Организация исследования систем управления с помощью тестирования

 

∑β[x_t-f (t)]²→min (2.2)

 

Система нормальных уравнений для МНКВ имеет  вид:

 

∑β_x=a∑β+b∑β_t+с∑ β_t

∑_βxt= a∑β_t+b∑β_t²+ с∑ β_t² (2.3)

∑_βxt= a∑β_t²+b∑β_t³+ с∑ β_t⁴

2.3 Расчет  искомых показателей

 

За последние  три месяца на предприятии «Атлант» по производству телевизоров наметился  спад объёма продаж, и как следствие  объёма прибыли.

Директором  предприятия был принят ряд мер, направленных на увеличение объёма продаж (реклама, различные методы стимулирования сбыта и т.п.).

Проведите исследование системы управления предприятием и определите:  

а)способствовала ли проведённая кампания увеличению объёма продаж;

б)как при сохраняющейся тенденции изменится объём продаж

предприятия через 2 года;

в)отразите возможный диапазон изменения прибыли предприятия на период 2009-2013 гг.

г)оцените эффективность предлагаемых мероприятий через 5 лет при темпе инфляции 11%

д)существует ли зависимость объёма продаж предприятия от затрат на рекламу продукции телевизоров.

Исходные  данные приведены в таблице 2.

Таблица 2.1 - Объем продаж предприятия «Атлант» за 14 лет

Порядковый год работы предприятия  “Атлант”	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
Объём продаж предприятия за год (тыс. руб.)	28000	35000	45000	27000	35500	36200	36900	37600	38300	39000	39700	40400	41100	41800

 

Анализ  условия задачи позволяет выделить факторный и результативный показатели:

1)факторный  показатель х – порядковый год работы предприятия “Атлант”, 1,2,3 …..12,13,14;

2)результативный  показатель у – объём продаж предприятия за год (тыс. руб.).

Строим  график зависимости объема продаж от времени работы предприятия на основании  таблице 2.1

В соответствии с требованиями метода наименьших квадратов для определения параметров а, b и c необходимо решить следующую систему уравнений:

∑β_x=a∑β+b∑β_t+с∑ β_t

∑_βxt= a∑β_t+b∑β_t²+ с∑ β_t² (2.3)

∑_βxt= a∑β_t²+b∑β_t³+ с∑ β_t⁴

Для того чтобы более ранняя информация оказывала  влияние на прогноз альфа (α) принимается ≈1, (α=0,9)

Составляем  таблицу 2.2 для расчета прогноза объема продаж предприятия на период 2009-2013гг., если известна динамика объема продаж за предыдущие 14 лет.

 

Таблица 2.2 - Динамика объема продаж на период 1995-2008 гг.

Год	Объём продаж предприятия за год (тыс. руб.) (Х)	t	t2	t3	t4	xt	xt2
1995	28000	1	1	1	1	28000	56000
1996	35000	2	4	8	16	70000	70000
1997	45000	3	9	27	81	135000	90000
1998	27000	4	16	64	256	108000	54000
1999	35500	5	25	125	625	177500	71000
2000	36200	6	36	216	1296	217200	72400
2001	36900	7	49	343	2401	258300	73800
2002	37600	8	64	512	4096	300800	75200
2003	38300	9	81	729	6561	344700	76600
2004	39000	10	100	1000	10000	390000	78000
2005	39700	11	121	1331	14641	436700	79400
2006	40400	12	144	1728	20736	484800	80800
2007	41100	13	169	2197	28561	534300	82200
2008	41800	14	196	2744	38416	585200	83600
сумма	521500	105	1015	11025	127687	521500	1043000

На основании  формулы 2.1 и таблицы 2.2 рассчитываем коэффициент β

β ₁=α¹⁴=0,26

β ₂=α¹³=0,28

β ₃=α¹²=0,31

β ₄=α¹¹=0,34

β ₅=α¹⁰=0,37

β ₆=α⁹=0,41

β ₇=α⁸=0,45

β ₈=α⁷=0,49

β ₉=α⁶=0,54

β ₁₀=α⁵=0,60

β ₁₁=α⁴=0,66

β ₁₂=α³=0,73

β ₁₃=α²=0,81

β ₁₄=α¹=0,9

∑β=7,15

β_x=0,9¹⁴*28000 +0,9¹³*35000 +0,9¹²*45000 +0,9¹¹*27000 +0,9¹⁰*35500 +0,9⁹*36200 +0,9⁸*36900 +0,9⁷*37600 +0,9⁶*38300 +0,9⁵*39000 +0,9⁴*39700 +0,9³*40400 +0,9²*41100 +0,9¹**41800=6405,5 +8896,53 +12709,33 +8472,89 +12378,08 +14024,62 +15884,24 +17983,96 +20354,19 +23029,11 +26047,17 +29451,6 +33291 +37620=266548,23

∑β_t=0,9¹⁴*1 +0,9¹³*2 +0,9¹²*3 +0,9¹¹*4 +0,9¹⁰*5 +0,9⁹*6 +0,9⁸*7 +0,9⁷*8 +0,9⁶*9 +0,9⁵*10 +0,9⁴*11 +0,9³*12 +0,9²*13 +0,9¹*14=0,26 +0,506 +0,846 +1,252 +1,74 +2,322 +3,01 +3,824 +4,779 +5,9 +7,216 +8,748 +10,53 +12,6=65,3

∑β_t²=0,9¹⁴*1 +0,9¹³*4 +0,9¹²*9 +0,9¹¹*16 +0,9¹⁰*25 +0,9⁹*36 +0,9⁸*49 +0,9⁷*64 +0,9⁶*81 +0,9⁵*100 +0,9⁴*121 +0,9³*144 +0,9²*169 +0,9¹*196=0,229 +1,012 +2,538 + +5,008 +8,7 +13,932 +21,07 +30,592 +43,011 +59 +79,376 +104,976 +136,89 +176,4=684,65

∑β_t³=0,9¹⁴*1 +0,9¹³*8 +0,9¹²*27 +0,9¹¹*64 +0,9¹⁰*125 +0,9⁹*216 +0,9⁸*343 +0,9⁷*512 +0,9⁶*729 +0,9⁵*1000 +0,9⁴*1331 +0,9³*1728 +0,9²*2197 +0,9¹*2744=0,229 +2,024 +7,614 +20,032 +43,5 +83,59 +147,5 +244,73 +387,1 +590 +873,14 +1259,7 +1779,57 +2469,6=7908,099

∑β_t⁴=0,9¹⁴*1 +0,9¹³*16 +0,9¹²*81 +0,9¹¹*256 +0,9¹⁰*625 +0,9⁹*1296 +0,9⁸*2401 +0,9⁷*4096 +0,9⁶*6561 +0,9⁵*10000 +0,9⁴*14641 +0,9³*20736 +0,9²*28561 +0,9¹*38416=0,229 +4,048 +22,842 +8,0128 +217,5 +501,55 +1032,43 +1957,89 +3483,89 + +5900 +9604,5 +15116,54 +23134,41 +34574,4=95558,2

∑β_xt=0,9¹⁴*28000 +0,9¹³*70000 +0,9¹²*135000 +0,9¹¹*108000 +0,9¹⁰*177500 +0,9⁹*217200 +0,9⁸*258300 +0,9⁷*300800 +0,9⁶*344700 +0,9⁵*390000 +0,9⁴*436700 +0,9³*484800 +0,9²*534300 +0,9¹*585200=4070500

∑β_xt²=0,9¹⁴*56000 +0,9¹³*70000 +0,9¹²*90000 +0,9¹¹*54000 +0,9¹⁰*71000 +0,9⁹*72400 +0,9⁸*73800 +0,9⁷*75200 +0,9⁶*76600 +0,9⁵*78000 +0,9⁴*79400 +0,9³*80800 +0,9²*82200 +0,9¹*83600=533096,46

Теперь  составляем систему:

20705,45=7,15a+65,3b+684,65с;

176668,70=65,3a+684,65b+7908,099с;

1791832,30 =684,65а+7908,099b+95558,2c.

Найдем  параметры а, b и с определением. Найдём общий определитель

∆ = 7,15 65,3 684,65

65,3 684,65 7908,099

684,65 7908,099 95558,2 = 7,15 *684,65 *95558,2+684,65 *95558,2 *7,15+684,65 *7,15 *95558,2- (684,65)³- (7908,099)² *7,15-5,3)² *95558,2=945708,5

После этого  определяем частные определители Δа, Δb, Δс:

∆а =  20705,45 65,3 684,65

176668,70 684,65 7908,099 = 14512414123

1791832,30 7908,099 95558,2

∆b= 7,15  20705,45 684,65

65,3 176668,70 7908,099 =-2178654210

684,65 1791832,30 95558,2

∆ =с   7,15 65,3 20705,45

65,3 684,65 176668,70 = 147876534

684,65 7908,099 1791832,30

Отсюда  определяем коэффициенты а, b и с:

а = ∆а/а = 14512414123/ 945708,5 = 15345,55;

b = ∆b = -2178654210/ 945708,5 = - 2303,73;

c = ∆c = 147876534/945708,5 = 156,37.

Уравнение параболы имеет вид:

X=15345,55-2303,73t+156,37t²

Теперь  составляем таблицу 2.3 прогноза t=15,16,17,18,19.

Подставляя  в полученное уравнение параболы, затем по полученным данным построим график:

 

Таблица 2.3 - Динамика объема продаж телевизоров  на период 2009-2013 гг.

Год	Объём продаж предприятия за год (тыс. руб.)
2009	46090,91
2010	55321,66
2011	67023,41
2012	74235,12
2013	82514,85

 

Прогноз объема продаж предприятия в таблице 2.1 составлен на период 1995-2008гг. При  сохраняющейся тенденции объем  продаж предприятия через 5 лет будет  увеличиваться.

Основным  показателем эффективности предприятия  является чистодисконтированный доход (ЧЧД), чтобы его найти нужно, составить прогноз выручки на последующие 5 лет.

Таблица 2.4 - Динамика изменения выручки на период 1995-2008 гг.

Год	Объем продаж, тыс. руб.	Себестоимость продукции, тыс. руб.		Выручка, тыс. руб.
1	2	3		4
1995	28000	19600		8400
1996	35000	24500		10500
1997	45000	27000		18000
1998	27000	18900		8100
1999	35500	24850		10650
2000	36200	25340		10860
2001	36900	25830		11070
2002	37600	26320		11280
2003	38300	26810		11490
2004	39000	27300		11700
2005	39700	27790		37817
2006	40400	28280		38629
Окончание таблицы 2.4
1	2		3	4
2007	41100		28770	39441
2008	41800		29260	40253
сумма	521500		360550	268190

 

Следующим действием является построение графика  зависимости выручки от времени  работы предприятия на основании  таблицы 2.4.

 

Анализ  графика, изображенного (см. приложение  рисунок 3), показывает, что при небольшом  увеличении факторного показателя Х на определенную величину наблюдается неравномерное возрастание значений результативного показателя У.

Таким образом, связь между показателями описывается  при помощи уравнения параболы:

Ух=a+bx+cx^2,

где Ух – результативный показатель; Х – факторный показатель; а, b, c –параметры уравнения регрессии.

 

 

 

Таблица 2.5 - Прогноз выручки на период 1995-2008 гг.

Год	Выручка, тыс. руб.	t	t2	t3	t4	xt	xt2
1995	8400	1	1	1	1	8400	16800
1996	10500	2	4	8	16	21000	42000
1997	18000	3	9	27	81	54000	108000
1998	8100	4	16	64	256	32400	64800
1999	10650	5	25	125	625	53250	106500
2000	10860	6	36	216	1296	65160	130320
2001	11070	7	49	343	2401	77490	154980
2002	11280	8	64	512	4096	90240	180480
2003	11490	9	81	729	6561	103410	206820
2004	11700	10	100	1000	10000	117000	234000
2005	37817	11	121	1331	14641	415987	831974
2006	38629	12	144	1728	20736	463548	927096
2007	39441	13	169	2197	28561	512733	1025466
2008	40253	14	196	2744	38416	563542	1127084
сумма	268190	105	1015	11025	127687	28159950	56319900