Гомология и гомотопия

 

Введение

Гомотопическая топология, находившаяся в 40-60-е годы в фазе интенсивного развития, достигла к  настоящему времени положения относительного равновесия. При этом в ней достаточно ясно обозначились границы круга  понятий и фактов, представляющих общематематический интерес. В то же время область применений топологии, в том числе гомотопической, значительно  расширилась, охватив, наряду с геометрией и анализом, теоретическую физику и ряд прикладных дисциплин. Поэтому  молодому математику, какую бы специальность  он себе не избрал, стоит как можно  глубже изучить гомотопическую топологию.

В данной курсовой работе будут рассмотрены гомотопические топологии.

Объектом курсовой работы являются гомологии и гомотопии.

Предмет – определение гомотопии, гомотопии и гомотопические эквивалентности, фундаментальная группа, сингулярные гомологии, гомологии и гомотопии.

Цель курсовой работы – рассмотреть гомотопические топологии, а именно гомотопии и гомологии.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Дать определение гомотопии.
2. Рассмотреть вычисления фундаментальных групп.
3. Выявить связь между гомологическими и гомотопическими группами топологического пространства.

Для решения данных задач  применялись следующие методы исследования: обзор литературы, анализ наглядных пособий, метод аналогии.

Курсовая работа состоит  из введения, двух глав, заключения и  списка использованных источников.

 

 

 

 

 

 

1 Гомотопии

1.1 Гомотопии и гомотопические эквивалентности.

Определение гомотопии. Пусть X и Y — топологические пространства. Непрерывные отображения f: X → Y и g: X → Y называются гомотопными (f~g), если существует семейство отображений φ_t: X → У, t I, такое, что (1) φ₀ =f, φ₁=g и (2) отображение Ф: X×I → Y, Ф(х, t) =φ_t (х), непрерывно. (Условие (2) является формализацией требования "непрерывной зависимости" φ_t от t.) Отображение Ф (или иногда семейство φ_t) называют гомотопией, связывающей f с g.

Очевидная проверка показывает, что отношение гомотопности рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Пример. Все отображения произвольного пространства X в отрезок I гомотопны между собой. Действительно, отображения x(1-t)f(x)+tg(x)составляют гомотопию, связывающую произвольные отображения f, g: X → I. (Это же рассуждение применимо к отображениям произвольного топологического пространства X в произвольное выпуклое подмножество пространства Rⁿ, в частности, пространства R^∞.)

Заметим еще, что  условие непрерывной зависимости  отображения φ_t от t можно выразить по-другому: гомотопия есть путь в пространстве С (Х, Y), соединяющий точку f C (X, Y) с точкой gC (X, Y). Впрочем, это определение равносильно нашему определению гомотопии лишь для достаточно хороших пространств.

Множества Множество классов, на которые отношение гомотопности разбивает множество С(Х,Y)(они называются гомотопическими классами),обозначается через

Примеры.1. Множество состоит (при любом X) из одного элемента.

2. Множество, где * — точка, есть множество компонент линейной связности пространства Y.

Очевидно, что  со сделанными выше оговорками множество можно трактовать как множество компонент линейной связности пространства С (Х_, У). Пусть X, Xʹ, У — пространства и h: Х → Х^ʹ — непрерывное отображение; определим отображение h*:следующим образом: в классе выберем любой представитель f и классу поставим в соответствие класс h^* (), содержащий отображение f С (Х, Y), т.е. композицию X→ Х ^ʹ→ Y.

Пусть теперь X, Y, Yʹ — пространства и h: Y → Y' — непрерывное отображение. Определим отображение h_*: (Х, Y') следующим образом: возьмем , выберем в любой представитель f и классу поставим в соответствие класс h_* () отображения С(Х, Y').

Гомотопическая эквивалентность. Мы приведем три определения этого понятия.

Определение 1. Пространства Х₁, Х₂ называются гомотопически эквивалентными (Х₁ ~ Х₂), если существуют непрерывные отображения f: X₁ → Х₂, g: X₂ → Х₁, такие, что композиции X₁ → Х₁, X₂ → Х₂ гомотопны тождественным отображениям X₁→ Х₁, X₂ → Х₂.

Кстати, f и g в этой ситуации называются гомотопически взаимно обратными гомотопическими эквивалентностями.

Замечание. Если отображения и не просто гомотопны тождественным отображениям, но и являются таковыми, то f и g — взаимно обратные гомеоморфизмы. Таким образом, определение гомотопической эквивалентности аналогично определению гомеоморфизма.

Определение 2. Х₁ ~ Х₂, если существует способ определить для любого пространства Y взаимно однозначное соответствие φ_Y: (X₁,Y) →(X₂,Y) таким образом, что для любого отображения h: Y → Y' диаграмма

коммутативна, т.е. φ_Yh_* = h_* φ_Y.

 Определение 3. Х₁ ~ Х₂, если существует способ определить для любого пространства Y взаимно однозначное соответствие φ^Y:(Y, X₁) → (Y, X₂) таким образом, что для любого отображения h: Y → Y' диаграмма

 коммутативна, т.е. φ^Y h* = h* φ^Yʹ.

Теорема. Определения 1, 2 и 3 эквивалентны.

Доказательство. Докажем эквивалентность определений 1 и 2. Пусть Х₁ ~ Х₂ в смысле определения 2; тогда определено взаимно однозначное соответствие φ_Х2: (X₁,Х₂) →(X₂,Х₂). Положим = φ_Х2 ([id_X2]) (id_z есть тождественное отображение множества Z, квадратные скобки обозначают переход от отображения к его гомотопическому классу) и выберем f. В то же время определено взаимно однозначное соответствие: φ_Х1: (X₁,Х₁) → (X₂,Х₁). Положим β= φ_Х1 ([id_X1]) и выберем g β. Покажем, что ~ id_X2. Диаграмма коммутативна согласно определению. Отсюда φ_Х2 f_*=f_* φ_Х1 . Рассмотрим образ элемента [id_X1] относительно входящих в диаграмму отображений. Имеем: f_* ([id_X1])= id_X1]=[f] по определению f_*; далее, φ_Х2([f])= [id_X2] в силу выбора f. Следовательно, φ_Х2 f_* ([id_X1])= [id_X2]. С другой стороны, f_* φ_Х1([id_X1])=f_*([g]=g]. Из коммутативности диаграммы [fg] = [id_X2], т.е. g ~ id_X2.

Аналогичным образом доказывается, что g f ~ id_X1 . Таким образом, Х₁ ~ Х₂ в смысле определения 1.

Теперь предположим, что Х₁ ~ Х₂ в смысле определения 1, т.е. что имеются отображения f: X₁ → Х₂, g: X₂ → Х₁ такие, что f g ~ id, g id. Возьмем любое пространство Y, положим

φ_Y = g*:(X₁,Y) → (X₂,Y)

и покажем, что последнее  отображение обратно отображению

f^*: (X₂,Y) → (X₁,Y).

Действительно, пусть h C(X₁,Y). Тогда f* g*([h])=f*([h g]) (по определению g*) = [(hg) f] (по определению f^*) = [h(g f)]=[h] (так как g f id). Аналогично проверяется, что g* f*= id. Итак, отображение φ_Y обладает обратным и потому является взаимно однозначным соответствием. Проверим, что оно обладает и вторым свойством из определения 2. Пусть Y' и k: Y → Y' — любое пространство и любое непрерывное отображение. Покажем, что диаграмма коммутативна. Пусть h C(X₁,Y). Тогда, с одной стороны, k_* ([h]) =[k],g^*([k])=[(k)]и, с другой стороны, g*([h]) = [h],k_*([h])=[k].

Наше утверждение доказано. Эквивалентность определений 1 и 3 проверяется точно так же.

Класс гомотопически эквивалентных пространств называется гомотопическим типом.

Пример гомотопически  эквивалентных не гомеоморфных пространств: Х₁ – окружность, Х₂ — кольцо (см. рис. 1). Здесь можно взять за f: X₁ → Х₂ естественное вложение и положить g = f^-1 h: Х₂→X₁, где h – сжатие по радиусам.

Пространство X называется стягиваемым, если тождественное отображение Х→Х гомотопно отображению X → X, переводящему все X в точку ("постоянному" отображению) .

 

 

 

 

 

 

Упражнения. Докажите, что пространство стягиваемо тогда и только тогда, когда оно гомотопически эквивалентно точке.

1. Докажите, что конус над любым пространством стягиваем.
2. Докажите, что пространство Е (Х_, х₀) стягиваемо для любого пространства X.
3.    Докажите, то цилиндр отображения Х → У гомотопически эквивалентен пространству Y.
4. Если Х₁ ~ Х₂,то ∑Х₁ ~ ∑Х₂.
5.    Предыдущее утверждение называют иногда гомотопической инвариантностью надстройки; сформулируйте и докажите аналогичные утверждения о гомотопической инвариантности для произведения, джойна, пространств отображений, путей и петель.

Ретракты. Подпространство А пространства X называется его ретрактом, если существует непрерывное отображение r: Х → Х (''ретракция"), такое, что r(Х)= =А и r (а) = а при а А. Например, любая точка любого пространства является его ретрактом, а объединение двух концов отрезка его ретрактом не является: мешает теорема о промежуточном значении непрерывной функции. Не является ретрактом и граничная окружность в круге и вообще сфера S^n-1 в шаре Dⁿ, но мы пока не рас - полагаем средствами, чтобы это доказать.

Упражнения. Основания цилиндра являются его ретрактами.

Основание конуса СХ является его ретрактом в том и только в том случае, когда пространство X стягиваемо.

Если ретракцию можно сделать гомотопной тождественному отображению, то А называется деформационным ретрактом пространства X; если, сверх того, гомотопию, соединяющую ретракцию с id, можно выбрать неподвижной на А (т.е. такой, что (a, t) а при а А, t , то А называется строгим деформационным ретрактом пространства X.

Очевидно, деформационный ретракт  пространства X гомотопически эквивалентен А. Более того, А является деформационным ретрактом пространства X в том и только в том случае, если включение А → X является гомотопической эквивалентностью (ср. приведенный выше пример гомотопической эквивалентности: окружность — кольцо). Таким образом, понятие деформационной ретракции, в сущности, не ново для нас; о понятии строгой деформационной ретракции этого не скажешь, но, как мы увидим, его отличие от понятия деформационной ретракции проявляется лишь в патологических случаях.

Упражнения. Точка тогда и только тогда является деформационным ретрактом пространства X, когда X стягиваемо (это утверждение демонстрирует различие между ретракцией и деформационной ретракцией).

1.2 Фундаментальная группа

Определение. Фундаментальной группой пространства X с отмеченной точкой х₀ называется его одномерная гомотопическая группа ₁(X) = _b (S¹, X).

 Рассматриваются петли пространства X, т.е. такие отображения φ: I → X, что φ (0) = φ (1) = x₀. Петли φ и φ^ʹ называются гомотопными, если существует такая гомотопия φ_t: I → Х, что φ₀ = φ, φ₁ = φ^ʹ и φ_t (0) = φ_t (1) = x₀  (0 ≤ t ≤ 1). Произведение φψ петель φ и ψ - это петля χ, у которой χ (t) = φ (2t) при t ≤ 1/2 и χ (t) = ψ (2t - 1) при t ≥ 1/2. Другими словами, произведение двух петель – это петля, составленная из этих двух петель, которые проходятся последовательно. Как легко проверить, это умножение порождает умножение и в множестве гомотопических классов петель (проверять нужно, что если φ φʹ, ψ ψʹ, то φψ ψʹ ), при этом последнее относительно введенной операции является группой (в отличие от самого множества петель, умножение в котором удовлетворяет групповым операциям лишь "с точностью до гомотопии": φ (ψ χ) ~ (φψ)χ и т. д.). Это и есть фундаментальная группа ₁ (X, x₀). Ясно, что обратным к классу петли φ: I → X служит класс петли φʹ: I → X, определенной формулой φʹ (t) = φ (1 - t).

Отображение f: X → Y, такое, что f(x₀) = у₀, очевидным образом индуцирует групповой гомоморфизм f_*: ₁ (X,x₀) →₁(Y,y₀). Ясно, что если отображения f, g: X→Y гомотопны (с учетом отмеченных точек), то гомоморфизмы f_*, g_* совпадают.

Зависимость от отмеченной точки.

Теорема 1. Если пространство Х линейно связно, то ₁ (X, x₀) ≈₁(X, x₁) для любых точек x_0, x₁.

Доказательство. Поскольку X линейно связно, существует путь : I → Х_, у которого (0) = х₀, (1) = x₁. Мы построим отображение _#: ₁ (X,x₀) →₁(X,x₁). Пусть Ф ₁ (X, х₀) и φ Ф. Положим _#(φ) = ()^-1(конечно, можно перемножать не только петли, но и пути, лишь бы только второй путь начинался там, где кончался первый). Получаем петлю с началом (и концом) x₁. Очевидно, что при замене петли φ и пути гомотопными (гомотопность путей понимается в том же смысле, что и гомотопность петель: подразумеваются гомотопии с закрепленными концами) петля _# () также заменится гомотопной, а потому _# определяет зависящее только от гомотопического класса пути отображение ₁ (X,x₀) →₁(X,x₁),также обозначаемое символом _#. Обратное отображение строится совершенно аналогично: _#^-1 ([ψ]) = [( ^-1 ψ)].

Легко проверить, что _# есть гомоморфизм и, значит, изоморфизм.

Изоморфизм _# зависит, конечно, от _. При замене пути на негомотопный ему путь β мы получим, вообще говоря, другой изоморфизм. Точнее: если γ = β^-1, то для любого Ф₁ (X,x₀) имеет место равенство β_# (Ф) = [γ] _# (Ф) [γ]^-1 (очевидно, γ есть петля, так что определен элемент [γ] группы ₁(X, x₁)). В частности, верно, что если фундаментальная группа коммутативна (и только в этом случае) изоморфизм _# от вообще не зависит. В этом случае мы можем говорить о фундаментальной группе, не фиксируя отмеченной точки. В общем случае о фундаментальной группе линейно связного пространства без отмеченной точки можно говорить только как об абстрактной группе (т.е. можно сказать, что она, например, конечна или нильпотентна, но нельзя фиксировать в ней определенный элемент).