Системы массового обслуживания

Содержание

 

Введение…………………………………………………………………………...2

1. Системы массового обслуживания…………………………………….…….3

1.1 Многоканальная СМО с отказами в обслуживании……………………8

1.2 Многоканальная СМО  с ограниченной длиной очереди……………..11

1.3 Многоканальная СМО  с неограниченной очередью………………….15

2. Анализ системы массового  обслуживания супермаркета………………..19

Заключение………………………………………………………………………31

 

 

 

Введение

Многие экономические  организации и системы, получающие прибыль за счет обслуживания клиентов, можно достаточно точно описать  с помощью совокупности математических методов и моделей, которые получили название теории массового обслуживания (ТМО).

Теория массового обслуживания — область прикладной математики, занимающаяся анализом процессов в системах производства, обслуживания, управления, в которых однородные события повторяются многократно, например, на предприятиях бытового обслуживания; в системах приема, переработки и передачи информации; автоматических линиях производства и др.

Предметом теории массового  обслуживания является установление зависимостей между характером потока заявок, числом каналов обслуживания, производительностью  отдельного канала и эффективным  обслуживанием с целью нахождения наилучших путей управления этими  процессами. Задачи теории массового  обслуживания носят оптимизационный  характер и в конечном итоге включают экономический аспект по определению  такого, варианта системы, при котором  будет обеспечен минимум суммарных  затрат от ожидания обслуживания, потерь времени и ресурсов на обслуживание и от простоев каналов обслуживания.

В коммерческой деятельности применение теории массового обслуживания пока не нашло желаемого распространения.

В основном это связано  с трудностью постановки задач, необходимостью глубокого понимания содержания коммерческой деятельности, а также  надежного и точного инструментария, позволяющего просчитывать в коммерческой деятельности различные варианты последствий  управленческих решений. 
1. Системы массового обслуживания

 

Системы массового обслуживания (СМО)— это такие системы, в  которые в случайные моменты  времени поступают заявки на обслуживание, при этом поступившие заявки обслуживаются  с помощью имеющихся в распоряжении системы каналов обслуживания.

    С позиции моделирования процесса массового обслуживания ситуации, когда образуются очереди заявок (требований) на обслуживание, возникают следующим образом. Поступив в обслуживающую систему, требование присоединяется к очереди других (ранее поступивших) требований. Канал обслуживания выбирает требование из находящихся в очереди, с тем, чтобы приступить к его обслуживанию. После завершения процедуры обслуживания очередного требования канал обслуживания приступает к обслуживанию следующего требования, если таковое имеется в блоке ожидания.

      Цикл функционирования системы массового обслуживания подобного рода повторяется многократно в течение всего периода работы обслуживающей системы. При этом предполагается, что переход системы на обслуживание очередного требования после завершения обслуживания предыдущего требования происходит мгновенно, в случайные моменты времени.

Примерами систем массового  обслуживания могут служить: магазины, банки, ремонтные мастерские, почтовые отделения, посты технического обслуживания автомобилей, посты ремонта автомобилей, телефонные станции и т.д.

Основными компонентами системы  массового обслуживания любого вида являются:

• входной поток поступающих требований или заявок на обслуживание;
• дисциплина очереди;
• механизм обслуживания.

      Раскроем содержание каждого из указанных выше компонентов.

     Входной поток требований. Для описания входного потока требуется задать вероятностный закон, определяющий последовательность моментов поступления требований на обслуживание и указать количество таких требований в каждом очередном поступлении. При этом, как правило, оперируют понятием «вероятностное распределение моментов поступления требований». Здесь могут поступать как единичные, так и групповые требования (требования поступают группами в систему). В последнем случае обычно речь идет о системе обслуживания с параллельно-групповым обслуживанием.

      Дисциплина очереди — это важный компонент системы массово го обслуживания, он определяет принцип, в соответствии с которым поступающие на вход обслуживающей системы требования подключаются из очереди к процедуре обслуживания. Чаще всего используются дисциплины очереди, определяемые следующими правилами:

     - первым пришел - первый обслуживаешься;

     - пришел последним  — обслуживаешься первым;

     - случайный  отбор заявок;

     - отбор заявок  по критерию приоритетности;

     - ограничение  времени ожидания момента наступления  обслужи вания (имеет место  очередь с ограниченным временем  ожидания обслуживания, что ассоциируется  с понятием «допустимая дли  на очереди»).

      Механизм обслуживания определяется характеристиками самой процедуры обслуживания и структурой обслуживающей системы. К характеристикам процедуры обслуживания относятся: продолжительность процедуры обслуживания и количество требований, удовлетворяемых в результате выполнения каждой такой процедуры. Для аналитического описания характеристик процедуры обслуживания оперируют понятием «вероятностное распределение времени обслуживания требований».

      Следует отметить, что время обслуживания заявки зависит от характера самой заявки или требований клиента и от состояния и возможностей обслуживающей системы. В ряде случаев приходится также учитывать вероятность выхода обслуживающего прибора по истечении некоторого ограниченного интервала времени.

      Структура обслуживающей системы определяется количеством и взаимным расположением каналов обслуживания (механизмов, приборов и т. п.). Прежде всего следует подчеркнуть, что система обслуживания может иметь не один канал обслуживания, а несколько; система такого рода способна обслуживать одновременно несколько требований. В этом случае все каналы обслуживания предлагают одни и те же услуги, и, следовательно, можно утверждать, что имеет место параллельное обслуживание.

      Система обслуживания может состоять из нескольких разнотипных каналов обслуживания, через которые должно пройти каждое обслуживаемое требование, т. е. в обслуживающей системе процедуры обслуживания требований реализуются последовательно. Механизм обслуживания определяет характеристики выходящего (обслуженного) потока требований.

      Рассмотрев основные компоненты систем обслуживания, можно констатировать, что функциональные возможности любой системы массового обслуживания определяются следующими основными факторами:

• вероятностным распределением моментов поступлений заявок на обслуживание (единичных или групповых);
• вероятностным распределением времени продолжительности обслуживания;
• конфигурацией обслуживающей системы (параллельное, последовательное или параллельно-последовательное обслуживание);
• количеством и производительностью обслуживающих каналов;
• дисциплиной очереди;
• мощностью источника требований.

      В качестве основных критериев эффективности функционирования систем массового обслуживания в зависимости от характера решаемой задачи могут выступать:

• вероятность немедленного обслуживания поступившей заявки;
• вероятность отказа в обслуживании поступившей заявки;
• относительная и абсолютная пропускная способность системы;
• средний процент заявок, получивших отказ в обслуживании;
• среднее время ожидания в очереди;
• средняя длина очереди;
• средний доход от функционирования системы в единицу времени и т.п.

      Предметом теории массового обслуживания является установление зависимости между факторами, определяющими функциональные возможности системы массового обслуживания, и эффективностью ее функционирования. В большинстве случаев все параметры, описывающие системы массового обслуживания, являются случайными величинами или функциями, поэтому эти системы относятся к стохастическим системам.

      Независимо от характера процесса, протекающего в системе массового обслуживания, различают два основных вида СМО:

     - системы с  отказами, в которых заявка, поступившая  в систему в момент, когда все  каналы заняты, получает отказ  и сразу же покидает очередь;

     -системы с ожиданием (очередью), в которых заявка, поступившая в момент, когда все каналы обслуживания заняты, становится в очередь и ждет, пока не освободится один из каналов.

      Системы массового обслуживания с ожиданием делятся на системы с ограниченным ожиданием и системы с неограниченным ожиданием.

      В системах с ограниченным ожиданием может ограничиваться:

     - длина очереди;

     - время пребывания  в очереди.

      В системах с неограниченным ожиданием заявка, стоящая в очереди, ждет обслуживание неограниченно долго, т.е. пока не подойдет очередь.

      Все системы массового обслуживания различают по числу каналов обслуживания:

     - одноканальные  системы;

     - многоканальные  системы.

      Приведенная классификация СМО является условной. На практике чаще всего системы массового обслуживания выступают в качестве смешанных систем. Например, заявки ожидают начала обслуживания до определенного момента, после чего система начинает работать как система с отказами.

 

 

 

1. Многоканальная СМО с отказами в обслуживании

 

Рассмотрим многоканальную СМО с отказами в обслуживании на рис. 1, на вход которой поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью λ.

Рис. 1. Размеченный граф состояний многоканальной СМО с отказами

Поток обслуживания в каждом канале имеет интенсивность μ. По числу заявок СМО определяются ее состояния S_k, представленные в виде размеченного графа:

S₀ – все каналы свободны k=0,

S₁ – занят только один канал, k=1,

S₂ – заняты только два канала, k=2,

S_k – заняты k каналов,

S_n – заняты все n каналов, k= n.

Состояния многоканальной СМО  меняются скачкообразно в случайные  моменты времени. Переход из одного состояния, например S₀ в S₁, происходит под воздействием входного потока заявок с интенсивностью λ, а обратно – под воздействием потока обслуживания заявок с интенсивностью μ. Для перехода системы из состояния S_k в S_k-1 безразлично, какой именно из каналов освободиться, поэтому поток событий, переводящий СМО, имеет интенсивность kμ, следовательно, поток событий, переводящий систему из S_n в S_n-1, имеет интенсивность nμ. Так формулируется классическая задача Эрланга, названная по имени датского инженера – математика- основателя теории массового обслуживания.

Случайный процесс, протекающий  в СМО, представляет собой частный  случай процесса «рождения- гибели»  и описывается системой дифференциальных уравнений Эрланга, которые позволяют  получить выражения для предельных вероятностей состояния рассматриваемой  системы, называемые формулами Эрланга:

  .

Вычислив все вероятности  состояний n – канальной СМО с отказами р₀ , р₁, р₂, …,р_k,…, р_n, можно найти характеристики системы обслуживания.

Вероятность отказа в обслуживании определяется вероятностью того, что  поступившая заявка на обслуживание найдет все n каналов занятыми, система будет находиться в состоянии S_n:

 k=n.

В системах с отказами события  отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому 

Р_отк+Р_обс=1

На этом основании относительная  пропускная способность опредляется  по формуле

Q = P_обс= 1-Р_отк=1-Р_n

Абсолютную пропускную способность  СМО можно определить по формуле