Гомология и гомотопия

Вычисление фундаментальных групп. Существует два основных метода вычисления фундаментальной группы: "метод накрытий" и "клеточный метод". Продемонстрируем сущность метода накрытий на примере доказательства теоремы 2 (в котором, конечно, слово накрытие употребляться не будет). В основе клеточного метода лежит теорема 4; теорема 3 нужна для ее доказательства.

А. Случай окружности.

Теорема 2. Группа ₁ (S¹) изоморфна группе Z целых чисел.

Фактически при доказательстве теоремы 2 мы построим "универсальное  накрытие" над окружностью; это понятие будет введено в следующем параграфе, при чтении которого мы советуем читателю держать в уме это доказательство.

Каждой точке окружности S¹ мы обычным образом отнесем вещественное число, определенное с точностью до слагаемого вида 2k. Отмеченной точкой мы считаем 0. Петля φ: I → S¹ превращается в многозначную функцию на отрезке I, значение которой в каждой точке определено с точностью до слагаемого 2k и значением которой в точках 0 и 1 служит само множество чисел вида 2k. У этой многозначной функции существует непрерывная однозначная ветвь – непрерывная функция на отрезке I, значение которой в каждой точке принадлежит множеству значений в этой точке функции φ. Такая однозначная функция φ^# будет определена единственным образом, если мы наложим на нее дополнительное условие φ^# (0) = 0. (См. рис. 2.)

Приведем детали построения функции φ^#. Пусть n таково, что если |х" - х'| ≤ 1 /n, то точки φ (хʹ), φ (x") S¹ не диаметрально противоположны. Мы полагаем φ^# (0) = 0. Далее, при 0 ≤ х ≤ 1/n и мы берем в качестве φ^# то из значений функции φ в точке x, ко -

торое отличается от 0 меньше, чем на .  Далее, при 1/n ≤ х ≤ 2/n мы берем в качестве φ^# (х) то из значений функции φ, которое меньше, чем на , отличается от φ^# (1 /n). И т.д.

Выделим два важных свойства функции φ^#: ее значение в точке 1 кратно 2 и она непрерывно зависит от φ в том смысле, что если φ _t — гомотопия, то и φ^#_t — гомотопия. Заметим еще, что всякая непрерывная функция Ф на отрезке I, такая, что Ф(0) = 0 и Ф(1) кратно 2, служит функцией φ^# для некоторой петли φ.

Теперь для доказательства теоремы 2 осталось сделать четыре простых  замечания. Во-первых, число k = φ^# (1)/2 не меняется при гомотопии, поскольку область возможных значений φ ^#(1) дискретна; таким образом это число зависит только от элемента группы ₁(S¹). Во-вторых, всякое число k таким образом может получиться: достаточно взять φ = h_k с h^#_k (х) = 2k. В-третьих, если φ₁*(1) = φ₂*(1), то φ₁ ~ φ₂: функции φ₁* и φ ₂^#, очевидно, гомотопны в классе функций с заданными значениями в 0 и 1 (рис. 3). Наконец, в четвертых, h_kh_l ~ h_k+l, потому что (h_kh_l)^#(1) = = h^#_k+l (1).

Теорема доказана.

В. Случай букета окружностей.

Теорема 3. Пусть В_А =VA S¹ – букет окружностей S¹ = S^l. Тогда ₁(В_А) – свободная группа, образующие которой соответствуют элементам множества А.

Доказательство теоремы 3 мы разобьем части. Стандартное вложение i: S¹→В_А мы рассматриваем как петлю; пусть η_α1(В_А) — класс петли i (отмеченной в букете мы считаем общую точку окружностей S¹). Мы покажем, что: 1° всякий элемент группы ₁(В_А) представим в виде конечного произведения элементов вида η_α, η_α^-1; 2° с точностью до сокращений идущих подряд множителей η_α, η_α^-1 такое представление единственно. Это равносильно нашей теореме.

Утверждение 1° доказывается при помощи кусочно линейной аппроксимации. На каждой из окружностей S^1, входящих в букет, отметим два отрезка, I и J, не содержащих отмеченной точки и таких, что J Int J. Возьмем петлю φ: I→В_А и фиксируем такое n, что если образ некоторого отрезка J I длины 1/n пересекается с J_α, то он содержится в I _α. Обозначим через К объединение отрезков вида [к/n, (к+1)/n], образы которых пересекаются с _α J_α, и заменим отображение φ отображением φʹ: I → В_А, совпадающим с φ вне К и во всех точках вида к/n и линейным на каждом из отрезков указанного вида (линейное отображение отрезка в окружность – это отображение вида х (cos(λx + μ), sin(λx + μ))). Очевидно, φ' — петля, гомотопная φ. Выдедим теперь в каждом отрезке J _α маленький отрезочек К_α, не содержащий ни одной точки вида φʹ (к/n) (таких точек конечное число!). Заметим, что прообраз φ' ^-1 ( _α K_α) состоит из конечного числа отрезочков, каждый из которых отображается на свое К _α линейно.

Утверждение 1° доказано.

С. Случай произвольного клеточного пространства. Формулировке теоремы 4 мы предпошлем следующее замечание. Непрерывные отображения окружности в пространство Х_, переводящие отмеченную точку у₀ окружности в точку х₀, могут рассматриваться как петли пространства X с началом х₀ и определяют элементы группы ₁(X, x₀). Если же отображение φ: S¹ → Х окружности в линейно связное пространство переводит отмеченную точку у₀ неизвестно куда, то оно определяет элемент группы ₁(X, φ(y₀)), связанной с ₁(X,x₀) неканоническим изоморфизмом. Образы класса [φ] в ₁(X, x₀) при всевозможных изоморфизмах вида _# заполняют в ₁(X, x₀) целый класс сопряженных элементов (это равносильно сказанному после теоремы 1). Это позволяет нам сказать, что отображение окружности, не обязательно переводящее отмеченную точку в отмеченную, определяет элемент фундаментальной группы с точностью до сопряженности.

Вернемся к нашей проблеме вычисления фундаментальных групп. Пусть X — клеточное пространство с единственной вершиной е°, одномерными клетками e¹_i (e) и двумерными клетками e²_j (j). Характеристические отображения f_j: D²→X определяют отображения gj: S¹ → X¹, которые, в силу сказанного, определяют некоторые элементы β_{j 1} (X¹) с точностью до сопряженности. Добавим, что X¹ — это букет окружностей ē¹_i и группа ₁ (X¹, е°) есть, в силу теоремы 3, свободная группа с множеством образующих I.

Теорема 4. Группа ₁ (X¹, е°) есть группа с системой образующих I и с системой определяющих соотношений β_j=1, .

Доказательство. Если рассматривать окружность как одномерное клеточное пространство, у которого отмеченная точка является нульмерной клеткой, то отображение окружности в X, переводящее отмеченную точку у₀ S¹ в отмеченную точку е°X, есть отображение, клеточное на у₀. Поэтому из теоремы о клеточной аппроксимации вытекает, что всякая петля пространства X с началом е° гомотопна петле, проходящей по одномерному остову, т.е. что отображение ₁(X^l, е°) → ₁(X, е°), индуцируемое включением X¹ → X, является эпиморфизмом. Для завершения доказательства нам необходимо установить, что ядро этого эпиморфизма порождается как нормальная подгруппа группы ₁(X¹, е°) вышеуказанными элементами β_j — классами приклеивающих отображений.

"В одну  сторону" это утверждение почти очевидно: классы β_j действительно принадлежат нашему ядру. Действительно, отображение g_j: S¹ → X¹ продолжается до отображения f_j: D² → X и потому определяет тривиальный элемент в группе ₁(X^l,g_j(y₀)); но этот элемент соответствует элементу β_j при некотором изоморфизме ₁(X^l, g_j(y₀)) ≈₁(X¹,е°). "В другую сторону" утверждение доказывается опять-таки при помощи кусочно линейной аппроксимации. Чтобы изгнать из формул многочисленные f_j и f_j^-1 , мы будем считать, что клетки e²_j отождествлены с копиями открытого диска Int D² посредством этих отображений; таким образом, мы получаем возможность говорить о концентрических дисках, прямолинейных отрезках и т.п. в клетках e²_j. Построим в каждой клетке e²_j концентрические диски d_1j,…,d_4j радиусов 1/5,..., 4/5. Пусть γ[₁(X^l, е°) → ₁(X, е°)], и пусть φ: S¹ → X¹ – представитель класса γ. В силу выбора γ отображение φ продолжается до непрерывного отображения Ф: D² → X, причем теорема о клеточной аппроксимации позволяет считать, что Ф (D²) X². Триангулируем D² настолько мелко, что если ∆ — симплекс триангуляции и Ф (∆) при некотором j пересекается с d_4j, то Ф(∆) e²_j и diam Ф(∆) < 1/5. Пусть К — объединение симплексов нашей триангуляции, Ф-образы которых пересекаются с _j d_4j. Рассмотрим отображение Фʹ: К → X², совпадающее с Ф на вершинах триангуляции и линейное на каждом симплексе. Отображения Ф|_к и Ф' соединяются прямолинейной (в клетках e²_j) гомотопией Ф_t: К → Х₂, Ф₀ = Ф|_к, Ф₁=Фʹ.

Теорема доказана.

Следствие. ₁ (X) = ₁(X²) для любого клеточного пространства X.

Доказанная теорема позволяет  найти фундаментальные группы классических пространств, клеточные разбиения  которых были построены. Впрочем, многие из этих пространств вовсе не имеют одномерных клеток и потому односвязны, т.е. имеют тривиальные фундаментальные группы; таковы, например, сферы Sⁿ с n ≥ 2, пространства СРⁿ, CG(n,k) и некоторые другие. Но все же в некоторых случаях вычисление фундаментальных групп приводит к интересным результатам. Например:

Теорема 5. Фундаментальная группа сферы с g ручками порождена 2g образующими, а₁,..., a_g, b₁,..., b_g, связанными одним соотношением

a₁ b₁ a₁^-1 b₁^-1... a_gb_ga^l_g b^l_g=1.

В частности, фундаментальная  группа тора порождена двумя образующими, а и b_, связанными соотношением aba^-lb^-l = 1, т.е. попросту есть Z Z. Этот факт вытекает, впрочем, и из очевидной формулы

₁(XY) = ₁(Х)₁(Y)

Теорема 6. Фундаментальная группа проективной плоскости с g ручками или бутылки Клейна c g ручками порождена образующими c_1, ...с_h, где в случае проективной плоскости h = 2g + 1 и в случае бутылки Клейна h = 2g + 2, связанными одним соотношением

c²₁...c²_h = 1.

В частности, ₁ (RP²) = Z₂ (циклическая группа порядка 2).

Пусть G₁, G₂ — группы, A₁, А₂ — системы их образующих и R₁, R₂ — соответствующие определяющие системы соотношений. Группа с системой образующих А₁ А₂ и определяющей системой соотношений R₁ R₂ называется свободным произведением групп G₁ и G₂ и обозначается через G₁ * G₂. Из алгебры известно, что эта группа не зависит от выбора образующих и соотношений в G₁ и G₂. (По-другому группу G₁ * G₂ можно описать как группу "слов" g₁¹ g₂¹ g₁² g₂² …g₁^s g₂^s, где g_i^j G_i). Докажите, например, что свободное произведение Z₂ * Z₂ обладает нормальной подгруппой, изоморфной Z, и (Z₂ * Z₂)/Z = Z₂. Обобщение этого определения: пусть Н — еще одна группа и φ₁: H → G₁, φ₂: H → G₂ — гомоморфизмы. Выберем в Н систему образующих h _α и добавим к нашим соотношениям в G₁*G₂ соотношения φ₁(h_α) = φ₂ (h_α) (мы считаем G₁ и G₂ подгруппами группы G₁ * G₂). Получающаяся группа называется амальгамированным произведением групп G₁ и G₂ над Н и обозначается через G₁*_H G₂.

Попробуйте доказать, например, что группа SL₂(Z) целочисленных 2 2-матриц с определителем 1 изоморфна Z₄ *_Z2 Z₆.

В заключении, фундаментальная группа часто бывает некоммутативной. В этом ее отличие от подавляющего числа групп, гомотопически инвариантным образом сопоставляемых с топологическими пространствами. Поэтому изучение фундаментальной группы требует привлечения специфических и не всегда стандартных алгебраических средств. Чтобы этого избежать, топологи любят (к месту и не к месту) накладывать на рассматриваемые пространства требование односвязности или хотя бы какие-нибудь требования, влекущие за собой коммутативность фундаментальной группы.

2 Гомологии

Наряду с гомотопическими  группами _k(Х) топологическому пространству X ставят в соответствие другие серии групп — гомологические группы Н_k(Х) и когомологические группы Н^k(Х). По сравнению с гомотопическими группами они обладают важным недостатком — их аккуратное определение связано со значительными формальными трудностями – и важными достоинствами – они легче вычисляются (мы более или менее сразу найдем их для большинства известных нам пространств) и геометрически более наглядны (трудно объяснимых феноменов типа ₃(S²) = Z для них не бывает). Информация о топологическом пространстве X, которую несут его гомологии, в односвязном случае примерно равноценна информации, содержащейся в гомотопических группах.

Геометрическая идея гомологий  такова. Сфероиды заменяются циклами; k-мерный цикл — это замкнутая k-мерная поверхность (может быть, сфера, а может быть и нет, скажем, тор). Отношение гомотопности сфероидов заменяется отношением гомологичности циклов — цикл гомологичен 0, если он ограничивает кусок поверхности на 1 большей размерности.

Как аккуратно определить, что такое циклы (и т. е. "куски поверхностей", которые они ограничивают, — так называемые цепи)? Можно было бы попытаться определить их как отображения стандартных объектов – сфер и чего-нибудь еще, но это приводит к трудностям, особенно в размерностях > 2. Проще определить циклы (и цепи) как объединения стандартных элементов ("кирпичей"). Эту роль принимают на себя сингулярные симплексы.

Заметим, что для построения гомологических и когомологических групп пространства X не требуется, чтобы в X была отмечена точка, – в этом одно из их важных отличий от гомотопических групп.

2.1 Сингулярные гомологии

Сингулярные симплексы, цепи и гомологии. Пусть А₀, A_1,..., A_q — точки пространства Rⁿ, где n ≥ q, не лежащие в одной (q - 1)-мерной плоскости. Выпуклая оболочка множества этих точек называется евклидовым симплексом с вершинами А₀, A_l,..., A_q. Выпуклые оболочки подмножеств этого множества — грани указанного симплекса. Евклидовы симплексы одной размерности все одинаковы, и это побуждает нас выбрать стандартный евклидов симплекс. В качестве такового обычно рассматривают евклидов симплекс Т^q в R^q+l, вершинами которого являются концы координатных ортов: