нормализованного вектора приоритетов, сумма второго столбца — на вторую компоненту и т. д. Затем полученные числа суммируются. Таким обра-зом можно получить величину, обозначаемую λmax. Для индекса согласованности имеем ИС = (λmax - n) / (n-1), где n — число сравниваемых элементов. Для обрат-носимметричной матрицы всегда λmax ≥ n
Теперь сравним эту величину с той, которая получилась бы при случайном выборе количественных суждений из шкалы 1/9, 1/8, 1/7,..., 1,2, ...,9, при образо-вании обратносимметричной матрицы. Ниже даны средние согласованности для случайных матриц разного порядка.
Размер матрицы
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Случайная согласован-ность
0
0
0,58
0,90
1,12
1,24
1,32
1,41
1,45
1,49
Если разделить ИС на число, соответствующее случайной согласованности матрицы того же порядка, получим отношение согласованности (ОС). Величина ОС должна быть порядка 10% или менее, чтобы быть приемлемой. В некоторых случаях можно допустить 20%, но не более. Если ОС выходит из этих пределов, то участникам нужно исследовать задачу и проверить свои суждения.
В. ПРИНЦИП СИНТЕЗА
Теперь обратимся к принципу синтеза. Приоритеты синтезируются, начиная со второго уровня вниз. Локальные приоритеты перемножаются на приоритет со-
84
ответствующего критерия на вышестоящем уровне и суммируются по каждому элементу в соответствии с критериями, на которые воздействует этот элемент. (Каждый элемент второго уровня умножается на единицу, т. е. на вес единствен-ной цели самого верхнего уровня.) Это дает составной, или глобальный, приори-тет того элемента, который затем используется для взвешивания локальных при-оритетов элементов, сравниваемых по отношению к нему как к критерию и рас-положенных уровнем ниже. Процедура продолжается до самого нижнего уровня.
Г. ИЛЛЮСТРАЦИЯ ДЕКОМПОЗИЦИИ, СРАВНИТЕЛЬНЫХ СУЖДЕНИЙ И СИНТЕЗА
Для иллюстрации этих идей на конкретной задаче вернемся к семье, поку-пающей дом. В табл.3.6 представлена еще раз матрица попарных сравнений для второго уровня иерархии, которая содержит восемь критериев, воспринимаемых как воздействующие на общую цель — «Дом». На этот раз вычислим вектор при-оритетов, собственное значение λmax, индекс согласованности и отношение согла-сованности.
Отметим, что отношение согласованности несколько выше, чем нам хотелось бы, однако семья решила не пересматривать суждения, так как их не интересовали строго согласованные результаты. В сравнительно больших матрицах (например, от 7 до 9 элементов) часто трудно достигнуть высокого уровня согласованности. Тем не менее уровень согласованности должен соответствовать тому риску, кото-рый сопутствует работе с несогласованными результатами. Например, при срав-нении воздействия лекарств на организм необходимо иметь очень высокий уро-вень согласованности.
Таблица 3.6 Покупка дома: матрица попарных сравнений для уровня 2, решения и согласованность
Общее удовлетворе-ние домом
Размеры дома
Удобство авто-бусных маршру-тов
Окрестности
Когда построен дом
Двор
Современное оборудование
Общее состоя-ние
Финансовые ус-ловия
Вектор приори-тетов
Вектор приори-тетов прибли-женный
Размеры дома
1
5
3
7
6
6
1/3
1/4
0,173
0,175
Удобство автобусных маршрутов
1/5
1
1/3
5
3
3
1/5
1/7
0,054
0,063
Окрестности
1/3
3
1
6
3
4
6
1/5
0,188
0,149
Когда построен дом
1/7
1/5
1/6
1
1/3
1/4
1/7
1/8
0,018
0,019
Двор
1/6
1/3
1/3
3
1
1/2
1/5
1/6
0,031
0,036
Современное обору-дование
1/6
1/3
1/4
4
2
1
1/5
1/6
0,036