Системы счисления

Оглавление

Введение 3

1 Представление  информации в компьютере  и единицы представления информации 4

2 Системы счисления 6

2.1 Правила перевода из одной системы счисления в другую 10

Заключение 13

Литература 14

 

 

Введение

 

Информация (от лат. informatio, разъяснение, изложение, осведомленность) — сведения о чем-либо, независимо от формы их представления.  

Предметом изучения науки информатика являются именно данные: методы их создания, хранения, обработки и передачи. А сама информация, зафиксированная в данных, её содержательный смысл интересны пользователям информационных систем, являющимся специалистами различных наук и областей деятельности: медика интересует медицинская информация, геолога — геологическая, предпринимателя — коммерческая и т. п. (в том числе специалиста по информатике интересует информация по вопросам работы с данными).

Известно, что  компьютер принимает и обрабатывает информацию не в том виде, котором  ее привык принимать и обрабатывать человек, а в цифровом виде, понятном только компьютеру. В этой работе я рассмотрю, как именно компьютер преобразовывает информацию, которую он получает и как эта информация представляется в памяти ПК – это цель моей работы. Задачей является изучить разнообразные источники для более глубокого представления обработки информации компьютером. Как правило,  люди, работая на компьютере, обычно не задумываются о том, какие процессы и операции, какие сложные и разные преобразования происходят в компьютере, например, когда они набирают текст на клавиатуре (при нажатии на клавиши) – а преобразования происходят и много. В этом актуальность работы – показать, что различные операции происходят каждую минуту, при любом действии пользователя, даже тогда, когда сам пользователь может и не догадываться об этом.

 

 

1 Представление информации в компьютере и единицы представления информации

 

Любая информация (числовая, текстовая, звуковая, графическая и  т.д.) в компьютере представляется (кодируется) в так называемой двоичной форме. Как оперативная, так и внешняя память, где и хранится вся информация, могут рассматриваться, как достаточно длинные последовательности из нулей и единиц. Под внешней памятью подразумеваются такие носители информации, как магнитные и оптические диски, ленты и т.п.

Единицей измерения  информации является бит (BInary digiT) - именно такое количество информации содержится в ответе на вопрос: нуль или один? Цифры двоичного кода можно рассматривать как два равновероятных состояния (события). При записи двоичной цифры реализуется выбор одного из двух возможных состояний (одной из двух цифр) и, следовательно, она несет количество информации, равное 1 биту.

Важно, что каждая цифра  машинного двоичного кода несет  информацию в 1 бит. Таким образом, две  цифры несут информацию в 2 бита, три цифры - в 3 бита и так далее. 

 Более крупными единицами измерения информации являются байт, килобайт (Kbyte), мегабайт (Mbyte), гигабайт (Gbyte) и терабайт (Tbyte). Один байт (byte) состоит из восьми бит, а каждая последующая величина больше предыдущей в 1024 раза.

Байта достаточно для хранения 256 различных значений, что позволяет размещать в нем любой из алфавитно-цифровых символов, если только мы можем ограничиться языками с небольшими алфавитами типа русского или английского. Первые 128 символов (занимающие семь младших бит) стандартизированы с помощью кодировки ASCII (American Standart Code for Information Interchange). Хуже обстоит дело с кодировками русского текста (символы русского алфавита расположены во второй половине таблицы из 256 символов) - их несколько, а наиболее распространенные из них сейчас две -- Windows-1251 и KOI8-R.

Для кодирования всех возможных символов, используемых народами мира, одного байта мало - необходимо использовать два последовательных (стандарт Unicode). Этот стандарт использует для кодирования 65536 кодов символов, в отличие от 256, принятого в стандарте ASCII, что оказывается достаточным для всех существующих языков, математических символов и других знаков. Первые 256 индексов используется для совместимости со стандартом ASCII.

Для того чтобы информация сохранилась в компьютере информацию надо закодировать.

Кодирование информации — процесс преобразования сигнала из формы, удобной для непосредственного использования информации, в форму, удобную для передачи, хранения или автоматической переработки.

 

2 Системы счисления

 

Система счисления - это совокупность правил и приемов записи чисел с помощью набора цифровых знаков. Количество цифр, необходимых для записи числа в системе, называют основанием системы счисления. Основание системы записывается в справа числа в нижнем индексе.

Основанием системы счисления называется количество цифр и символов, применяющихся для изображения числа Например в десятичной системе основание системы будет равно 10.

База системы — это последовательность цифр, используемых для записи числа. Ни в одной системе нет цифры, равной основанию системы.

Есть  несколько видов систем счисления:

• позиционные;
• непозиционные;
• однородные;
• смешанные;

В позиционных системах счисления один и тот же числовой знак (цифра) в записи числа имеет различные значения в зависимости от того места (разряда), где он расположен. К числу таких систем относится современная десятичная система счисления, возникновение которой связано со счётом на пальцах. В позиционных системах чем больше основание системы, тем меньшее количество разрядов (то есть записываемых цифр) требуется при записи числа.

Наиболее употребляемыми в настоящее время позиционными системами являются:

• 2  - двоичная -  в дискретной математике,  информатике,  программировании используется для кодирования дискретного сигнала, потребителем которого является  вычислительная техника. Такое положение дел сложилось исторически, поскольку двоичный сигнал проще представлять на аппаратном уровне. В этой системе счисления для представления числа применяются два знака – 0 и 1;
• 8  -  восьмеричная - позиционная целочисленная система счисления с основанием 8. Для представления чисел в ней используются цифры от 0 до 7. Восьмеричная система часто используется в областях, связанных с цифровыми устройствами. Характеризуется лёгким переводом восьмеричных чисел в двоичные и обратно, путём замены восьмеричных чисел на триплеты двоичных. Ранее широко использовалась в программировании и вообще компьютерной документации, однако в настоящее время почти полностью вытеснена шестнадцатеричной;
• 10  - десятичная - используется повсеместно для кодирования дискретного сигнала, потребителем которого является так называемый конечный пользователь – неспециалист в области информатики (очевидно, что и любой человек может выступать в роли такого потребителя), используемые знаки для представления числа – цифры от 0 до 9;
• 16 – шестнадцатеричная -  (используется в программировании,  информатике используется для кодирования дискретного сигнала, потребителем которого является хорошо подготовленный пользователь – специалист в области информатики. В такой форме представляется содержимое любого файла, затребованное через интегрированные оболочки операционной системы. Используемые знаки для представления числа – десятичные цифры от 0 до 9 и буквы латинского алфавита – A, B, C, D, E, F);

Для различения систем счисления, в которых представлены числа, в обозначение двоичных и шестнадцатеричных чисел вводят дополнительные реквизиты: для двоичных чисел – нижний индекс справа от числа в виде цифры 2 или букв В либо b (Binary – двоичный), либо знак B или b справа от числа, для шестнадцатеричных чисел - нижний индекс справа от числа в виде числа 16 или букв H либо h (hexadecimal – шестнадцатеричный), либо знак  H или h справа от числа.

 

В таблице 1 я  привела соответствие между наиболее часто использующимися системами  счисления.

 

А2	А8	А10	А16
0000	0	0	0
0001	1	1	1
0010	2	2	2
0011	3	3	3
0100	4	4	4
0101	5	5	5
0110	6	6	6
0111	7	7	7
1000		8	8
1001		9	9
1010			A(10)
1011			B(11)
1100			C(12)
1101			D(13)
1110			E(14)
1111			F(15)

 

Таблица 1 - Соответствие между  наиболее часто использующимися  системами счисления

 

 

Кроме этих четырех  наиболее часто использующихся систем счисления, существует много других (сколько чисел столько и систем), но в зависимости от каждого конкретного  случая используется самая рациональная и подходящая система счисления.

В непозиционных  системах счисления величина, которую  обозначает цифра, не зависит от положения  в числе. При этом система может  накладывать ограничения на положение  цифр, например, чтобы они были расположены в порядке убывания. Примером непозиционной системы счисления может быть единичная система счисления. Число в этой системе счисления представляет собой строку из черточек (палочек), количество которых равно значению данного числа. Но эта система обладает явными неудобствами — чем больше число — тем длиннее строка из палочек. Помимо этого, можно легко ошибиться при записи числа, добавив случайно лишнюю палочку или, наоборот, не дописав. Для удобства, люди стали группировать палочки по 3, 5, 10 штук. При этом, каждой группе соответствовал определенный знак или предмет. Изначально для подсчета использовались пальцы рук, поэтому первые знаки появились для групп из 5 и 10 штук (единиц). Все это позволило создать более удобные системы записи чисел.

Однородная система — для всех разрядов (позиций) числа набор допустимых символов (цифр) одинаков. В качестве примера рассмотрим упоминавшуюся ранее 10-ю систему. При записи числа в однородной 10-й системе вы можете использовать в каждом разряде исключительно одну цифру от 0 до 9, таким образом, допускается число 450 (1-й разряд - 0,          2-й - 5, 3-й - 4), а 4F5 — нет, поскольку символ F не входит в набор цифр от 0 до 9. 
            Смешанная система — в каждом разряде (позиции) числа набор допустимых символов (цифр) может отличаться от наборов других разрядов.

Яркий пример — система  измерения времени. В разряде  секунд и минут,  

возможно, 60 различных символов (от «00» до «59»), в разряде часов – 24 разных символа (от «00» до «23»), в разряде суток – 365 и т. д. Часто относится к позиционным системам счисления.

Для перевода чисел из одной системы счисления в другую существуют определенные правила. Они различаются в зависимости от формата числа – целое или правильная дробь. Для вещественных чисел используется комбинация правил перевода для целого числа и правильной дроби.

 

2.1 Правила перевода из одной системы счисления в другую

Перевод из двоичной системы счисления в восьмеричную: для этого двоичное число надо разбить на триады (3 цифры), начиная с младшего разряда, Если количество цифр исходного двоичного числа не кратно 3, оно дополняется слева незначащими нулями до достижения кратности 3, потом каждая тетрада заменятся соответствующей шестнадцатеричной цифрой в соответствии с таблицей 1

10101101100110110111100101011001011₂→ 010 101 101 100 110 110 111 100 101 011 001 011₂→ 2 5 5 4 6 6 7 4 5 3 1 3₈ – перевод из двоичной системы счисления в восьмеричную.

Для перевода двоичного  числа в десятичное необходимо это  число представить в виде суммы  произведений степеней основания двоичной системы счисления на соответствующие  цифры в разрядах двоичного числа.

10011₂ = 1*2⁴ + 0*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ = 16+0+0+2+1 = 19 – перевод из двоичной системы счисления в десятичную.

Перевод из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную: для этого двоичное число разбивается на тетрады (4 цифры), начиная с младшего разряда. Если количество цифр исходного двоичного числа не кратно 4, оно дополняется слева незначащими нулями до достижения кратности 4, потом каждая тетрада заменятся соответствующей шестнадцатеричной цифрой в соответствии с таблицей 1

010110100011₂ = 0101 1010 0011 = 5A3₁₆ – перевод из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную.

Перевод из восьмеричной системы счисления в двоичную:  для этого каждую цифру числа  данного в восьмеричной системе  счисления, в соответствии с таблицей 1 надо представить в виде триад (3 числа) в двоичной системе счисления, то есть выполняем обратный алгоритм перевода из двоичной в шестнадцатеричную.