Автор работы: Пользователь скрыл имя, 21 Января 2013 в 14:44, курсовая работа
Цель курсовой работы – рассмотреть гомотопические топологии, а именно гомотопии и гомологии.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
1. Дать определение гомотопии.
2. Рассмотреть вычисления фундаментальных групп.
Тiq. Произведем в Т следующее отождествление. Пусть Г1 и Г2 – грани одной размерности г ≤ q симплексов Ti1q и Тi2q; вершины граней Г1 и Г2 упорядочены (порядок наследуется от вершин симплексов Ti1q и Тi2q), и это порождает канонический аффинный гомеоморфизм Г1 ≈ Г2. Мы отождествляем (поточечно)
Г1Тi1q Г2Тi2q Т, если fi1 | Г1 fi2 | Г.
При отождествлении из Т получается клеточное пространство, которое мы принимаем за Y. Отображения fi: Тqi → X корректно определяют непрерывное отображение f: У → X. Обозначим, далее, через Fi сквозное отображение
вложение проекция
Тq = Тiq ► Т ► Y.
Ясно, что ∑ ki Fi – сингулярный цикл пространства Y и что отображение f переводит Fi в fi и ∑ ki Fi в ∑ ki fi. Таким образом,если β Hq (Y) – гомологический класс цикла ∑ ki Fi, то f*(β) = α.
(Замечание. При описанном отождествлении могут отождествляться точки одного симплекса Тiq, но не могут отождествляться тощей одной открытой грани; чтобы лучше понять эту конструкцию, проведите ее явно для сингулярного цикла Т3 → pt.)
Относительный вариант леммы. Пусть (X, А) — топологическая пара и α Hq (X, А). Тогда существуют клеточная пара (Y, B), класс гомологии β Hq(Y, В) и отображение f: (Y, В) → (X, А), такие, что f* (β) = α.
Доказательство относительного варианта немногим отличается от доказательства абсолютного варианта. Мы фиксируем (относительный) цикл ∑ ki fi, представляющий класс α, и строим клеточное пространство Y — факторпространство суммы i Тqi, – сингулярную цепь ∑ ki Fi и отображение f: Y → X, переводящее ∑ ki Fi в ∑ ki fi. Через В мы обозначаем наибольшее клеточное подпространство пространства Y, отображающееся в А (т.е. объединение замыканий клеток, отображающихся в А). Тогда f будет отображением (Y, В) → (X, А), ∑ ki Fi – относительным циклом пары (Y, В), и если β Hq (Y, В) – гомологический класс этого цикла, то f* (β) = α.
Теорема 1. Если f: Х1 → Х2 — слабая гомотопическая эквивалентность, то f*: Hq (X1) →Hq (X2) – изоморфизм при всех q.
Доказательство. Напомним, что отображение f: Х1 → Х2 называется слабой гомотопической эквивалентностью, если для любого клеточного пространства Y отображение f *: (Y, Х1)→ (Y, Х2) является взаимно однозначным соответствием.
Эпиморфность отображения f*: Hq (X1) → Hq (X2) следует из леммы: если α Hq (X2), то найдется клеточное пространство Y, гомологический класс β Hq(Y) и отображение g: Y → X2, такие, что g* (β) = α. Далее, так как f – слабая гомотопическая эквивалентность, существует отображение h: Y → X1, такое, что fh ~ g. Полагая γ = g* (β) Hq (X1), имеем: f* (γ) = (fh)* (β) = g* (β) = α.
В доказательстве мономорфности используется относительный вариант леммы. Ввиду гомотопической инвариантности гомологий можно считать, что f есть вложение, т.е. что (Х2, Х1) – топологическая пара (при необходимости можно заменить Х2 цилиндром отображения f и f — вложением пространства Х1 в цилиндр в качестве верхнего основания. Если α Hq (X1) и f* α = 0, тo существует β Hq+1 (X2, X1) с * (β) = α (точность последовательности пары). В силу относительной леммы существует клеточная пара (Y, В), гомологический класс γ Hq+1(Y, В) и отображение g: (Y, В) → (Х2, Х1), такие, что g*(γ) = β. Наконец, так как f есть слабая гомотопическая эквивалентность, существует отображение h: Y → Х1 такое, что h |B = g | B. Мы имеем: α = * (β) = * g* (γ) = (g| B) * g* (γ) = h*** (γ) (где j есть включение B в Y) = 0 (** = 0в силу точности гомологической последовательности пары (Y, B)). Теорема доказана.
Заметим, что отображение f является слабой гомотопической эквивалентностью тогда и только тогда, когда оно индуцирует изоморфизм в гомотопических группах. Таким образом, доказанное утверждение приобретает следующую запоминающуюся форму.
Теорема 1. Если отображение f: Х1 → Х2 индуцирует изоморфизм в гомотопических группах, то оно индуцирует изоморфизм и в гомологических группах.
Теорема Гуревича. Пусть X — топологическое пространство с отмеченной точкой x0. Обозначим через sn каноническую образующую группы Hn(Sn) = Z (n= 1,2, ...). Для любого φ n (X, х0) положим
h (φ) = f* (sn) Hn (X),
где f: Sn → X — произвольный сфероид класса φ. Очевидно, что h(φ) не зависит от выбора f. Ясно также, что сопоставление φ h(φ) определяет гомоморфизм
h:n(X, x0) → Hn(X);
этот гомоморофизм называется гомоморфизмом Гуревича; он естественен по отношению к непрерывным отображениям (переводящим отмеченную точку в отмеченную).
Теорема 2 (Гуревич). Пусть 0(Х, x0) = 1(Х, х0) = … n-1 (X, x0) = 0 (n ≥ 2). Тогда H1 (X) = ... = Нn-1(Х) = 0 и h: n (Х, х0) → Hn (X) есть изоморфизм.
Доказательство. Согласно теореме существует клеточное пространство, слабо гомотопически эквивалентное X; поскольку гомотопии и гомологии слабо гомотопически инвариантны, мы можем считать, что само X было клеточным. Далее, пространство X гомотопически эквивалентно клеточному пространству с единственной вершиной и без клеток размерностей 1, 2, ..., n – 1. Уже из этого видно, что H1 (X) = ... = Hn-1 (X) = 0, а Нn (Х) = n (X)/Im n+1 не отличается от n (X).
Следствие (обратная теорема Гуревича). Если пространство X связно и односвязно и Н2(Х) =... = Нn-1(Х) = 0, то 2 (Х) = 0, то 2(X) = ...= n-1 (Х) = 0 и h: n (Х)→Нn (Х) есть изоморфизм.
Полученные результаты можно выразить одной фразой: у односвязного пространства нетривиальные гомотопические и гомологические группы начинаются с одной размерности и первые нетривиальные гомотопическая и гомологическая группы одинаковы.
Упражнение. Односвязное клеточное пространство, имеющее такие же гомологии, как сфера, гомотопически эквивалентно сфере. [Указание: примените теорему Уайтхеда к сфероиду Sn → X, представляющему образующую группы n (Х) = Z ]. То же верно для букетов сфер.
Замечание. Из полученных нами результатов видно, что тривиальность гомологических групп и тривиальность гомотопических групп, каждая по отдельности, обеспечивают гомотопическую тривиальность (стягиваемость) односвязного клеточного пространства. В то же время мы видели, что тривиальность индуцированных гомологических гомоморфизмов и тривиальность индуцированных гомотопических гомоморфизмов, каждая по отдельности, не обеспечивают гомотопической тривиальности непрерывного отображения, т.е. что гомотопности постоянному отображению. Оказывается, что и вместе этих двух тривиальностей недостаточно для гомотопической тривиальности отображения.
Заключение
В данной курсовой работе были рассмотрены гомотопические топологии, а именно гомотопии и гомологии.
Для этого были охарактеризованы сами определения и теоремы. Затем выявлена связь между гомологическими и гомотопическими группами топологического пространства. Продемонстрирована сущность метода накрытий на примере доказательства теоремы.
Таким образом, можно констатировать, что цель исследования достигнута и все поставленные задачи решены, а именно:
Пусть X и Y — топологические пространства. Непрерывные отображения f: X→ Y и g: X → Y называются гомотопными (f~g), если существует семейство отображений φt: X → У, t I, такое, что (1) φ0 =f, φ1=g и (2) отображение Ф: X×I → Y, Ф(х, t) =φt (х), непрерывно. (Условие (2) является формализацией требования "непрерывной зависимости" φt от t.) Отображение Ф (или иногда семейство φt) называют гомотопией, связывающей f с g.
1. Случай окружности.
2. Случай букета окружностей.
3. Случай произвольного клеточного пространства.
Приведены доказательства теорем, утверждения, следствия из теорем.
Связь между гомологическими и гомотопическими группами топологического пространства видна предварительного описания гомологий: сфероиды — это тоже циклы, гомотопные сфероиды — это гомологичные циклы и, следовательно, гомотопические группы канонически отображаются в гомологические.
Рассмотрены гомологии и слабые гомотопические эквивалентности, теорема Гуревича.
Следовательно, можно сказать, что при изучении гомологии и гомотопии, необходимо рассмотреть основные определения элементарной гомотопической топологии, простейшие вычисления и теоремы.
Список использованных источников